Geometrie Affine Ebene

16.08.2008, 12:57

mr. proper

Geometrie Affine Ebene

hi! ich habe momentan ein grundsätzliches Verständnisproblem mit affinen Ebenen. Mir ist überhaupt nicht klar, warum es keine affine Ebene mit drei Punkten geben soll, dafür aber eine mit vier Punkten.
Wie ist das Parallelaxiom zu verstehen? Muss diese Parallele auch in der Menge IG sein?
Wätre nettm wenn mir da jemand helfen kann.

18.08.2008, 10:54

Leopold

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Hier scheint es um Axiomatik zu gehen. Ich beziehe mich einmal auf den Wikipedia-Beitrag.

Nehmen wir an, unsere Ebene bestünde aus genau drei Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ . Zu der Geraden $\begin{eqnarray*} g = AB \end{eqnarray*}$ und dem Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ muß es dann eine Parallele $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ geben, die sich mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht trifft. Es gibt aber insgesamt nur drei Geraden, nämlich $\begin{eqnarray*} AB, AC, BC \end{eqnarray*}$ . Eine von diesen muß also das gesuchte $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sein. Jede dieser drei Geraden hat aber mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Punkt gemeinsam. Also kann es das gewünschte $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht geben.

Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob meine Argumentation stimmt. Mir fehlt da irgendwie ein Axiom, daß eine Gerade stets mindestens zwei verschiedene Punkte enthalten muß. verwirrt

EDIT
Meine Argumentation scheint doch nicht zu stimmen. Hier auf Seite 9 unter 3.4 findest du einen Beweis: Die Eindeutigkeit einer Parallelen ist's!

18.08.2008, 13:14

system-agent

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RE: Geometrie Affine Ebene

Zitat:

Original von mr. proper
Muss diese Parallele auch in der Menge IG sein?

Das ganz sicher.

Du fängst an mit einer nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ . Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ sind die Punkte deiner Geometrie. Nun nimmst du irgendwelche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ , welche du Geraden nennst.
Damit daraus eine Inzidenzgeometrie wird, müssen die folgenden Axiome erfüllt sein:
(I1) Zu je zwei verschiedenen Punkten $\begin{eqnarray*} A,B\in\Pi \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Gerade $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l\ni A,B \end{eqnarray*}$ .
(I2) Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte, das heisst $\begin{eqnarray*} |l|\geq2 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} l\subset\Pi \end{eqnarray*}$ eine Gerade.
(I3) Es gibt drei nicht-kollineare Punkte

Man nennt zwei Geraden $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ parallel, falls entweder $\begin{eqnarray*} l=m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l\cap m =\emptyset \end{eqnarray*}$ [das heisst die Geraden treffen sich nicht; beachte: das hat nichts damit zu tun dass die Geraden immer den gleichen Abstand hätten oder so. Die beiden Geraden sind schliesslich nur Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ !]

Eine affine Ebene ist nun eine Inzidenzgeometrie $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ , für welche zusätzlich gilt:
Zu jeder Geraden $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ und jedem Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Gerade, welche zu $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ parallel ist und den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält.

Also ist die Argumentation von Leopold schon richtig.

18.08.2008, 13:17

Leopold

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(I2) wird aber in dem Wikipedia-Artikel nicht gefordert. Allerdings zeigt mein Link im vorigen Beitrag, wie man argumentieren muß.

18.08.2008, 13:30

system-agent

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Das ist wohl war. OK, als Referenz: ich habe das aus Hartshorne "Geometry: Euclid and Beyond".

18.08.2008, 19:37

mr. proper

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OKAY, danke, mir ist klar, dass es keine affine ebene mit drei punkten geben kann, wenn die parallelen auch in der menge sein müssen. aber müsste das nicht heißen, dass eine menge aus vier punkten nur dann eine affine ebene ist, wenn es sich um ein parallelogramm handelt? oder muss man da etwas weg von der anschaung? es wurde ja schon erwähnt: parallel muss nicht bedeuten gleicher abstand? aber mir ist z.b. nicht zu erklären warum ein dreick ABC mit einem Punkt D in der Mitte eine affine Ebene sein soll (Beispiel Koecher Krieg Ebene Geometrie S.8). Wo wäre denn hier die eindeutige Parallele zu AB durch C?

18.08.2008, 22:10

Leopold

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Nein, das ist ganz anders zu verstehen. Begriffe wie "Punkt", "Gerade", "inzidiert mit", "parallel" sind hier nur Worte. Was die Objekte ihrer Natur nach sind, ist völlig unerheblich. Wichtig ist nur, daß zwischen ihnen Beziehungen bestehen, wie sie durch die Axiome festgelegt sind.
Das Bild zeigt eine Veranschaulichung der affinen Ebene aus 4 Punkten.

Es gibt vier Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ .
Es gibt sechs Geraden: $\begin{eqnarray*} AB,AC,AD,BC,BD,CD \end{eqnarray*}$ .

Die Punkte kannst du dir tatsächlich als gewöhnliche Punkte vorstellen. Schon bei den Geraden dürfte das aber schwierig sein. Sieh z.B. die Gerade $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ einfach als Möglichkeit an, von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu gelangen, ohne weitere Punkte passieren zu müssen. Keinesfalls solltest du dir unter einer Geraden die gezeichneten Schlaufen selbst vorstellen. Am besten identifizierst du die Gerade $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit der Menge $\begin{eqnarray*} \{ A,B \} \end{eqnarray*}$ .

[attach]8494[/attach]

1.
Offenbar liegen je zwei Punkte auf genau einer Geraden (z.B. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf der Geraden $\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ ).

2.
Zu jeder Geraden und jedem nicht auf ihr liegenden Punkt gibt es eine Parallele durch den Punkt, die die Ausgangsgerade nicht trifft. (Und nur für dieses "Nichttreffen" steht hier "Parallelität".)
Was ist zum Beispiel die Parallele zu $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ?

3.
Und es gibt drei Punkte (ja sogar vier), die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Alles erfüllt, also eine affine Ebene!

Du kannst diese Ebene arithmetisieren. Nimm dazu den Körper $\begin{eqnarray*} K = \{ 0,1 \} \end{eqnarray*}$ mit zwei Elementen. Die Menge der Punkte ist dann

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P} = K^2 = \left\{ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ ist in kanonischer Weise ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Nennen wir die Punkte oben der Reihe nach $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ . Die Gerade $\begin{eqnarray*} g = BD \end{eqnarray*}$ ist dann die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \lambda \in K \end{eqnarray*}$

Formal sieht das also so aus wie in der gewöhnlichen zweidimensionalen euklidischen Geometrie. Wenn du die beiden möglichen Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzt, bekommst du $\begin{eqnarray*} g = BD = \{ B,D \} \end{eqnarray*}$ .

Die Menge der Geraden ist also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G} = \left\{ \{ A,B \} , \{ A,C \} , \{ A,D \} , \{ B,C \} , \{ B,D \}, \{ C,D \} \right\} \end{eqnarray*}$

Ob du nun das obige Bild als deine affine Ebene nimmst oder die Beschreibung mit $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ , ist egal. Beides sind Modelle für das Axiomensystem mit genau vier Punkten.

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