Linear unabh. Vektoren 2

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el_studente Auf diesen Beitrag antworten »
Linear unabh. Vektoren 2
Hallo,

Was bedeutet in der Aufgabe:

Sind die Vektoren 1, x+1, x-Wurzel(3) in lin. unabhängig?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht soo sicher, aber evtl. ist der Raum der reellwertigen Polynome vom Grad 1?
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Also löst man die Sache genauso wie hier:

Linear unabh. Vektoren

??
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir den anderen Link nicht durchgelesen. Aber falls P(IR) tatsächlich der Raum der reellwertigen Polynome vom Grad 1 ist, so ist dieser gleich (bzw. isomorph) zum Raum der affinen (linearen) Funktionen.

Wie auch immer, durch Konstruktion einer geeigneten Basis wird man schnell feststellen, dass P(IR) die Dimension 2 hat. Was gilt dann für die lineare (Un)Abhängigkeit der 3 gegebenen Vektoren?
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie auch immer, durch Konstruktion einer geeigneten Basis wird man schnell feststellen, dass P(IR) die Dimension 2 hat. Was gilt dann für die lineare (Un)Abhängigkeit der 3 gegebenen Vektoren?


Konstruktion einer geeigneten Basis?
Ist mir nicht verständlich.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Basis von ist . Überleg dir selber warum und wieso!
Diese Basis enthält 2 Elemente und folglich gilt . Können nun 3 Elemente eines 2-dimensionalen Raumes linear unabhängig sein?
Welche Linearkombination der ersten beiden gegebenen "Vektoren" erzeugt den dritten?
 
 
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir alles zu abstrakt, da Vektorräume absolutes Neuland für mich sind. Kann mir nicht vorstellen, wie dieser P(IR) Raum überhaupt aussehen (oder funktionieren) soll.

Natürlich müssen 3 Elemente eines 2D-Raumes linear abhängig sein.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

woher nimmst du "vom Grad 1", Stefan?
(dass du <= 1 meinst, setze ich mal stillschweigend voraus)

P(IR) ist eher der unendlichdimensionale VRm aller Polynome, oder?
trotzdem kann man mit dim(<...>)=2 so argumentieren.....
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist mein Vektorraum jetzt zweidimensional?
Und darum müssen die drei Vektoren lin. abhängig sein?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute P(IR) ist unendlichdimensional.
Allerdings spannen deine 3 Vektoren gerade den zweidim. Unterraum auf, von dem DualSpace geredet hat.

Am einfachsten gibst du hier einfach eine nichttriviale Linearkombination der 0 an:
nach a auflösen, das geht, fertig.
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre dann a?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nach a auflösen

das kannst du selbst

nicht ganz faul sein bitte Augenzwinkern
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht das Ergebnis, das hab ich!
Was stellt a dann dar? (Bedeutung)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

a ist der Koeffizient vor dem Vektor "1" aus deiner Menge smile

in deiner Bezeichnung ein "lambda"
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
woher nimmst du "vom Grad 1", Stefan?

War einfach geraten ... ließ mal meinen ersten Post in diesem Thread. Augenzwinkern

Zitat:
P(IR) ist eher der unendlichdimensionale VRm aller Polynome, oder?
trotzdem kann man mit dim(<...>)=2 so argumentieren.....

Nur der Vollständigkeit halber: Wenn der Grad der Polynome in P(IR) beliebig ist, so ist dim P(IR) natürlich größer 2. Meine oben definierte Basis B ist dann die Basis der linearen Hülle der gegebenen 3 Vektoren und die Argumentation läuft analog.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von LOED
woher nimmst du "vom Grad 1", Stefan?

War einfach geraten ... ließ mal meinen ersten Post in diesem Thread. Augenzwinkern

dass du das auch geraten hattest, das war klar; mich würde nur mal interessieren, wie du darauf kommst, welche Gedankengänge dahinterstecken, weil da wäre ich nie draufgekommen smile

Zitat:
Zitat:
P(IR) ist eher der unendlichdimensionale VRm aller Polynome, oder?
trotzdem kann man mit dim(<...>)=2 so argumentieren.....

Nur der Vollständigkeit halber: Wenn der Grad der Polynome in P(IR) beliebig ist, so ist dim P(IR) natürlich größer 2. Meine oben definierte Basis B ist dann die Basis der linearen Hülle der gegebenen 3 Vektoren und die Argumentation läuft analog.

das hatte ich auch schon bestätigt oben smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
dass du das auch geraten hattest, das war klar; mich würde nur mal interessieren, wie du darauf kommst, welche Gedankengänge dahinterstecken, weil da wäre ich nie draufgekommen smile

Eigentlich wollte ich "vom Grad höchsten 1" sagen, denn das hätte so gut zu den gegebenen Vektoren gepasst. Augenzwinkern
Demnach wäre dann der Raum der reellwertigen Polynome vom Grad höchtens n, aber das ist sicher auch falsch geraten. Big Laugh

Das "höchtenens" habe ich aber offenbar verschwiegen. verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Um das abzuschließen, es sind natürlich alles Schreibweise.
Das höchstens hatte ich dir ja auch schon angedichtet (von genau Grad 1 macht ja als solcher VRm keinen Sinn).
Ich verstehe schon: Die Schreibweise gedeutet (diese Deutung kann ich nachvollziehen) und dann eine versteckte 1 reininterpretiert. Clever. smile

Naja, damit kann ich das schon mal nachvollziehen, in el studentes Sinne (da er deine elegante Lösung ja leider eh nicht ganz verstanden hat) ist das angeben der simplen nichttrivialen Nulllinkomb. vermutlich eh angebrachter.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
(da er deine elegante Lösung ja leider eh nicht ganz verstanden hat)


Warum eigentlich elegante Lösung. Wenn man zeigt, dass der aufgespannte UR dim 2 hat, steckt da doch schon die lineare Abhängigkeit drin. Da muss man gar nix mehr mit der Anzahl argumentieren.
Und hier zu sagen, das wäre "klar" ist recht witzlos, da dann die ganze Aufgabe "klar" ist Augenzwinkern

Gruß vom Ben
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer: Danke an alle!!
Freut mich, dass mein Beitrag offensichtlich einiges Diskussionspotential bietet.

Ich fass nochmal kurz zusammen:

1. P(IR) ist unendlichdimensional.

2. Wegen (einer möglichen) Basis B = {1,x} der gegebenen Vektoren ist mein Vektorraum zweidimensional.

3. Drei Vektoren in einem 2D-Raum müssen linear abhängig sein.

4. Somit wäre dann auch eigentlich die Angabe der nichttrivialen Nulllinearkomb. überflüssig.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1. P(IR) ist unendlichdimensional.

2. Wegen (einer möglichen) Basis B = {1,x} der gegebenen Vektoren ist mein Vektorraum zweidimensional.

so sind diese beiden Aussagen noch widersprüchlich

und eine Basis von Vektoren gibt's nicht, nur von Räumen
musst also noch sagen, dass du den kleinsten Unterraum anschaust, der diese 3 Vektoren erhält.
Und das ist (offensichtlich) der Raum der Polynome vom Grad <=1 und somit...
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