Wahrscheinlichkeitsrechnung

17.08.2008, 21:37

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo, Ich habe ein Problem, bei einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ seien beliebige Ereignisse. Gib mit Hilfe von P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ), P( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) und P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) die Wahrscheinlicheit dafür an, dass
a) mindestens eines, keines, höchstens eines, genau eines der beiden Ereignisse eintritt
b) nicht beide Ereignisse eintreten
c) entweder beide oder keines der beiden Ereignisse eintritt
d) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und nicht zugleich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eintritt

Meine Lösungsansätze:
a)
- Mindestens eines: P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) + P( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) - P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ )
- Keines: P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (quer)) + P( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (quer)) - P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (quer) über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (quer))
- Höchstens Eines: Keines + Genau Eines
- Genau Eines: P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (quer)) + P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (quer) über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ )

b)
Hier weiss Ich nicht genau weiter, evtl. 1,0 - Mindestens eines?

c)
traurig

traurig

Error

d)
traurig

traurig

Error

Vielen Dank für eure Hilfen im Voraus
MFG
L (Ryuzaki)

17.08.2008, 21:43

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit

Zitat:

Original von L (Ryuzaki)
P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ )

Soll das vielleicht $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , also die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts ("A geschnitten B") sein? verwirrt

verwirrt

17.08.2008, 21:48

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, ja ^^ Aber Ich hab das Zeichen nicht gefunden im Formeleditor unglücklich

unglücklich

Wie macht man das denn?
EDIT: Hab's schon entdeckt, der Befehl lautet: \cap
Ups, Ich hab das über genannt, weil der Bogen mich an eine Brücke ÜBER einen Fluss erinnerte ^^ Natürlich heisst es geschnitten Forum Kloppe

Forum Kloppe

17.08.2008, 21:58

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man sich übrigens sehr gut merken:

\cap ergibt einen Deckel: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ und \cup ergibt eine Tasse: $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$

Also mindestens eines ist richtig.
Danach ist aber ein Fehler. Das was du als "keines" berechnet hast, ist $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cup \overline B) \end{eqnarray*}$ also "nicht beide".

Viel mehr ist "keines" doch das Gegenereignis zu "mindestens eines". Also?

17.08.2008, 22:04

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Eselsbrücke ^^
Hmm, dann wäre es wohl 1,0 - Mindestens eines Big Laugh

Big Laugh

Dann ist b) ja auch gelöst :S

17.08.2008, 22:07

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Bei "Genau eines" benutzt du Wahrscheinlichkeiten, die du noch gar nicht kennst.

Beachte mal, dass die Ereignisse "Beide" und "Genau eines" disjunkt sind und vereinigt "Mindestens eines" ergeben.

Anzeige

17.08.2008, 22:15

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre das wohl: Beide - Mindestens eines
Und die Wahrscheinlichkeit für Beide ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ , oder?

17.08.2008, 22:16

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch. Denk nochmal drüber nach.

17.08.2008, 22:20

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja sagen es wäre einfach P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) und P( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ), aber das wäre doch zu einfach oder?
Wenn Ich davon Mindestens Eines abzöge bliebe aber nur P( $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ) über verwirrt

verwirrt

EDIT: Klammer

17.08.2008, 22:22

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Beachte mal, dass die Ereignisse "Beide" und "Genau eines" disjunkt sind und vereinigt "Mindestens eines" ergeben.

Bringe das doch mal in mathematische Sprache, wobei du das Ereignis "Genau eines" mal E nennst.

17.08.2008, 22:26

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sind denn "Beide" und "Genau eines" disjunkt? Denn "Genau eines" ist doch eine Teilmenge von "Beide", genauso wie "Mindestens eines".
Ich weiss jetzt nicht, was Ich damit anfangen soll unglücklich

unglücklich

PS: Wir hatten erst eine Doppelschulstunde Stochastik

17.08.2008, 22:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn beide erfüllt sind, kann doch nicht genau eines erfüllt sein. Und andersrum.

17.08.2008, 22:31

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt ist's klar. Aber Ich verstehe trotzdem nicht, was Ich da in eine mathematische Sprache bringen soll. Mir fehlt da irgendwie wieder der Ansatz.

17.08.2008, 22:32

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ disjunkt sind und sie vereinigt $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ ergeben, gilt $\begin{eqnarray*} P(E_1) + P(E_2) = P(E_3) \end{eqnarray*}$ .

Genau so sollst du das aufschreiben.

17.08.2008, 22:35

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso übertragen hiesse das:
Beide + Genau eines = Mindestens eines
Wobei meine Logik mir sagt, da gehört ein - hin.
So umgeformt ergäbe es:
Genau eines = Mindestens eines - Beide
mit dem -
Beide - Mindestens eines = Genau eines
Da fehlt mir ja dann auch noch "Beide"

17.08.2008, 22:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

"Beide" ist doch in der Vorraussetzung gegeben.

Dann erklär mir doch mal deine Logik. Dann kann ich dir vielleicht den Fehler aufzeigen.

17.08.2008, 22:40

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Logik sagt einfach:
Wenn "Beide" Ereignisse stattfinden und Ich davon "Genau Eines" abziehe, dann bleibt quasi noch ein Ereigniss über :S
Wo steckt "Beide" denn in den Vorraussetzungen, gibt es "Beide" schon in mathematischer Formulierung?

17.08.2008, 22:44

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L (Ryuzaki)
Meine Logik sagt einfach:
Wenn "Beide" Ereignisse stattfinden und Ich davon "Genau Eines" abziehe, dann bleibt quasi noch ein Ereigniss über :S

Das ist die völlig falsche Herangehensweise würde ich sagen verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von L (Ryuzaki)
Wo steckt "Beide" denn in den Vorraussetzungen, gibt es "Beide" schon in mathematischer Formulierung?

Aber klar doch. Wie wärs mit $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

17.08.2008, 22:49

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch nur die Menge aller gemeinsamen Elemen... aaaah Hammer

Hammer

Ja, das glaube Ich auch ^^
Aber wie komme Ich jetzt an "Genau Eines"?
"Mindestens eines" - "Beide" ?

17.08.2008, 22:50

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so.

17.08.2008, 22:52

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok:
Mindestens Eines - Beide:
P(A)+P(B)-P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) - P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B)
Das war's?

17.08.2008, 22:52

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo. Kannst natürlich noch zusammenfassen.

17.08.2008, 22:54

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

P(A)+P(B)-2P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B)

17.08.2008, 22:57

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht übrigens schöner aus, wenn du den ganzen Term mit Latex schreibst.

17.08.2008, 23:00

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag stimmen, aber Ich bin momentan mit dem Denken schon ziemlich beschäftigt Big Laugh

Big Laugh

Aber Ich mach's mal:
P( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ )+P( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ )-2*P( $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ )

Somit sollten die Aufgabenteile a) und b) gelöst sein.
Jetzt fehlen noch c) und d) und da habe Ich nun wirklich gar keine Idee unglücklich

unglücklich

17.08.2008, 23:02

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

c) geht über das Gegenereignis.

d) ist wirklich nicht so einfach, wenn ihr gerade erst mit Stochastik angefangen habt. Mache dir klar: $\begin{eqnarray*} P(A \cap \overline B) + P(A \cap B) = P(A) \end{eqnarray*}$ .

In dieser Gleichung stecken die gesuchte Wahrscheinlichkeit und zwei bekannte Wahrscheinlichkeiten, du kannst also nach der gesuchten auflösen.

Zum Latex: Ich meinte übrigens $\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)-2P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ .

17.08.2008, 23:11

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

c)
Einfach nur "Beide" + "Keines"? Ne Schnittmenge dürften die ja nicht haben, da sie das totale Gegenteil sind :S

d)
Ich merke schon ^^
Also, wenn Ich da konkrete Beispiele, z.B. einen Lalace-Würfel "einsetze", stimmt diese Gleichung.
Aber Ich muss sie ja logisch herleiten bzw. aufstellen können. Kannst du vielleicht mal kurz sagen, wie du diese Gleichung formuliert hast?

17.08.2008, 23:13

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo so geht die c) auch.

Zur d)
Man teilt die Menge A auf. In die Elemente aus A, die auch in B drin sind und in die Elemente aus A, die nicht in B drin sind.

17.08.2008, 23:15

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Systematisch könnte man bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung auch so vorgehen:

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, den Wahrscheinlichkeitsraum in die 4 relevanten, disjunkten Ereignisse zu zerlegen:

$\begin{eqnarray*} E_1 = A \cap B \\ E_2 = \overline{A} \cap B \\ E_3 = A \cap \overline{B} \\ E_4 = \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray*}$

(die Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} E_1,\ldots,E_4 \end{eqnarray*}$ ist natürlich Willkür).

Aufbauend darauf kannst du dann alle Ereignisse aus a) bis d) als Vereinigung von eins, zwei oder drei dieser Ereignisse $\begin{eqnarray*} E_1,\ldots,E_4 \end{eqnarray*}$ darstellen. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann auch sehr schnell als entsprechende Summen, sofern man vorher als Hilfsbetrachtung $\begin{eqnarray*} P(E_1),\ldots,P(E_4) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Hängt natürlich alles davon ab, dass man von der sprachlichen Beschreibung in a) bis d) ausgehend die genannten Vereinigungen richtig hinkriegt...

P.S.: Wollte nicht weiter stören, aber vielleicht hilft diese Systematik beim besseren Verstehen.

17.08.2008, 23:24

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Ich versuch's mal:
Gesucht ist eine Menge, in der alle Elemente von A, aber keines von B enthalten ist. Die Schnittmenge müsste also leer sein.
Um das zu formulieren schreibt man die Menge A um:
Denn alle Elemente aus A sind zwangsweise entweder in der Schnittmenge mit B oder aber in der Schnittmenge mit $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Und genau diese ist die gesuchte Schnittmenge, da die Elemten in A vorhanden sein müssen, aber nicht in B sein können, da sie ja in $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ sind.

Arthur:
Sicherlich ein guter Vorschlag, aber Ich bin schon mit einem Aufgabenteil nach dem anderen überfordert Big Laugh

Big Laugh

Das sieht mir zu kompliziert aus bzw. die andere Methode ist noch logischer. Momentan steige Ich sowieso nicht so ganz hinter dieses Thema, das kommt hoffentlich noch und dann kann Ich eine Aufgabe auch so angehen. Danke für deinen Hinweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2008, 23:32

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L (Ryuzaki)
Das sieht mir zu kompliziert aus

Das ist es ganz und gar nicht. Wenn dich Formeln abschrecken und du eher "bildhaft" denkst, dann denk mal an Mengendiagramme. Die von mir genannten vier Grundereignisse entsprechen praktischen den vier Teilflächen in diesem Diagramm.

17.08.2008, 23:41

L (Ryuzaki)

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, die Mengendiagramme sind echt nicht schlecht, jetzt versteh Ich schonmal ein Stück mehr. Aber irgendwie blick Ich trotzdem nicht ganz dahinter unglücklich

unglücklich

Für heute ist mein Hirn verbraucht Big Laugh

Big Laugh

Aber wenigstens habe Ich diese Aufgabe grösstenteils verstanden, dankesehr euch beiden smile

smile

Gute Nacht
MFG
L (Ryuzaki)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »