verallgemeinerte Eigenräume

23.05.2006, 20:15

Vic

verallgemeinerte Eigenräume

Huhu - ich hoffe hier kann mir einer weiterhelfen.. folgende Aufgabe:

folgende Matrix A ist gegeben:

| 25 34 18 |
|-14 -19 -10 |
| -4 -6 -1 |

"Man bestimme die Eigenwerte und Basen der Eigenräume.."

kein Problem ->

PA(t) = -(t-1)^2(t-3)

Eig(1;A) = { i * (-5, 3, 1) }
Eig(3;A) = { i * (-7, 4, 1) }

".. und der verallgemeinerten Eigenräume von A."

Was sind verallgemeinerten Eigenräume und wie berechne ich die? smile

EDIT: und noch eine: Wie beweise ich am besten, dass für jede Matrix A € Mn(K), die nilpotent ist, gilt A^n=0

Vielen Dank schonmal im Voraus. Wink

23.05.2006, 23:11

Mazze

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Zitat:

Wie beweise ich am besten, dass für jede Matrix A € Mn(K), die nilpotent ist, gilt A^n=0

Du willst also zeigen das der Nilpotenzindex maximal n ist? Du könntest die Matrix unter Ähnlichkeitstransformation auf die Normalform bringen (das is die Jordannormalform nur halt alles Nullen auf der Diagonalen) das sieht dann so aus

$\begin{eqnarray*} A = PJP^{-1} \end{eqnarray*}$

dann setzt du an

$\begin{eqnarray*} A^n = {(PJP^{-1})}^n = PJ^nP^{-1} \end{eqnarray*}$

Und wenn man weiß wie die JNF maximal aussieht, sieht man sofort das man höchstens n mal multiplizieren muss damit J = 0 ist. Wir hatten damals die Normalform der Nilpotenten Matrizen vor der JNF behandelt und den Beweis des Nilpotenzindexes halt darüber gemacht.

Zum Verallgemeinerten Eigenraum:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert der Matrix a, der verallgemeinerte Eigenraum ist die Lösungsmenge von

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda I)^n(x) = 0 \end{eqnarray*}$

24.05.2006, 00:32

JochenX

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Alternative zu der Sache mit der Nilpotenz:
Betrachte nacheinander die Lösungsräume des homogenen LGS
A*x=0, A^2*x=0, ..... sei Li der Lösungsraum von A^i*x=0
Dann ist Li in L(i+1) enthalten und falls irgendwann Li=L(i+1) dann sind ab da alle Lösungsräume gleich.

A nilpotent, "irgendwann" ist A^j die Nullmatrix, also Lj ist der ganze K^n.
Also muss vorher in jedem Schritt der Lösungsraum größer geworden sein.

Rest folgt direkt.

25.05.2006, 13:57

Vic

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Vielen Dank - den Beweis zur Nilpotenz habe ich hinbekommen smile

dochmal zum verallgemeinerten Eigenraum:

also einfach folgdene LGS lösen - oder wie.? verwirrt

$\begin{eqnarray*} (A - 1E)^3(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A - 3E)^3(x) = 0 \end{eqnarray*}$

25.05.2006, 15:27

yun4

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hey hey, na da hat hat wohl noch einer beim hoh mathe, was ? Augenzwinkern

ich habs so gelöst, das mit dem eigenraum:

$\begin{eqnarray*} E \lambda = E \lambda (A) = Ker [(A -\lambda E)^{\alpha ( \lambda)}] \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha(\lambda) \end{eqnarray*}$ algebraische vielfachheit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

dann halt einfach einsetzen, den Kern ausrechnen und das sollten dann die basen des verallgemeinerten eigenraums sein

p.s.: könntest du mir statdessen bei dem beweis der nilpotenz weiterhelfen ???

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