Sinus- u. Kosinussatz: Dreieck - Schwerlinien

19.08.2008, 22:07

eierkopf1

Sinus- u. Kosinussatz: Dreieck - Schwerlinien

Hallo!

Habe ein Beispiel, bei dem ich nicht weiter komme:

"Von einem Dreieck kennt man die Länge der Seite $\begin{eqnarray*} b=48 mm \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} h_b = 19,468 mm \end{eqnarray*}$ sowie den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha = 44,05 ° \end{eqnarray*}$ . Berechne den Winkel, den die Schwerlinie $\begin{eqnarray*} s_a \end{eqnarray*}$ mit der Höhe $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ einschließt!"

Ich habe bis jetzt eine Skizze gezeichnet und die Schwerlinien und Höhen eingezeichnet sowie die gegebenen Größen markiert.

So wie ich das sehe, kann ich nur den Sinussatz anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{h_b}{ \sin(\alpha) } = \frac{b}{ \sin( was?) } \end{eqnarray*}$

Welchen Winkel bekomme ich heraus? Weil ich muss doch $\begin{eqnarray*} h_b \end{eqnarray*}$ bis zum Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ "verschieben", aber ich sehe kein neues Dreieck, das entsteht unglücklich

Kann mir wer helfen?

mfg

19.08.2008, 22:47

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Zitat:

Original von eierkopf1
Ich habe bis jetzt eine Skizze gezeichnet und die Schwerlinien und Höhen eingezeichnet sowie die gegebenen Größen markiert.

Dann verstehe ich nicht, wie du auf die Idee mit dem Sinussatz in der Form dort kommst. unglücklich

Bei der Aufgabe sieht es auf den ersten Blick gar nicht so einfach aus, einen Schlachtplan zu entwerfen, der in möglichst wenig Schritten zum Ziel führt. Aber ich mach mal einen Anfang:

1) Aus $\begin{eqnarray*} h_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kannst du $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ berechnen (rechtwinkliges Dreieck!)

2) Aus $\begin{eqnarray*} b,c,\alpha \end{eqnarray*}$ ermittelst du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Mit weiteren Rechnungen kannst du dich dann zu dem Dreieck bestehend aus den Seiten $\begin{eqnarray*} h_a,s_a \end{eqnarray*}$ und dem fehlenden Teilabschnitt auf Seite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ vortasten, und letztlich dann den gesuchten Winkel bestimmen.

Möglicherweise geht's auch schneller, weil ich gerade irgendwas übersehe - aber so wie skizziert, klappt's jedenfalls erstmal.

Stell doch erstmal deine Skizze hier rein!

19.08.2008, 23:16

riwe

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RE: Sinus- u. Kosinussatz: Dreieck - Schwerlinien
ich würde das ganze in ein koordinatensystem legen mit A(0/0).

dann bekommst du schnell verwirrt

$\begin{eqnarray*} tan\sigma=\frac{m^2(b^2-h^2)-h^2}{2bhm^2}\to \sigma=36.6123° \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m=tan\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=h_b \end{eqnarray*}$

edit: $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ korrigiert, ich hatte für $\begin{eqnarray*} \alpha=40.5 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 40.05 \end{eqnarray*}$ eingegeben

20.08.2008, 08:58

eierkopf1

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von eierkopf1
Ich habe bis jetzt eine Skizze gezeichnet und die Schwerlinien und Höhen eingezeichnet sowie die gegebenen Größen markiert.

Dann verstehe ich nicht, wie du auf die Idee mit dem Sinussatz in der Form dort kommst. unglücklich

Danke für die Antwort. Hab das Beispiel mit deinem Ansatz für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gelöst.

Ich habe zuerst gedacht, dass ich nur diese 3 Größen habe und deswegen mit denen rechnen muss. Auf den rechtenwinkel (4. Größe) habe ich vergessen.

Also könnte ich mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ alleine nichts brauchbares berechnen, oder?

mfg

20.08.2008, 09:00

eierkopf1

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RE: Sinus- u. Kosinussatz: Dreieck - Schwerlinien

Zitat:

Original von riwe
ich würde das ganze in ein koordinatensystem legen mit A(0/0).

dann bekommst du schnell verwirrt

$\begin{eqnarray*} tan\sigma=\frac{m^2(b^2-h^2)-h^2}{2bhm^2}\to \sigma=39.1215° \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m=tan\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=h_b \end{eqnarray*}$

Danke für die Antwort. Wie kommst du auf diese Formel?

mfg

20.08.2008, 09:31

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Da sollst du wohl selbst ein wenig drüber nachdenken. Augenzwinkern

Allerdings ist die Lage des Dreiecks im Koordinatensystem durch die bloße Angabe von A nur unzureichend beschrieben, da besteht noch ein Freiheitsgrad im Drehwinkel... Am günstigsten für die Berechnung wird wohl sein, wenn du Punkt C auf eine der Achsen legst, z.B. die positive x-Achse.

Grundsätzlich wird Werner dann wohl so vorgegangen sein, dass er verschiedene Geraden und deren Anstieg betrachtet hat, wobei für die Differenz der Anstiegswinkel wahrscheinlich das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \tan(u-v) = \frac{\tan(u)-\tan(v)}{1+\tan(u)\tan(v)} \end{eqnarray*}$

zum Zuge gekommen ist. Aber Werner wird mich sicher korrigieren, falls er anders vorgegangen ist. Augenzwinkern

20.08.2008, 11:09

riwe

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ich habe die koordinaten etwas anders gewählt,
da kann man dann eigentlich alles direkt ablesen.
und dann die von Arthur Dent angegebene formel verwendet,

was mit $\begin{eqnarray*} \alpha= 40.05° \quad{ }\sigma= 36,6123° \end{eqnarray*}$ ergibt

(wegen der größe des schnittwinkels siehe oben)

20.08.2008, 11:21

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Zitat:

Original von riwe
ich habe die koordinaten etwas anders gewählt,

Anders als was? verwirrt

Zitat:

Original von Arthur Dent
Allerdings ist die Lage des Dreiecks im Koordinatensystem durch die bloße Angabe von A nur unzureichend beschrieben, da besteht noch ein Freiheitsgrad im Drehwinkel... Am günstigsten für die Berechnung wird wohl sein, wenn du Punkt C auf eine der Achsen legst, z.B. die positive x-Achse.

20.08.2008, 11:31

riwe

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von riwe
ich habe die koordinaten etwas anders gewählt,

Anders als was? verwirrt

Zitat:

entschuldige, das habe ich nicht gesehen bzw. komplett falsch gelesen.
(statt .....z.B.... sah ich: .... B (auf) die positive achse (legst))

ich brauche eine neue brille

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