Stirlingsche Zahlen zweiter Art

21.05.2004, 09:10	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stirlingsche Zahlen zweiter Art Hiho. Ich wollte fragen, ob es wie für die Binomialkoeffizienten eine nichtrekursive Darstellungsform für die Sitrlingzahlen zweiter Art gibt. Bisher weiß ich nur, dass $\begin{align} S_{{n,k}=S_{n-1,k-1}+6S_{n-1,k} \end{align}$ Gruß Hanno
21.05.2004, 10:18	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast in deiner Formel eine Typo drin: $\begin{align} S_{n,k} = S_{n-1,k-1} + kS_{n-1,k} \end{align}$ Ich hab für dich noch ne weitere rekursive Darstellung: Betrachte die Anzahl der (i+1)-elementigen Teilmengen der Menge M:={1,...,n}, die n enthalten. Das sind genau $\begin{align} \(\array{n-1\\i}\) \end{align}$ Stück. Für die übrige (n-1-i)-elementige Menge gibt es noch $\begin{align} S_{n-1-i,k-1} \end{align}$ Möglichkeiten, sie in k-1 Teilmengen zu partitionieren. Damit haben wir M in k Teilmengen partitioniert und es gilt $\begin{align} S_{n,k}=\sum_{i=0}^{n-1} \(\array{n-1\\i}\) S_{n-1-i,k-1} \end{align}$ . Substituiert man j = n-1-i, erhält man $\begin{align} S_{n,k}=\sum_{j=0}^{n-1} \(\array{n-1\\n-1-j}\) S_{j,k-1} \end{align}$ $\begin{align} =\sum_{j=0}^{n-1} \(\array{n-1\\j}\) S_{j,k-1} \end{align}$ . Ansonsten google ich nochmal weiter nach einer nicht-rekursiven Darstellung...
21.05.2004, 10:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt eigentlich "nicht-rekursiv"? Das ist doch eine Frage des Standpunktes! In der multiplikativen Definition der Binomialkoeffizienten stecken doch die Fakultäten drin. Und die sind doch auch wieder rekursiv definiert. (Nur weil man da den Operator "!" als Abkürzung hat, ändert das ja nichts an dieser Tatsache.) Ja, manche Leute glauben sogar, die ganze berechenbare Mathematik sei rekursiv aufgebaut (-> Informatik, z.B. Turing-Maschinen). Und wenn wir für die Stirling-Zahlen wie für die Binomialkoeffizienten einfach eine neue Abkürzung einführen würden, z.B. $\begin{align} \{\array{n\\k}\} \end{align}$ Mit der Zeit gewöhnen wir uns daran, und schwupp-di-wupp - schon sind sie nicht mehr rekursiv! (???) In Konrad Jacobs, Einführung in die Kombinatorik, Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1983 (ein an sich scheußliches Buch) habe ich die folgende Formel gefunden $\begin{align} S_{n,k} \ = \ \frac{1}{k!} \Bigsum_{j=0}^k~{(-1)^{k-j}\(\array{k\\j}\)j^n} \end{align}$ Ist die nun explizit?
21.05.2004, 10:46	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja unter nicht-rekursiv meine ich halt, dass ich in dem Term einer Funktion nicht die selbe funktion mit geringeren Argumenten aufgerufen sehen möchte. Ob da jez Fakultäten vorkommen is mir eigentlich wurscht. Somit ist deine Lösung genau das, was ich gesucht habe. Danke Gruß Hanno
21.05.2004, 10:50	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für mich sieht das explizit aus. Aber naja... Ich hab in einem Skript gefunden, dass $\begin{align} S_{n,2}=2^{n-1}-1 \end{align}$ und $\begin{align} S_{n,3}=\frac{1}{2}(3^{n-1}-2^n+1) \end{align}$
21.05.2004, 12:16	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke Hanno gehts um Programmier oder Rechenfähigkeit, ohne rekursive Programmstrukturen benutzen zu müssen ... .
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21.05.2004, 12:19	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das wär ein möglicher Nutzen neben meinem allgemeinen Interesse. Gruß Hanno

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