Differenzierbarkeit - Stetigkeit? |
19.05.2006, 01:26 | HobbyStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Differenzierbarkeit - Stetigkeit? sitze jetzt mal wieder seit ein paar Tagen an so einigen Aufgaben und bin dabei bei zweien hängengeblieben. Nummer1: Sei Komme auf keinen grünen Zweig hier. Da die Funktion ja mit jedem "Schritt" zwischen x^2 und 0 hin- und herwechselt, dürfte sie ja nicht einmal stetig sein (,außer vielleicht in 0??). Demnach könnte dann doch auch kein differenzierbarer Punkt gefunden werden, oder?! Die nächste Aufgabe bereitet mir auch ziemliches Kopfzerbrechen: . Habe hier zunächst versucht zu zeigen, dass die Ableitung von g(x) > 0 ist auf dem angegebenen Intervall. Sei also g monoton wachsend. Dann gilt: So weit, so gut.... aber wie geht's dann weiter? Kann ich durch diese Aussage zu der Feststellung kommen, das f'(x) monoton wächst (,dann wär's ja bewiesen...)?? Habe ich vielleicht einen falschen Ansatz? Bin für jede Hilfe dankbar! Gruß Jens |
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19.05.2006, 09:02 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Wenn du noch begründest, warum die Funktion in keinem Punkt stetig ist, bist du fertig. |
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19.05.2006, 09:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Die Stelle x=0 bedarf vermutlich einer gesonderten Untersuchung. zu Aufgabe 2: Nutze den Mittelwertsatz. Damit ist f(x) - f(0) = ... Löse nach f(x) auf und setze das in f'(x)*x - f(x) ein. |
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19.05.2006, 09:47 | HobbyStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Tut mir leid, wenn ich im Moment so begriffsstutzig bin , aber könntest Du das evtl. etwas weiter ausführen? Sitze die letzten Tage jede Nacht bis ~2.30 Uhr vor Mathe und techn. Info. und hab so langsam das Gefühl, gar nix mehr zu raffen... |
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19.05.2006, 10:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit? zu Aufgabe 1: Zeige deine Vermutung, daß die Funktion für x ungleich Null nicht stetig ist. Für x=0 untersuche den Differenzenquotienten zu Aufgabe 2: Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein und Und wie gesagt: löse das nach f(x) auf und setze in f'(x)*x - f(x) ein. |
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19.05.2006, 16:27 | HobbyStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
.... oh, hab gerade gesehen, dass das jetzt nur für gilt . Kann ich das trotzdem in dieser Art mit einer Fallunterscheidung machen? Also einmal obiges für a>0 und eine entsprechende Abwandung für a<0? Oder darf ich dem generell keine Beschränkungen wie auferlegen?
OK, danke, kommt ne wahre Aussage raus. Gruß Jens |
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19.05.2006, 16:41 | HobbyStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
So in etwa? |
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19.05.2006, 22:23 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Du solltest schon eine Fallunterscheidung einbauen. Ansonsten muss es am Schluss heißen. Grüße Abakus |
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19.05.2006, 22:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit? Ich weiß nicht, ob ich den Beweis für die Unstetigkeit gelten lassen würde. Wobei der prinzipielle Beweisgedanke richtig ist. Also ich würde es so formulieren: Sei a ungleich Null und irrational. Wäre f in a stetig, dann gibt es zu epsilon = a²/4 ein delta > 0 mit |f(x) - f(a)| < epsilon für alle x mit |x - a| < delta. Insbesondere gibt es ein rationales x0 mit |x0 - a| < delta. Zusätzlich läßt sich x0 so wählen, daß auch |x0 - a | < |a/2| ist. Dann ist jedoch: |f(x0) - f(a)| = x0² > a²/4 = epsilon und damit Widerspruch zur Stetigkeit. Analog zeigt man die Unstetigkeit für rationales a. Bei der Differenzierbarkeit in x=0 untersuche den Betrag des Differenzenquotienten: Wenn der Betrag des Differenzenquotienten gegen Null konvergiert, dann auch der Differenzenquotient ohne Betrag. Fertig. |
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20.05.2006, 00:14 | HobbyStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Warum nicht? Was genau ist verkehrt? Dabei war ich schon so stolz auf mich.... Hab den ganzen Mist schon ausführlich in LaTex gesetzt. Könnte man "meinen" Beweis insofern verbessern, dass er gültig ist? Dann müsste ich nicht gleich alles ändern. Habe bereits die Stelle, an der ich vorausgesetzt habe, umgeändert in . Somit sollte zumindest der Gültigkeitsbereich auf ganz erweitert sein... Bis hierhin aber auf jeden Fall schon mal danke für alle Antworten Gruß Jens |
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20.05.2006, 09:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit? Ich schau es mir später mal an. Habe aber übers Wochenende keine Zeit. |
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