Kettenregel

18.05.2006, 09:40

Kira 007

Kettenregel

Hallo zusammen

fange gerade mit dem Ableiten an brauche das für mein Studium, und da ich das nicht in der Schule hatte ist es Neuland.

Die Kettenregel habe ich bereits verstanden z.B bei so einer Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4+3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(x^4+3)*4x^3=8x^3(x^4+3)=8x^7+24x^3 \end{eqnarray*}$

wie ist aber z.B mit dem Ableiten von Wurzeln ?

Gruß Kira

18.05.2006, 09:44

grybl

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RE: Kettenregel
du kannst ja jede Wurzel als Potenz schreiben und somit funktioniert das genauso wie bei deinem Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2x+4}=(2x+4)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 09:45

Dual Space

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Es ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du es wieder ganz analog zu deinem Bsp. machen. Wink

Edit: ...

18.05.2006, 09:46

klarsoweit

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RE: Kettenregel
Allgemein gilt für Potenzfunktoinen:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ für n ungleich 0.

Das gilt auch für Wurzeln. Diese kann man mit Brüchen als Exponent darstellen. Augenzwinkern

EDIT Na sowas. Als ich Kira's Frage sah, war kein Mensch da. traurig

18.05.2006, 10:40

Kira 007

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Ok dann starte ich mal

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(2x+4)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3}*(2x+4)^\frac{-1}{3}*(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{(2x+4)^\frac{1}{3}}}*2 \end{eqnarray*}$

soweit richtig oder habe ich was falsch gemacht

18.05.2006, 11:30

klarsoweit

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Was ist denn 1/3 - 1 ?
Und die Umformung in den Wurzelausdruck ging auch daneben.

18.05.2006, 11:52

JochenX

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von Kira 007
fange gerade mit dem Ableiten an brauche das für mein Studium, und da ich das nicht in der Schule hatte ist es Neuland.
[.....]
wie ist aber z.B mit dem Ableiten von Wurzeln ?

Ein wenig fühle ich mich verarscht; du fängst JETZT erst mit ableiten an und mit Wurzeln....
Und was haben wir dann hier damals zusammen erarbeitet?

18.05.2006, 14:06

Kira 007

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ich weiß das war unvernüftig damals die Wurzeln abzuleiten, kannte damals noch keine Kettenregel.

hatte damitzutun das wir in der Schule mal eine Wurzelaufgabe hatten aber halt keine Kettenregel

außer der konstanten Regel hatten wir halt nichts.

Tut mir leid LOED

18.05.2006, 14:33

Kira 007

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was habe ich den bei meiner Aufgabe alles falsch gemacht, würde es gerne verstehen.

18.05.2006, 14:54

klarsoweit

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Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2006, 15:45

Kira 007

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f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 16:05

klarsoweit

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Na, ja.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{\frac{-2}{3}} \end{eqnarray*}$ würde ich gelten lassen.
Und jetzt nochmal das ganze mit der Kettenregel.

18.05.2006, 16:14

Ben Sisko

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Zitat:

Original von klarsoweit
Na, ja.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{\frac{-2}{3}} \end{eqnarray*}$ würde ich gelten lassen.
Und jetzt nochmal das ganze mit der Kettenregel.

Ich würde ja $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}} \end{eqnarray*}$ sagen Augenzwinkern

18.05.2006, 16:21

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=(2x+4)^\frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3}*(2x+4)^\frac{-2}{3}*(2) \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich das ganze noch wieder als Wurzel schreiben richtig

18.05.2006, 16:49

grybl

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Beachte Bens post!

18.05.2006, 16:57

Kira 007

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habe es mal verbessert Ok so

18.05.2006, 17:08

grybl

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Jetzt ist es korrekt

doch es wäre für User, die das später nachverfolgen wollen, besser gewesen, wenn du die neue Variante in einen neuen post gestellt hättest

Ich bin nun gespannt auf deine Zurückumwandlung der Wurzel smile

18.05.2006, 17:13

Kira 007

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Das kannst Du auch sein denn damit habe ich die größsten Schwierigkeiten aber ich versuche es mal

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 17:18

grybl

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18.05.2006, 17:23

Kira 007

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Ok nehme mal eine eine Aufgabe die ich jetzt ganz alleine rechne

Aufgabe lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=5\sqrt{4x-2} \end{eqnarray*}$

rechne dann mal

Stelle die Aufgabe gleich rein muss sie nur eben ausrechen

$\begin{eqnarray*} 5*(4x+2)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}(4x+2)^\frac{-3}{2}*(4) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig

18.05.2006, 19:08

Kira 007

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oder ist das total falsch

18.05.2006, 19:11

MrPSI

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was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - 1 \end{eqnarray*}$ ? Auf keinen Fall $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .
Ansonsten ist deine Ableitung richtig.

18.05.2006, 19:20

Kira 007

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Ok natürlich

ergibt also $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}(4x+2)^\frac{-2}{3}*(4) \end{eqnarray*}$

wo schreibe ich das nun aber um in eine Wurzel mein Problem ist folgendes wo ich mir nicht ganz sicher bin wie ziehe ich die fünf halbe noch mit in die wurzel

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}* \frac{4}{\sqrt[3]{(4x+2)^2}} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 19:23

MrPSI

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*räusper* die Lösung ist auch nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 19:25

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}(4x+2)^\frac{-1}{2}*(4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5* \frac{4}{\sqrt[3]{(4x+2)^2}} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 19:42

MrPSI

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die korrekten Formeln würden lauten
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}(4x+2)^\frac{-1}{2}*(4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}* \frac{4}{\sqrt{4x+2}} \end{eqnarray*}$

Ich bitte dich bei deinen Formel etwas mehr Sorgfalt anzunehmen.

Was das "unter die Wurzel ziehen" anbelangt, würde ich dir raten, aus der 2 im Nenner eine $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2} \end{eqnarray*}$ zu machen, dann darfst du es unter die Wurzel ziehen.

Aber wenn man es genau nimmt, ist das gar nicht nötig, denn die 2 im Nenner kann man wegkürzen (Klar warum?).

18.05.2006, 19:46

Kira 007

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Nicht so ganz

$\begin{eqnarray*} 5* \frac{4}{\sqrt[3]{(4x+2)^2}} \end{eqnarray*}$

ist das denn falsch

18.05.2006, 19:51

MrPSI

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Man könnte die Formel so umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}* \frac{4}{\sqrt{4x+2}} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot \sqrt{4x+2}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot \sqrt{4x+2}} \end{eqnarray*}$ .

Und da der Nenner und Zähler jeweils mit 2 multipliziert wird, kann man die 2 wegkürzen und es bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{4x+2}} \end{eqnarray*}$ übrig.
Jetzt klar?

//edit: ja, deine Formel ist falsch, weil im Exponenten $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ steht, und nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 20:04

Kira 007

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Ja ist mir klar geworden mache noch eine mal alleine

$\begin{eqnarray*} f(x)= 7*\sqrt[3]{9x^2+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{7}{3}* \frac{18x}{\sqrt[3]{(9x^2+4)^2}} \end{eqnarray*}$

das müsste richtig sein oder

könnte ich das nicht so stehen lassen oder wie muss ich die siebendrittel noch in die Wurzel ziehen

18.05.2006, 20:11

MrPSI

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Die Ableitung ist so richtig Freude

und kann man stehen lassen. Aber man kann auch noch die 3 in die Wurzel ziehen und man kann auch hier wieder kürzen. Augenzwinkern

18.05.2006, 20:13

Kira 007

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wie würde es denn hier funktionieren nur das mir das nochmal richtig klar wird ansonsten habe ich alles verstanden

18.05.2006, 20:23

MrPSI

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Meinst du nur das "in die Wurzel ziehen"?

Generell gilt die Regel $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b} \end{eqnarray*}$ .

Also muss man in diesem Fall eine Zahl x suchen, für die $\begin{eqnarray*} 3=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ gilt. Danach darfst du beide Wurzeln vereinigen.
Natürlich muss man sowas nicht so detailliert rechnen, sondern das geht locker im Kopf. Augenzwinkern

18.05.2006, 20:32

Kira 007

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ja genau ich meine nur das in die Wurzel ziehen,wobei sowas in einer Klausur sowieso unnötig zeit Kostet, zum Verständnis möchte ich es aber trotzdem kapieren

18.05.2006, 20:34

MrPSI

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Und hast du es kapiert, oder hapert es noch irgendwo? Wenn es Schwierigkeiten gibt, wo?

18.05.2006, 20:39

Kira 007

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Zitat:

Original von MrPSI
Meinst du nur das "in die Wurzel ziehen"?

Generell gilt die Regel $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b} \end{eqnarray*}$ .

Also muss man in diesem Fall eine Zahl x suchen, für die $\begin{eqnarray*} 3=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ gilt. Danach darfst du beide Wurzeln vereinigen.
Natürlich muss man sowas nicht so detailliert rechnen, sondern das geht locker im Kopf. Augenzwinkern

ja wie finde ich die Zahl bei dem voherigen Beispiel sah das so leicht aus

18.05.2006, 20:53

MrPSI

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Okay, ich versuchs mal anders. Wenn man 2 Brüche addieren will, so muss man die beiden auf den gleichen Nenner bringen, und wenn man eine Zahl unter die Wurzel ziehen will, so muss man die Zahl auf die "gleiche Wurzel bringen". Das heisst, dass du aus der Zahl 3 eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ machen musst.
Ich schätze du weisst, was x in diesem Falle sein muss.

Das allgemeine Verfahren geht so: Wenn du eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hast, die du unter eine n-te Wurzel ziehen willst, so ist die gesuchte Zahl $\begin{eqnarray*} x=a^n \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} =(a^n)^{\frac{1}{n}}=a^{n \cdot \frac{1}{n}}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 20:59

Kira 007

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Ok ich schaue mir das morgen alles nochmal in Ruhe an wenn ich dann noch Fragen habe melde ich mich

wie würde das denn bei dieser Aufgabe aussehen vestehe es dann bestimmt noch besser

Danke für Deine Hilfe

Gruß Kira

18.05.2006, 21:14

MrPSI

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bei deinem Beispiel würde das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} 3=\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[3]{27} \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 21:23

Kira 007

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Danke Dir

Schaue es mir morgen noch mal genau an müsste aber dann alles klar sein

Gruß Kira

20.05.2006, 16:43

Kira 007

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habe hier noch eine Frage zu der folgenden Aufgabe

und zwar kann ich die mit der kettenregel ableiten

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[4]{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{4}*(x^3)^\frac{-3}{4}*(3x^2) \end{eqnarray*}$

wenn ich das umschreibe in die Wurzel erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2}{4*\sqrt[4]{(x^3)^3}} \end{eqnarray*}$

wenn ich das aber mit der einfachen Potenzregel berechne erhalte ich

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{4*\sqrt[4]{x}} \end{eqnarray*}$

hab ich bei der Kettenregel was falsch gemacht ?

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