Charakteristik einer Matrix |
| 20.05.2004, 10:19 | Jugster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Charakteristik einer Matrix
Habe hier eine eigentlich ganz einfache Aufgabe vor mir liegen: eine Quadratische Matrix von der ich die Inverse berechnen soll. Mich verunsichert jedoch der Satz "Berechne für den Fall Char K = 0" Keine Ahnung was ich da machen muss?!? Genauso soll ich für den Fall Char = 2 den Rang berechnen der Matrix. Hier mal die Matrix 2 1 2 0 2 -1 0 3 0 -2 3 -3 2 4 3 -2 Ich hoffe mir kann jemdn einen guten TIpp geben
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| 20.05.2004, 10:22 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht hier nicht um die Charakteristik der Matrix (die meines Wissens nicht definiert ist), sondern um die Charakteristik des Körpers, aus dem die Komponenten der Matrix stammen. Im Fall Charakteristik 0 rechnest du einfach mit rationalen Komponenten. Im Fall Charakteristik 2 rechnest du modulo 2. |
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| 20.05.2004, 10:25 | Jugster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab ich mir auch fast schon gedacht, es steht auch in der aufgabenstellung "es sei K ein Körper" konnte mir nur keiner beantworten, danke für die prompte antwort! |
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| 20.05.2004, 10:28 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen. Es gibt zwar ausser Q noch mehr Körper der Charakteristik 0 (alle enthalten Q als Teilkörper), aber da du nur rationale Einträge hast, finden alle Berechnungen in den rationalen Zahlen statt. Ebenso ist es mit Charakteristik 2: Der zweielementige Körper ist nicht der einzige, aber da du ganze Zahlen gegeben hast, besteht deine Matrix in jedem Körper der Charakteristik 2 nur aus den Komponenten 0 und 1, mit denen du modulo 2 rechnest. |
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| 20.05.2004, 14:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ist denn eigentlich die Charakteristik eines Körpers definiert? |
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| 20.05.2004, 18:49 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste Zahl n, so dass die 1 (im Körper) n-mal aufaddiert 0 ergibt. Die Charakteristik eines Körpers kann also entweder eine Primzahl oder 0 sein. PS.: Studierst du dann kein Mathe? Sonst wär dir der Begriff ja geläufig. Bist du Informatikstudent? |
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| 21.05.2004, 18:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hoffe nicht, dass da als Beleidigung gemeint ist.
Doch, ich studiere Mathe. Aber Mathe ist nicht das gleiche wie Algebra, nicht wahr? Davon habe ich nämlich keine Ahnung. OK, ich weiß, was Gruppen und Körper sind, aber mein Spezialgebiet ist die Funktionalanalysis. Da braucht man sowas nicht.Ich habe deine Definition aber noch nicht so ganz verstanden. Das muss ja dann ne zyklische additive Gruppe sein. Wie ist denn die Charakteristik von R? |
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| 21.05.2004, 18:15 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
R hat definitionsgmäß die Charakteristik 0, siehe SirJective Beitrag. Gruß vom Ben |
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| 21.05.2004, 18:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, aber aus Sir Jectives Beitrag war nicht herauszulesen, dass R die Charakteristik 0 hat. |
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| 21.05.2004, 22:42 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das könnte sein. Ich kenne mich nicht sehr gut aus in der Funktionalanalysis, aber da wird eh meistens in R oder C gerechnet oder Vektorräumen davon, nicht? Naja, zumindest nur Charakteristik 0. |
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| 22.05.2004, 05:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da spielen nur C- und R-Vektorräume eine Rolle. Die sind dann auch meist unendlichdimensional, denn alles andere kennt man ja schon aus der linearen Algebra. Besonders wichtig sind vollständige normierte Vektorräume (Banachräume). Auch werden die Vektorräume stark behandelt, auf denen ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist. Die heißen dann Hilberträume, wenn sie dazu noch vollständig sind in der vom inneren Produkt induzierten Norm-Topologie. Die Funktionalanalysis ist im großen und ganzen eigentlich die Fortsetzung der linearen Algebra auf euklidischen bzw. unitären Vektorräumen. Ich finde die Funktionalanalysis u.a. deshalb sehr interessant, weil in ihr viele andere Gebiete der Mathematik vorkommen wie z.B. Funktionentheorie (vor allem in der Spektraltheorie), lineare Algebra, Analysis, Maßtheorie oder auch Topologie. Auch ist sie anwendbar in sehr vielen Gebieten. |
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| 22.05.2004, 11:03 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weder die additive Gruppe von Q noch die von R ist zyklisch. Es geht bei der Charakteristik nur um die "ganzen Vielfache" = "endlich oft Addierten und deren Negative" der 1. Diese additive Untergruppe ist per Konstruktion zyklisch, muss aber nicht den ganzen Körper erfassen. Dies geschieht nur bei den Körpern Z/pZ. In Q und R ist diese Untergruppe gerade die Gruppe Z der ganzen Zahlen. Gruss, SirJective |
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| 22.05.2004, 20:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und warum sagt man nicht, die Charakteristik von R oder Q oder Z ist unendlich? |
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| 22.05.2004, 21:05 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das meinte ich mit "definitionsgemäß", dass es eben 0 ist und nicht unendlich. Wenn die Algebraiker unter uns es besser wissen , möge man mich berichtigen. Gruß vom Ben |
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| 22.05.2004, 23:50 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Charakteristik ist definiert als Erzeuger des Kern eines Homomorphismus, der von den ganzen Zahlen in den Ring/Körper abbildet. Da der Kern eines Ring-Homomorphismus ein Ideal ist, ist die Charakteristik dann entweder eine ganze Zahl n oder 0. Daher kommt das mit der Charakteristik Null (und nicht unendlich). |
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| 22.05.2004, 23:58 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte nochmal nachgeschaut und hab es tatsächlich als einfache Definition ohne Erklärung in meinem Skript gefunden. War allerdings auch in Linearer Algebra I, da wollte man uns wohl nicht überfordern 
(obwohl mich das bei dem Prof schon wundert... :P ).Gruß vom nicht-algebraischen Ben |
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| 23.05.2004, 00:02 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du nicht algebraisch bist, dann bist du ja transzendent! Das klingt so richtig philosophisch... *schwelg* 
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| 23.05.2004, 00:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab noch kein Polynom gefunden, dessen Nullstelle ich wäre... |
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| 23.05.2004, 00:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei K ein Körper mit Einselement e. Dann bilden für n aus Z die Elemente n·e = ±(e+e+...+e) einen Ring P, und die Abbildung Z -> P, n -> n·e ist ein Epimorphismus. Nach dem Homomorphiesatz ist P daher isomorph zu Z/I, wobei I das Ideal ist, das aus den ganzen Zahlen besteht, denen beim Homomorphismus die 0 zugeordnet wird. Z ist ein Hauptidealring ist, also wird I von einem einzigen Element erzeugt: I=(p). Man kann p als nichtnegativ annehmen. p kann nicht 1 sein, denn dann wäre 1·e=0, was in einem Körper unmöglich ist. Da K (und somit auch P) keine Nullteiler haben, kann auch Z/(p) keine haben. Bleiben also nur die Fälle p=0 oder p=Primzahl. Und diese dem Körper eineindeutig zuordenbare Zahl p nennt man die Charakteristik des Körpers. (So in etwa steht's in meinem alten van der Waerden, ein Klassiker, in dem ich immer wieder gerne nachschaue!) |
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| 23.05.2004, 11:36 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann also noch zusammenfassen, dass die Charakteristik eines Integritätsringes und eines Körpers (der ist ja auch ein Integritätsring) entweder 0 oder eine Primzahl ist. Ist ein kommutativer Ring nicht nullteilerfrei, so kann man seine Charakteristik analog definieren. In diesem Falle kann die Charakteristik auch eine Nichtprimzahl sein - aber ich wüsste nicht, wo dieser Fall mal auftritt... (muss aber nichts heissen). |
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| 23.05.2004, 12:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, den habe ich auch. "Algebra - Erster Teil" heißt es. Aber sooo oft schaue ich da nicht rein...
Kann halt kein Algebra. Auch den Kram, den du geschrieben hast, habe ich nur bis zur Hälfte verstanden. Aber immerhin...
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