holomorphe Funktion Verständnisfrage

15.08.2008, 20:11

Gargy

holomorphe Funktion Verständnisfrage

Hallo

und schon wieder habe ich eine Frage, und zwar

Wie sieht eine holomorphe Funktion auf dem Einheitskreis aus?

Ich weiß gar nicht, wie das gemeint ist. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

16.08.2008, 03:17

trollkotze

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Na, das ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: B \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} B=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1\} \end{eqnarray*}$ der Einheitskreis ist, die holomorph ist.

16.08.2008, 09:31

Gargy

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Heißt das, z ist immer im Kreis?

16.08.2008, 11:16

system-agent

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Du brauchst sowieso ein Gebiet um eine holomorphe Funktion haben zu können, das heisst insbesondere eine offene Menge, das heisst jedes dieser $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist im Inneren.

Der Grund liegt in der Definition der Holomorphie:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst in einem Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ holomorph genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist und es eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in jedem dieser Punkte der Umgebung ebenfalls komplex differenzierbar ist.

Das bedeutet diese (offene) Umgebung muss in der Definitionsmenge drinliegen und das ist nur dann immer der Fall, wenn die Definitionsmenge offen ist, deshalb offene Kreisscheibe.

16.08.2008, 14:26

Gargy

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Ok, ich glaube, ich versteh das nicht. Die Definition ist mir bekannt, aber die Frage war ja, wie eine holomorphe Funktion auf dem Einheitskreis aussieht...

trollkotze hat mir also eine Funktion gegeben, die holomorph ist und im Einheitskreis liegt.

Ist das die Antwort? Ich dachte, da gibts irgendwas anschauliches oder besonderes. Ich mein, da könnte man auch fragen, wie die Funktion auf einem Kreis mir Radius r =57 aussieht und ich schreibe dann einfach 57 anstelle von 1.

16.08.2008, 15:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gargy
trollkotze hat mir also eine Funktion gegeben, die holomorph ist und im Einheitskreis liegt.

Nein, eine Funktion liegt nicht im Einheitskreis. Das macht keinen Sinn. Außerdem sollte man in diesem ganzen Thread eher von Einheitskreisscheibe sprechen. Eine Funktion "auf der Einheitskreisscheibe" ist eine Funktion, die auf der Einheitskreisscheibe definiert ist.

16.08.2008, 17:40

Gargy

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Ok, Einheitskreisscheibe. 'tschuldigung, ich bin da nicht so fit. traurig

Ich habe noch etwas dazu gelesen, bin aber nicht wirklich schlauer geworden.

Die Frage war aus einem alten Prüfungsprotokoll und als Antwort ist nur angedeutet, dass ein Maximum auf dem Rand und ein Minimum innen liegt.
Aber ich kann einfach nichts konkretes dazu finden. Wenn ihr mir sagt, wo ich da gucken muss, wär mir schon geholfen.

16.08.2008, 18:00

system-agent

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Deine Fragen sind viel zu vage.

Zur zweiten Frage:
Um etwas von Maximum oder Minimum haben zu können, brauchst du doch erstmal ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ (schau die Definition von Gebiet nach !!) und eine Funktion auf diesem Gebiet, das heisst $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Nun kann (muss aber nicht) diese Funktion holomorph sein. Falls sie hol ist, dann gilt das Maximumsprinzip, welches du ja schonmal angesprochen hast in einem anderen Thema.
Nun sagt dieses Prinzip, dass eine nichtkonstante holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ihre Maxima lediglich auf dem Rand $\begin{eqnarray*} \partial G \end{eqnarray*}$ des Gebietes $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

16.08.2008, 18:41

Gargy

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2. Frage? Welche 2. Frage?

Ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Punktmenge. Ist der Rand mit in das Gebiet einbezogen, dann ist das Gebiet abgeschlossen. Ist das nicht so und soll der Anschluß des Randes betont werden, spricht man vom offenen Gebiet.

Das die Fragen vage sind... na, was soll ich denn machen, außer fragen?

Ich dachte, mit der Formulierung

Zitat:

Original von Gargy

Wie sieht eine holomorphe Funktion auf dem Einheitskreis aus?

wäre klar, dass ich eine holomorphe Funktion habe, die von G nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ abbildet.

Aber ok, ich will das ja schon richtig machen, also sei f holomorph und

$\begin{eqnarray*} f: G \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

und die Einheitskreisscheibe
$\begin{eqnarray*} E:= \{ z\in\mathbb{C}: |z|<1 \} \end{eqnarray*}$

Wie sieht die Funktion auf der Einheitskreisscheibe aus?

Ob sie nu konstant ist oder nicht, ist ja gar nicht angegeben (wo hab ich eigentlich das Maximumprinzip schon mal erwähnt?)

Ich bin komplett verwirrt.

- Liegt die Funktion nur in der Einheitskreisscheibe, wenn ich sie so definiere? Ist die ürsprungliche Frage damit Unsinn?

- Hat das Maximumprinzip etwas mit der Frage zu tun oder war das nur, weil ich das eingeworfen habe?

Bitte, bitte. Es tut mir leid, wenn ihr meine Fragen dumm findet, aber ohne Hilfe werd ich's wohl nie verstehen.

16.08.2008, 18:49

Gargy

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Ne,, irgendwie ist das falsch, oder?

Wenn ich wissen will, wie f auf E aussieht, müsste ich doch auc hauf E abbilden, nicht wahr?

Also so?

$\begin{eqnarray*} f: G \to E \end{eqnarray*}$

????

16.08.2008, 21:22

system-agent

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Wenn du sagst du möchtest eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben, dann bedeutet das, du meinst eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f:E\to\mathbb C \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph, das bedeutet nach einem obigen Post auch, dass nicht die abgeschlossene Kreisscheibe gemeint sein kann !)
Das heisst die Funktion nimmt nur komplexe Zahlen von Innerhalb der Einheitskreisscheibe und schickt diese irgendwo hin.

Das Problem ist ganz einfach das wort "aussehen" in deiner Frage. Was willst du denn an der Funktion anschauen?
Ein Bildchen wie im Reellen gewohnt kannst du nicht malen, denn das müsste man in vier Dimensionen malen.
Was also meinst du genau mit "aussehen" bzw. was willst du genau?

Nehme doch zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} f:E\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\mapsto z \end{eqnarray*}$ , also die Identität.
Da gibts nicht so viel zu sehen.
Dagegen kannst du auch die (inverse) Cayley-Transformation $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nehmen:
$\begin{eqnarray*} h:E\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\mapsto\frac{i(1-z)}{1+z} \end{eqnarray*}$
Diese bildet den "Inhalt" des Einheitskreises $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ bijektiv auf die obere Halbebene $\begin{eqnarray*} H=\{z\in\mathbb C\,\,|\,\,Im(z)>0\} \end{eqnarray*}$ ab.

Das heisst es gibt ein höchst unterschiedliches Verhalten.

16.08.2008, 22:05

Gargy

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Zitat:

Original von system-agent
Wenn du sagst du möchtest eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben, dann bedeutet das, du meinst eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f:E\to\mathbb C \end{eqnarray*}$
...Das heisst die Funktion nimmt nur komplexe Zahlen von Innerhalb der Einheitskreisscheibe und schickt diese irgendwo hin.

Ach so!

Ich dachte, ich nehme meine Funktionswerte und schicke sie in den Einheitskreis.

Aber ehrlich gesagt, habe ich nicht verstanden, warum die Kreisscheibe nicht abgeschlossen darf, wenn f holomorph ist. unglücklich

Holomorph bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist. Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dann immer offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von system-agent
Das Problem ist ganz einfach das wort "aussehen" in deiner Frage. Was willst du denn an der Funktion anschauen?
Ein Bildchen wie im Reellen gewohnt kannst du nicht malen, denn das müsste man in vier Dimensionen malen.

Ja, irgendwie hatte ich ein Bild erwartet... Tränen

Aber ok, das ist mir jetzt klar. Dann denke ich, dass tatsächlich die Sache mit dem Maximumprinzip gefragt ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nichtkonstant und holomorph. Dann besagt das Maximumprinzip, dass die Maxima von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen auf dem Rand des Einheitskreises $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sind? Oder ist die Funktion auf dem Rand maximal?

Das klingt wahrscheinlich schon wieder wie eine doofe Frage, aber mein Problem ist gerade, dass ich da einfach nicht uterscheiden kann.
Ist $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ maximal auf dem Rand oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ? Wenn $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ maximal ist, dann würde ich ja $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ abbilden... ui unglücklich

17.08.2008, 13:49

system-agent

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Zitat:

Original von Gargy
Aber ehrlich gesagt, habe ich nicht verstanden, warum die Kreisscheibe nicht abgeschlossen darf, wenn f holomorph ist. unglücklich

Siehe einen oberen Beitrag von mir:

Zitat:

Der Grund liegt in der Definition der Holomorphie: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst in einem Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ holomorph genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist und es eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass in jedem dieser Punkte der Umgebung ebenfalls komplex differenzierbar ist.

Das heisst ja gerade, dass man um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ solch eine offene Umgebung braucht und diese muss natürlich ganz im Definitionsgebiet enthalten sein.
Eine Menge, die immer eine Ganze Umgebung eines ihrer Punkte enthält, ist per definitionem eine offene Menge. Das heisst also dass das Definitionsgebiet einer holomorphen Funktion auch offen sein muss.

Zitat:

Original von Gargy
Holomorph bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist.

Eben nicht. Es reicht nicht die komplexe Diffenzierbarkeit in einem Punkt, sondern es muss eine ganze Umgebung des Punktes und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss auch in jedem Punkt dieser Umgebung komplex dfb sein.

Zitat:

Original von Gargy
Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dann immer offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Zitat:

Original von Gargy
Aber ok, das ist mir jetzt klar. Dann denke ich, dass tatsächlich die Sache mit dem Maximumprinzip gefragt ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nichtkonstant und holomorph. Dann besagt das Maximumprinzip, dass die Maxima von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen auf dem Rand des Einheitskreises $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sind? Oder ist die Funktion auf dem Rand maximal?

Du solltest erstmal die Grundbegriffe der Holomorphie genauer verstehen/klarmachen, bevor du das Maximumsprinzip angehst.

Eine komplexe Zahl ist nicht maximal, sie ist garnichts. Das liegt daran, dass man keine "Grössenordnung" auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ hat wie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das heisst in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ . Aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt es so eine " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ "-Ordnung nicht.
Man kann lediglich die Beträge komplexer Zahlen vergleichen, denn die Beträge liegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dort gibt es " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ".

Das Maximumsprinzip sagt nur etwas über die Beträge der Funktionswerte aus (denn alles andere ist sinnlos).
Genauer, es sagt: Hat man ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ die hol ist, dann gilt immer $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(w)| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Anders gesagt: Man vergleicht die Beträge der Funktionswerte und man stellt fest, dass die Beträge der Funktionswerte von "inneren Zahlen" höchstens so gross sind, wie die Beträge der Funktionswerte von Zahlen "auf dem Rand".

Zitat:

Original von Gargy
Ist $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ maximal auf dem Rand oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

Nein, eine komplexe Zahl ist niemals maximal. Höchstens ihr Betrag im Vergleich mit anderen Funktionswerten. Also ist $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$ maximal.

17.08.2008, 14:46

Gargy

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Ok, danke für die Mühe. Ich weiß das zu schätzen.

Das Ding ist, wenn ich sage, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist holomorph, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist, dann meine ich doch, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist komplex dfferenzierbar in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in jedem der Punkte in der Umgebung komplex differenzierbar ist. Irgendwie spreche ich eine andere Sprache...

Obwohl... eigentlich macht diese Sache ja von ganz allein Sinn, weil ein Punkt auf dem Rand der Scheibe hat ja keine Umgebung, die ganz in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegen könnte - da ist ja schon Schluss mit dem Gebiet. Also gehört der Rand nicht dazu.

Zitat:

Original von system-agent
Hat man ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ die hol ist, dann gilt immer $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(w)| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Anders gesagt: Man vergleicht die Beträge der Funktionswerte und man stellt fest, dass die Beträge der Funktionswerte von "inneren Zahlen" höchstens so gross sind, wie die Beträge der Funktionswerte von Zahlen "auf dem Rand".

Das hätte ich irgendwie nicht anders erwartet... entweder verschließt sich mir den Sinn dieser Aussage oder ich betrachte wieder nur die halbe Sache.
Das Maximumprinzip ist einfach eine Art Postulat oder?

17.08.2008, 14:53

system-agent

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Zitat:

Original von Gargy
Das Ding ist, wenn ich sage, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist holomorph, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist, dann meine ich doch, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist komplex dfferenzierbar in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in jedem der Punkte in der Umgebung komplex differenzierbar ist. Irgendwie spreche ich eine andere Sprache...

Holomorphie ist wie die reelle Ableitbarkeit eine lokale Angelegeheit, deshalb definiert man das auch für "einzelne Punkte und ein bischen drumherum".
Eine Funktion ist auf einem kompletten Gebiet holomorph, wenn sie in jedem Punkt des Gebietes holomorph ist.

Zitat:

Original von Gargy
Obwohl... eigentlich macht diese Sache ja von ganz allein Sinn, weil ein Punkt auf dem Rand der Scheibe hat ja keine Umgebung, die ganz in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegen könnte - da ist ja schon Schluss mit dem Gebiet. Also gehört der Rand nicht dazu.

Ganz genau.

Zitat:

Original von Gargy
Das Maximumprinzip ist einfach eine Art Postulat oder?

Sicher nicht. Für ein Postulat ist diese Aussage viel zu stark. Man kann sie beweisen.

Du musst dir klar machen, dass es eben auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ keine Ordnung gibt, man kann eben zwei komplexe Zahlen nicht sinnvoll nach ihrer "Grösse" vergleichen, wie das in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Zb. ist sicher $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$
aber was ist mit $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+2i \end{eqnarray*}$ ?
Man kann nur die Beträge nehmen und diese vergleichen.

Siehe dazu auch die entsprechenden Artikel bei Wikipedia.

17.08.2008, 15:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gargy
Das hätte ich irgendwie nicht anders erwartet... entweder verschließt sich mir den Sinn dieser Aussage oder ich betrachte wieder nur die halbe Sache.

Ich glaube, du hast einige Probleme dabei, Funktionswerte und Urbilder zu unterscheiden. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-x^2 \end{eqnarray*}$

nimmt ihr Maximum z.B. offenbar im Innern, nämlich im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ an. Also warum ist es für dich nicht überraschend, dass der Betrag einer holomorphen Funktion höchstens auf dem Rand maximal werden kann?

Zitat:

Original von system-agent
Genauer, es sagt: Hat man ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ die hol ist, dann gilt immer $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(w)| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Huch? Das obige $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , fortgesetzt auf den Einheitskreis in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist sehr wohl holomorph und es gilt ganz sicher nicht die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(0)|\leq |f(1)| \end{eqnarray*}$ !

17.08.2008, 15:07

Gargy

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Hm, ok, wahrscheinlich liegt's an der naiven $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vorstellung. Wenn ich einen Kreis habe, dann sind für mich die Zahlen im Kreis halt kleiner, als die außen - obwohl das ja auch Unsinn ist. Scheinbar habe ich mein eigenes verqueres Weltbild Augenzwinkern

Ok, ich denk da nochmal drüber nach.

Aber eine Frage noch:

Beim Maximumprinzip ist es eine nichtkonstante Funktion und beim Minimumprinzip eine konstante?

17.08.2008, 15:19

Gargy

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Huch? Das obige $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , fortgesetzt auf den Einheitskreis in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist sehr wohl holomorph und es gilt ganz sicher nicht die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(0)|\leq |f(1)| \end{eqnarray*}$ !

Also ist schon mal eine ganze Funktion und auch beschränkt (oder bin ich da falsch?) - wäre nach dem satz von Liouville also konstant. Liegt's daran?

Wenn das Unsinn ist Forum Kloppe

17.08.2008, 15:24

system-agent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Hoppla, danke MSS.

$\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph ( $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beschränkt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} G\cup\partial G \end{eqnarray*}$ ). Dann gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ im Inneren von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w\in\partial G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(w)| \end{eqnarray*}$ .

17.08.2008, 16:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gargy
Also ist schon mal eine ganze Funktion und auch beschränkt (oder bin ich da falsch?) - wäre nach dem satz von Liouville also konstant. Liegt's daran?

Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was du mir hier sagen willst. Vielleicht nochmal im Zusammenhang mit Voraussetzungen etc.? Worauf diese Frage sich jetzt bezieht, kann ich absolut nicht nachvollziehen.

Zitat:

Original von Gargy
Hm, ok, wahrscheinlich liegt's an der naiven $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vorstellung. Wenn ich einen Kreis habe, dann sind für mich die Zahlen im Kreis halt kleiner, als die außen - obwohl das ja auch Unsinn ist.

Genau hier sieht man, dass du den Unterschied zwischen Definitions- und Bildbereich anscheinend nicht verstehst. Bei der Frage nach Maxima geht es um Maxima des Bildbereichs und nicht des Definitionsbereich! Siehe obiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : Das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ angenommen. Und die liegt im Innern von Definitionsbereich, ist insbesondere also kleiner als die auch im Definitionsbereich liegende $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

@system-agent
Mehr noch: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf dem Rand, sodass diese Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ (sogar für alle $\begin{eqnarray*} z\in G\cup \partial G \end{eqnarray*}$ ) gilt.

17.08.2008, 18:11

Gargy

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was du mir hier sagen willst. Vielleicht nochmal im Zusammenhang mit Voraussetzungen etc.? Worauf diese Frage sich jetzt bezieht, kann ich absolut nicht nachvollziehen.

Diese Frage bezieht sich auf deine Funktion, die, wie du selbst gesagt hast auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ fortgesetzt holomorph ist. Außerdem ist diese Funktion nach unten beschränkt, denke ich - keine Ahnung ob das stimmt. Deswegen ein Fragezeichen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Ja, Entschuldigung, dass ich schriftlich gedacht habe. Das Wort "Unsinn" in meinem Beitrag bestätigt deine Aussage, bevor du sie getätigt hast. Auf Seite 1 hatten wir das übrigens auch schon mal.

17.08.2008, 19:02

Mathespezialschüler

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Ja, ich hatte auch auf Seite 1 schon überlegt, ob ich dazu vielleicht etwas schreibe. Es schien so, als würdest du dich noch schwer tun mit der Unterscheidung zwischen Definitions- und Bildbereich.

Zitat:

Original von Gargy
Diese Frage bezieht sich auf deine Funktion, die, wie du selbst gesagt hast auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ fortgesetzt holomorph ist. Außerdem ist diese Funktion nach unten beschränkt, denke ich - keine Ahnung ob das stimmt. Deswegen ein Fragezeichen.

Diese Funktion kann auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht nach unten beschränkt sein, da man dort keine Ordnung hat (siehe oben). Also was genau meinst du mit nach unten beschränkt? Achja und gib bitte auch den Definitionsbereich an, auf dem DU das betrachten willst.

17.08.2008, 19:44

Gargy

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Ich hab keine Ahnung, welchen Definitionsbereich ich betrachte. Dass mit größer, kleiner, unten und oben ist mir übrigens klar. Ich weiß einfach nicht, wie ihr dazu sagt.

Wie ermittelt man denn, ob eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ beschränkt ist? Sowas muss es doch auch geben. Sonst wäre doch der Satz von Liouville zB totaler Unsinn. Ich wollte nur andeuten, dass die Funktion, die du vorgeschlagen hast, vielleicht nicht konstant ist, womit ja dann dieses Maximumprinzip nicht gelten würde.
Aber stattdessen stehen hier jetzt so viele Sachen, die mir total unklar sind, dass ich am besten vergesse, was ich gesagt habe.

Warum zB ist denn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ jetzt beschränkt? $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist doch schon definiert als Einheitskreisscheibe. Macht die Beschränkung die Ungleichung für deine Funktion auf einmal richtiger? Und warum sagt man, dies und das gilt, wenn es die und die Zahl gibt, die das erfüllt? Dann kann ich doch alles behaupten und den Rest so definieren, dass es passt. Ich fühl mich wie von einem anderen Planeten.

Ich finde, als nicht-Mathe-Crack darf man auch ruhig mal ein bisschen grübeln bis man in einer Gesamtgehirnverbiegung raushat, was das alles zu bedeuten hat...

Zitat:

Original von system-agent
Wenn du sagst du möchtest eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben, dann bedeutet das, du meinst eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f:E\to\mathbb C \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph, das bedeutet nach einem obigen Post auch, dass nicht die abgeschlossene Kreisscheibe gemeint sein kann !)
Das heisst die Funktion nimmt nur komplexe Zahlen von Innerhalb der Einheitskreisscheibe und schickt diese irgendwo hin.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Bei der Frage nach Maxima geht es um Maxima des Bildbereichs und nicht des Definitionsbereich! Siehe obiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : Das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ angenommen. Und die liegt im Innern von Definitionsbereich, ist insbesondere also kleiner als die auch im Definitionsbereich liegende $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber letztlich glaube ich verstanden zu haben, dass ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ habe (holomorph und was ich sonst so brauche) und alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus der Einheitskreisscheibe einmal da rein tue und gucke, welchen Wert das ergibt. Ist es ein Maximum sage ich: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat an der Stelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ (die ich gerade betrachtet habe) ein Maximum oder Minimum oder was weiß ich. Und als kuriose Ausdrucksweise, die nun auch in meinem Kopf einen Platz gefunden hat, sage ich dann: das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt auf dem Rand.

Bei mir bringt eben nur steter Tropfen die Erkenntnis. (Wobei ich die Fragen oben über den Zitaten immer noch habe)

Hat jemand einen Vorschlag, welches Buch ich mal unbedingt lesen sollte, bevor das Semester wieder los geht?

17.08.2008, 20:52

system-agent

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Zitat:

Original von Gargy
Ich hab keine Ahnung, welchen Definitionsbereich ich betrachte. Dass mit größer, kleiner, unten und oben ist mir übrigens klar. Ich weiß einfach nicht, wie ihr dazu sagt.

MSS hat es doch schon geschrieben: Angenommen du hast mal die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x)=1-x^2 \end{eqnarray*}$ .
Der Definitionsbereich ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Das heisst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nimmt reelle Zahlen aus diesem Intervall und bildet sie auf irgendwelche anderen reellen Zahlen ab.
Zb:
Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nimmt diese Zahl (aus dem Definitionsbereich) und schickt sie auf $\begin{eqnarray*} f(-1)=1-(-1)^2=1-1=0 \end{eqnarray*}$ (in den Bildbereich.)
Der Bildbereich sind also alle reellen Zahlen, welche auch Bild unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von einer Zahl aus dem Definitionsbereich sind.
Nun in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat man eine Ordnungsrelation (" $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ") und aufgrunddieser macht es Sinn zu fragen, wie gross denn nun die Bilder der Zahlen werden können. Zb. ist sicher $\begin{eqnarray*} f(-1)=0<1=f(0) \end{eqnarray*}$
[da für den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} -1<0<1 \end{eqnarray*}$ gilt, sieht man, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein Maximum in Inneren des Intervalls annimmt; also genau das tut was bei einer holomorphen Funktion nicht passieren kann].

Wenn man nun ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ hat und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ , dann kann man genauso wie bei der reellen Funktion schauen welche komplexen Zahlen als Bild auftreten. Aber die Frage nach der gegenseitigen "Grösse" der Funktionswerte (also " $\begin{eqnarray*} f(z)<f(w) \end{eqnarray*}$ ") ist sinnlos, denn die Funktionswerte sind eben komplexe Zahlen und auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ hat man keine Ordnungsrelation " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ".
Man kann wie vorhin schon angesprochen lediglich die Beträge der komplexen Zahlen mit " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ " vergleichen. Nehmen wir einmal an, wir haben ein $\begin{eqnarray*} z_0\in G \end{eqnarray*}$ gefunden so, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(z_0)| \end{eqnarray*}$ für jedes andere $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ , dann sagt man, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ein Maxmimum annimmt [ähnlich mit Minimum].
Nun falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zusätzlich sogar noch holomorph ist, dann sagt uns das Maximumsprinzip, dass das nicht auftreten kann, das heisst: Es ist möglich ein $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zu finden so, dass für jedes $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq|f(w)| \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Gargy
Wie ermittelt man denn, ob eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

Wie schon mehrfach gesagt, man kann die Beträge der Funktionswerte vergleichen. Bleiben diese beschränkt, sagt man, dass die Funktion beschränkt bleibt.

Zitat:

Original von Gargy
Warum zB ist denn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ jetzt beschränkt? $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist doch schon definiert als Einheitskreisscheibe.

Moment, nicht verwechseln!
Oben hatten wir es davon, dass Funktionswerte beschränkt bleiben, das heisst also Beträge komplexer Zahlen.
Hier hast du die Beschränktheit einer Menge zu betrachten !
Das ist ein Unterschied.
Siehe dazu hier

Zitat:

Original von Gargy
Macht die Beschränkung die Ungleichung für deine Funktion auf einmal richtiger? Und warum sagt man, dies und das gilt, wenn es die und die Zahl gibt, die das erfüllt? Dann kann ich doch alles behaupten und den Rest so definieren, dass es passt. Ich fühl mich wie von einem anderen Planeten.

Die Vorraussetzungen für einen Satz sind eben genau die Bedingungen die erfüllt sein müssen, dass die Aussage des Satzes gilt. Da gibts nichts zu definieren!
Wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind dann gilt eben die Aussage des Satzes nicht, oder jedenfalls nicht immer. Es kann durchaus sein dass du Beispiele findest, für welche die Aussage trotzdem gilt, obwohl einige Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Nur im Allgemeinen gilt die Aussage eben nur dann, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind.

Zitat:

Original von Gargy
Hat jemand einen Vorschlag, welches Buch ich mal unbedingt lesen sollte, bevor das Semester wieder los geht?

Du solltest die Grundlagen nochmals anschauen.
Von mir sei dir "Analysis I" von Otto Forster oder "Grundkurs Analysis I" von Klaus Fritzsche empfehlen.
Falls du wirklich Komplexe Analysis machen willst und die Grundlagen nochmals gut angeschaut hast, kann ich dir "Funktionentheorie I" von Reinhold Remmert empfehlen.

18.08.2008, 10:54

Gargy

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Irgendwie verwirrt ihr mich. Erst soll ich sagen, welcher Definitionsbereich, dann sag, dass ich den meine, den MSS schon hingeschrieben hat. Dann fragt er wieder welchen ich denn betrachte und wenn ich letztlich sage, keine Ahnung wovon ihr sprecht - und dann ist es doch wieder der, den MSS schon gemeint hat.

traurig

Aber ich danke euch erstmal. Werde mich etwas mehr damit befassen müssen und deswegen jetzt erstmal kräftig die Bücher wälzen.

18.08.2008, 15:45

Mathespezialschüler

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Ok, ich wollte einfach nochmal von dir genau wissen, welchen Definitionsbereich du meinst. Aber wenn du den Einheitskreis (inklusive Rand) meintest, dann macht die Aussage keinen Sinn. Denn dann kann es nach Definition schon keine ganze Funktion sein. Eine Funktion heißt ganz, wenn sie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert und holomorph ist. Und wenn sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, dann ist sie auch konstant. Aber wenn sie auf einer (beschränkten) Teilmenge holomorph und beschränkt ist, dann muss sie natürlich nicht konstant sein. Und natürlich ist diese Funktion, die ich dort angegeben hab, nicht konstant, das ist sie ja schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht.

Zitat:

Original von Gargy
Liegt's daran?

Und diese Frage verstehe ich nicht. Der Satz davor hatte ja zumindest noch einen Sinnzusammenhang, auch wenn er falsch war. Aber was soll jetzt woran liegen?

18.08.2008, 15:50

Gargy

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Scheinbar bin ich nicht der einzige, der hier nicht alles liest... Ist jetzt auch egal. Ich will's nicht mehr wissen, mir ist einiges klar geworden anderes nicht. Ich schau mir jez die Grundlagen an und überleg dann nochmal.

18.08.2008, 20:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und natürlich ist diese Funktion, die ich dort angegeben hab, nicht konstant, das ist sie ja schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht.

Aber wäre sie es, dann wäre sie es. Augenzwinkern

19.08.2008, 10:22

Gargy

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Genau das hatte ich gemeint. Vielen Dank.

19.08.2008, 10:25

Mathespezialschüler

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Tut mir leid, das verstehe ich leider nicht, Gargy. Es wäre ganz gut, wenn du noch mal von Anfang an deinen Gedankengang diesbezüglich darstellen würdest: Voraussetzungen, Behauptung, Begründung.

19.08.2008, 11:25

Gargy

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Ich habe keine Vorraussetzungen oder sowas parat... Ich wollte nur andeuten, dass deine Funktion, die du ürsprunglich mal aufgestellt hast (siehe ganz oben Seite 2) vielleicht einfach konstant ist und deswegen nicht ins Schema des Maximumprinzips passt.

Wenn sie für dich "natürlich nichkonstant" ist, dann ... tja, ich muss ja jedes Mal nachschlagen, was das eigentlich nochmal heißt. Für mich war das nicht so natürlich.

Es war eine Idee, nichts weiter.

"Liegt's daran?" Ist eine Frage, ob das stimmt: Ist die Funktion konstant und deswegen der Widerspruch zum Maximumprinzip? (siehe ebenfalls ganz oben Seite 2)

Ich will hier keinen Beweis führen (ha - als ob ich das hinkriegen würde! Augenzwinkern

).

Ihr habt euch viel Mühe gemacht, aber für einen Mathedeppen ist es manchmal schwer warum es schon wieder heißt: "Was willst du sagen? Schreib doch mal die Vorraussetzungen hin. So macht das keinen Sinn, natürlich ist das nicht so."

Wie ist es denn dann??? Ok, die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht konstant, weil sie es in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ schon nicht ist. Das wäre ja auch mal ein Hinweis gewesen.

19.08.2008, 17:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gargy
Wie ist es denn dann??? Ok, die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht konstant, weil sie es in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ schon nicht ist. Das wäre ja auch mal ein Hinweis gewesen.

Ich hätte dir diesen Hinweis gerne auch früher gegeben, aber das Problem war einfach, dass ich erst jetzt annähernd verstanden habe, was du überhaupt meintest, und zwar durch die folgenden Bemerkungen:

Zitat:

Original von Gargy
Ich habe keine Vorraussetzungen oder sowas parat... Ich wollte nur andeuten, dass deine Funktion, die du ürsprunglich mal aufgestellt hast (siehe ganz oben Seite 2) vielleicht einfach konstant ist und deswegen nicht ins Schema des Maximumprinzips passt.
[...]
"Liegt's daran?" Ist eine Frage, ob das stimmt: Ist die Funktion konstant und deswegen der Widerspruch zum Maximumprinzip? (siehe ebenfalls ganz oben Seite 2)

Ich habe anscheinend lange dein Problem nicht verstanden, aber ich glaube, dass ichs jetzt habe. Also, ich erklär jetzt nochmal die Zusammenhänge:

Die Funktion, die ich angegeben habe, widerspricht nicht dem Maximumprinzip. Sie widerspricht aber dem Satz, den system-agent oben einmal hingeschrieben hatte. Ich wollte mit dieser Funktion zeigen, dass das, was system-agent aufgeschrieben hatte, falsch ist. Er hat das Maximumprinzip nämlich falsch aufgeschrieben. Anscheinend dachtest du aber, er hätte es richtig aufgeschrieben und die von mir angegebene Funktion würde dem widersprechen. Da lag wohl das Missverständnis. Nochmal zur Klarstellung die richtige Formulierung des Maximumprinzips:

Ist $\begin{eqnarray*} G\subset C \end{eqnarray*}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ eine holomorphe Funktion auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , dann nimmt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kein Maximum an, außer wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist. Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beschränkt und kann man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G\cup \partial G \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen, so nimmt die Fortsetzung das Maximum höchstens auf dem Rand an.

edit: Danke Webfritzi.

19.08.2008, 17:55

Gargy

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Cool, danke.

19.08.2008, 18:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
und kann man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G\subset \partial G \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen

Das solltest du nochmal editieren. Augenzwinkern

31.08.2008, 23:35

Raumpfleger

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RE: holomorphe Funktion Verständnisfrage
Wenn Bilder erwartet werden, dann schau' hier:

http://demonstrations.wolfram.com/MapsOfAComplexVariable/

und such' dort allenfalls weiter herum - vielleicht hilft das Deinem Verständnis auf.

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holomorphe Funktion Verständnisfrage

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