Differentialgleichung

17.08.2008, 17:32

eierkopf1

Differentialgleichung

Hallo!

Ich habe wieder mal eine Differentialgleichung, bei der ich nicht weiter komme:

Angabe
Lösen Sie die folgende DG:

$\begin{eqnarray*} y' + x^{2}y=x^{2} \end{eqnarray*}$

Lösung

Da es sich um eine inhomogene (Störfunktion: $\begin{eqnarray*} s(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$ ) lineare DG handelt, löse ich sie mit dem Superpositionsgesetz für lineare DGen:

$\begin{eqnarray*} y = y_H + y_P \end{eqnarray*}$

Zuerst $\begin{eqnarray*} y_H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' + x^{2}y=0 \end{eqnarray*}$

Löse ich mit Hilfe der Variablentrennung:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=-x^{2}dx \end{eqnarray*}$

Integriert:
$\begin{eqnarray*} ln\mid y \mid = \frac{-x^{3}}{3} + C \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich "e" an:
$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{x^{3}}{3}+C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{x^{3}}{3}}* e^{C} \end{eqnarray*}$

Jetzt darf ich ja das $\begin{eqnarray*} e^{C} \end{eqnarray*}$ durch zB $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ersetzen, oder?

Warum darf ich dieses $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ einfach weglassen?

Ergebnis von $\begin{eqnarray*} y_H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H =A e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Das partikuläre Integral der inhomogenen DG lässt sich in diesem Fall nur durch Variation der Konstanten finden, da ja die DG variable Koeffizienten ( $\begin{eqnarray*} xy' +y \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist der variable Koeffizient, oder? )

Deswegen wandle ich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in die Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ um:

$\begin{eqnarray*} y_P =A(x) * e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Da ich in die Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen muss, setze ich in die vollständige DG ein und dazu brauch ich auch noch $\begin{eqnarray*} y'_P \end{eqnarray*}$ :

Mit der Produktregel abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} y'_P = A' * e^{-\frac{x^{3}}{3}} + A*e^{-\frac{x^{3}}{3}}* \frac{-2x^{2}}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich in die vollständige DG ein:

$\begin{eqnarray*} y'_P + x^{2}y_P=x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A' * e^{-\frac{x^{3}}{3}} + A*e^{-\frac{x^{3}}{3}}* \frac{-2x^{2}}{3}) + x^{2}(A * e^{-\frac{x^{3}}{3}}) = x^{2} \end{eqnarray*}$

Genau da bleibe ich hängen: Wie forme ich diese Gleichung um, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wegfällt. Weil solange $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dabei ist, kann ich nicht integrieren, weil ich will ja die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Hat jemand einen Tipp für mich?

Danke schon mal für die Mühe.

mfg

17.08.2008, 18:10

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Zitat:

Original von eierkopf1
Warum darf ich dieses $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ einfach weglassen?

Da wird nichts "weggelassen", sondern ersetzt!

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} ln\mid y \mid = \frac{-x^{3}}{3} + C \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich "e" an:
$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{x^{3}}{3}+C} \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal nicht ganz korrekt. Unmittelbar folgt nämlich erst mal nur

$\begin{eqnarray*} |y| = e^{-\frac{x^{3}}{3}+C} = e^C \cdot e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

was nach Betragsauflösung die beiden Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} y = e^C \cdot e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y = -e^C \cdot e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

ergibt. Nun durchläuft $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ alle reellen Zahlen, dann durchläuft $\begin{eqnarray*} e^C \end{eqnarray*}$ alle positiven reellen Zahlen, und $\begin{eqnarray*} -e^C \end{eqnarray*}$ alle negativen reellen Zahlen, also alle reellen Zahlen (außer Null), und das wird dann alles durch das eine $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ substituiert.

Im Fall $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ hat man zwar keine Lösung von $\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y} = -x^2 \end{eqnarray*}$ , wohl aber eine von $\begin{eqnarray*} y' = -x^2y \end{eqnarray*}$ . Da gibt es eben feine Unterschiede. Augenzwinkern

17.08.2008, 20:01

eierkopf1

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von eierkopf1
Warum darf ich dieses $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ einfach weglassen?

Da wird nichts "weggelassen", sondern ersetzt!

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} ln\mid y \mid = \frac{-x^{3}}{3} + C \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich "e" an:
$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{x^{3}}{3}+C} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Mühe und die Erklärung!

Weißt du auch wo mein Fehler liegt?

17.08.2008, 20:47

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$\begin{eqnarray*} (x^3)' = 3x^2 \end{eqnarray*}$ , also nicht wie bei dir $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ .

18.08.2008, 09:46

eierkopf1

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} (x^3)' = 3x^2 \end{eqnarray*}$ , also nicht wie bei dir $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ .

Danke für die Hilfe!

Dh:

$\begin{eqnarray*} y'_P = A'e^{-\frac{x^{3}}{3}}-Ax^{2}e^{-\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Dann in die vollständige DG eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y'_P+x^{2}y_P = x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{x^{2}}{e^{-\frac{x^{3}}{3}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist gesucht -> unbestimmtes Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~A'~dx =A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^{2}*e^{\frac{x^{3}}{3}}~dx \end{eqnarray*}$

Mit der Partiellen Integration komme ich nicht weiter. Führt diese alleine nicht zum Ziel, oder?

Darum probiere ich es zusätzlich noch mit der Integration durch Substitution:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{x^{3}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= (3s)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s'=\frac{ds}{dx} \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} dx=\frac{ds}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} dx=\frac{ds}{(3s)^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Ich suche also das Integral von:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(3s)^{\frac{2}{3}}*e^{s}*\frac{ds}{(3s)^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Es kürzt sich etwas weg und daher ist eine Partielle Integration nicht mehr nötig:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{s}~ds \end{eqnarray*}$

Integriert ist es dann:
$\begin{eqnarray*} y_P= e^{\frac{x^{3}}{3}} + (k) \end{eqnarray*}$

In das Superpositionsgesetz für lineare DG eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} y= y_H + y_P \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=Ae^{-\frac{x^{3}}{3}} + e^{\frac{x^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Lösung ?

Ist mein Vorgehen OK, oder könnte ich noch etwas besser machen?

Vielen Dank für die Mühe.

mfg

18.08.2008, 10:16

Leopold

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Das gesuchte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht zugleich eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Wegen dieses Irrtums stimmt natürlich auch dein Ergebnis nicht. Es gilt ja vielmehr $\begin{eqnarray*} y = \operatorname{e}^{- \frac{x^3}{3}} \cdot A \end{eqnarray*}$ . Und ein so bestimmtes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , das ist dann eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Übrigens: Eine spezielle Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} y' + x^2 y = x^2 \end{eqnarray*}$ läßt sich unmittelbar erraten (sie ist so einfach, daß es einfacher fast nicht mehr geht; denke an ganz triviale Funktionen!). Dann kannst du dir nämlich die ganze weitere Rechnung sparen.

18.08.2008, 10:17

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18.08.2008, 11:02

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold
Das gesuchte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht zugleich eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Wegen dieses Irrtums stimmt natürlich auch dein Ergebnis nicht. Es gilt ja vielmehr $\begin{eqnarray*} y = \operatorname{e}^{- \frac{x^3}{3}} \cdot A \end{eqnarray*}$ . Und ein so bestimmtes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , das ist dann eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Danke für die Mühe.
Das habe ich total vergessen:

Ich setze jetzt $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y_P \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} y_P = \operatorname{e}^{\frac{x^3}{3}}* \operatorname{e}^{- \frac{x^3}{3}} \end{eqnarray*}$

gekürzt ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} y_P=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich $\begin{eqnarray*} y_H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_P \end{eqnarray*}$ in das Superpositionsgesetz von linearen DG ein:

$\begin{eqnarray*} y = A * \operatorname{e}^{-\frac{x^3}{3}}+1 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt das allgemeine Integral der inhomogenen DG, oder?

Stimmt das?

Zitat:

Original von Leopold
Übrigens: Eine spezielle Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} y' + x^2 y = x^2 \end{eqnarray*}$ läßt sich unmittelbar erraten (sie ist so einfach, daß es einfacher fast nicht mehr geht; denke an ganz triviale Funktionen!). Dann kannst du dir nämlich die ganze weitere Rechnung sparen.

Ich sehe das leider nicht, kannst du mir das erklären bzw. einen Tipp geben?

mfg

18.08.2008, 11:06

Leopold

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Na ja, setze einmal in deiner Lösung $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ .

18.08.2008, 11:09

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold
Na ja, setze einmal in deiner Lösung $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y=0+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$

Aber wieso sollte ich 0 einsetzen bzw. was sagt mir das?

(Leider nichts traurig

)

mfg

18.08.2008, 11:12

Leopold

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Das sagt dir, daß die Funktion konstant 1 eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist. Die, meine ich, hätte man auch erraten können. Und dann zu ihr die Lösungen der homogenen Differentialgleichung addieren. Das gibt dann genau die von dir rechnerisch gefundenen Lösungen.

18.08.2008, 11:30

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold
Das sagt dir, daß die Funktion konstant 1 eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist. Die, meine ich, hätte man auch erraten können. Und dann zu ihr die Lösungen der homogenen Differentialgleichung addieren. Das gibt dann genau die von dir rechnerisch gefundenen Lösungen.

Dh, ich habe richtig gerechnet Prost

Danke, jetzt verstehe ich es auch:

$\begin{eqnarray*} y' + x^{2}y=x^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=0 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann gibt die Gleichung eine wahre Aussage wieder.

Also kann ich immer zuerst versuchen, etwas für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ einzusetzen, damit die Gleichung trotzdem stimmt, oder?

Danke für deine Mühe!

Achja: Mittels Partielle Integration bin ich auf kein Integral für $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ gekommen. Ist es in diesem Fall alleine mit der Partiellen Integration gar nicht möglich, das Integral zu bestimmen ?

mfg

18.08.2008, 11:40

Leopold

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Zitat:

Original von eierkopf1
Also kann ich immer zuerst versuchen, etwas für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ einzusetzen, damit die Gleichung trotzdem stimmt, oder?

Lösungen durch Probieren zu finden, ist immer eine erlaubte Methode. Natürlich wird man nur in einfachen Fällen damit hinkommen.

Zitat:

Original von eierkopf1
Achja: Mittels Partielle Integration bin ich auf kein Integral für $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ gekommen. Ist es in diesem Fall alleine mit der Partiellen Integration gar nicht möglich, das Integral zu bestimmen ?

Gegenfrage: Ist die Lösung nicht offensichtlich, da der Integrand vom Typ $\begin{eqnarray*} \varphi'(x) f \left( \varphi(x) \right) \end{eqnarray*}$ ist, und zwar mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \frac{1}{3} x^3 \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch genau die Formel der Kettenregel. Und die Umkehrung davon ist eben die Integration durch Substitution.

18.08.2008, 12:17

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Danke sehr für die Hilfe.

Jetzt verstehe ich es:

Die Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} [f(\phi(x) ) ]'= f' (\phi(x) )*\phi' (x) \end{eqnarray*}$

Und da mein Integrand genau die gleiche Form wie das Ergebnis der Kettenregel hat, muss ich ihre Umkehrung "Integration durch Substitution" durchführen, um die Stammfunktion zu bestimmen.

mfg

18.08.2008, 12:26

Leopold

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Zitat:

Original von eierkopf1
Und da mein Integrand genau die gleiche Form wie das Ergebnis der Kettenregel hat, muss ich ihre Umkehrung "Integration durch Substitution" durchführen, um die Stammfunktion zu bestimmen.

Muß? Nein! Kann.
Du kannst ja die Kettenregel auch von rechts nach links lesen, dann ist das Ergebnis der Integration doch offensichtlich. Die Substitutionsregel spielt nur das formal nach, was man damit ohnehin schon weiß.

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