Bilinearformen

26.05.2006, 14:58

Daktari

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Bilinearformen

Hi,

ich habe ein Problem mit folgenden zwei Aufgaben. Entweder sind sie zu einfach, oder ich verstehe sie nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

Aufgabe 1) Sei $\begin{eqnarray*} <,>:VxV->\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform. V sei ein endlich dimensionaler Vektorraum.
z.z. es gibt eine symetrische Bilinearform $\begin{eqnarray*} (,) \end{eqnarray*}$ und eine schiefsymetrische Bilinearform $\begin{eqnarray*} [,] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <,>=(,)+[,] \end{eqnarray*}$

Def. symetrische Bilinearform: $\begin{eqnarray*} (v,w)=(w,v) \end{eqnarray*}$
Def. schiefsymetrische Bilinearform: $\begin{eqnarray*} [v,w]=-[w,v] \end{eqnarray*}$

Hab mir folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} (v,w)+[v,u]=(w,v)-[u,v]=<w-u,v>=<a,v> \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w-u=a \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich doch jede Bilinearform als Summe einer symetrischen und schiefsymetrischen Bilinearform schreiben.

Aufgabe 2) Sei A eine reelle quadratische Matrix.
z.z. A lässt sich auf genau eine Weise als Summe einersymetrischen Matrix und einer schiefsymetrischen Matrix schreiben.

Def. symetrische Matrix: $\begin{eqnarray*} A^t=A \end{eqnarray*}$
Def.schiefsymetrische Matrix: $\begin{eqnarray*} A^t=-A \end{eqnarray*}$

Sei also B eine symetrische Matrix und C eine schiefsymetrische Matrix. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} B^t+C^t=B-C \end{eqnarray*}$
B,C sind quadratische Matrizen, damit ist die Subtraktion definiert. Nennt man das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} B-C=A \end{eqnarray*}$ . Dann ist man (hoffentlich) fertig, denn für den Eintrag an Stelle (i,j) von A gilt $\begin{eqnarray*} a_{ij} = b_{ij}-c_{ij} \end{eqnarray*}$ . Da das Inverse eindeutig ist, bin ich fertig. Oder?

Info: Ich bin mit meinen Beweisen zu Aufgabe 1) und 2) mehr als unzufrieden, aber sonst habe ich keine andere Idee. Hilfe

Hilfe

26.05.2006, 16:24

JochenX

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SyMMetrisch, bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

, aber das nur vorweg

ich bin damit auch nicht sonderlich glücklich, denn ich verstehe überhaupt nicht, wie du darauf kommst, diese beiden Unterschiedlichen Bilinearformen zusammenzuziehen.
Seien (*,*) und [*,*] zwei UNTERSCHIEDLICHE Linearformen, dann kannst du doch nicht (a,b)+[a,c]=<a+b,c> setzen und plötzlich eine dritte Bilinearform einführen.
Oder ist davon irgendwas durch die anderen definiert?

Oder beim anderen: irgendwas soll für alle (quadratischen) Matrizen A gelten
Du nimmst B,C her.... und nennst dann plötzlich irgendwas "A", hast du es damit für beliebige Matrizen A gezeigt?

26.05.2006, 16:53

Daktari

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Kann mir jemand Tips zum Lösen geben? Denn da mein "Ansatz" falscher als falsch ist, weiß ich nicht mehr weiter.

@LOED
wieso kann man schiefsyMMetrische und syMMetrische ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Bilenearformen nicht zusammenfassen?

26.05.2006, 18:11

JochenX

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Zitat:

Original von Daktari
@LOED
wieso kann man schiefsyMMetrische und syMMetrische ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Bilenearformen nicht zusammenfassen?

Weil das unterschiedliche (Bi)Linearformen sind.....
Bilinear bedeutet ja nix anderes als linear in jeder Komponente, also wählen wir mal das hintere fest und betrachten nur die Linearität der ersten Komponente.
Dann hast du zwei verschiedene Linearformen (*) und [*].
Kannst du dann von (a)+[b]=... "irgendwas gemeinsames" = ausgehen?
Insbesondere kannst du das ohne weitere Argumentation in die andere Richtung machen?

Übrigens bin ich mir ziemlich sicher, dass mit den Matrizen vor gar nicht lange Zeit im Forum war.
*such*
Matrix = sym. Matrix + antisym. Matrix

26.05.2006, 22:54

Daktari

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Danke LOED, aber wie zeigt man die Eindeutigkeit dieser "Matrixdarstellung" ?
Muss man da annahmen es gibt eine zweite, und dann zeigt man, dass die Differenz =0 ist (oder so ähnlich) ? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Man kann zwar mit A=S+T rumspielen (S sei symmetrisch, T sei schiefsymmetrisch), aber was das bringt, weiß ich selbst nicht traurig

traurig

A = S + T
A^t = (S+T)^t = (T^t + S^t) =-T+S

A+A^t = S+T-T+S = 2S
->(1/2)(A+A^t)=S

Aber so was doch S "in dem Link" definiert.

Wie zeigt man das für Bilinearformen? Zusammenfassen darf man sie doch nicht traurig

traurig

28.05.2006, 00:01

Daktari

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Ich denke mal, ich hab's jettz mit der Eindeutigkeit
Der Nachweis der Existenz beruht dann darauf, dass man mit den gefundenen S und T die Probe macht. Also erst mal zeigen, dass A=S+T.
Dann nimmt man an, dass A=S+T gilt
--> A^t = -T+S
A^t+A=-T+S+S+T = 2S --> 0,5(A^t+A)=S
A^t-A = -T+S-S-T = -2S --> 0,5(A^t-A)=T

aber genau so wurden S und T definiert. Daraus folgt die Eindeutigkeit.

Aber auf den Beweis, dass sich jede Bilinearform als Summe einer symetrischen und schiefsymetrischen Bilinearform schreiben lässt (Aufgabe 1) komm ich nicht. Ich habe nicht mal nen Ansatz traurig

traurig

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28.05.2006, 02:12

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
Aber auf den Beweis, dass sich jede Bilinearform als Summe einer symetrischen und schiefsymetrischen Bilinearform schreiben lässt (Aufgabe 1) komm ich nicht. Ich habe nicht mal nen Ansatz traurig

traurig

Habt ihr nicht die darstellende Matrix einer Bilinearform behandelt? Damit könntest du es auf 2) zurückführen.

28.05.2006, 11:19

Daktari

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So was hab ich mir auch schon gedacht,

Sei $\begin{eqnarray*} f(v,w):=v^t *A*w \end{eqnarray*}$ Mit Aufgabe 2 folgt
$\begin{eqnarray*} f(v,w):=v^t*A*w=v^t(S+T)w=v^tSw+v^tTw \end{eqnarray*}$
S sei symetrisch und T schiefsymetrisch
$\begin{eqnarray*} v^tSw \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch <=> S symmetrisch ist (Satz)
$\begin{eqnarray*} v^tTw \end{eqnarray*}$ ist schiefsymmetrisch <=> S schiefsymmetrisch ist (Satz)

Aber das gilt dann nur für die spezielle Bilinearform $\begin{eqnarray*} f(v,w):=v^tAw \end{eqnarray*}$
Deshalb habe ich diese Idee / diesen Ansatz gleich wieder verworfen

28.05.2006, 13:49

Ben Sisko

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Für jede Bilinearform lässt sich eine solche Matrix angeben:

Wenn $\begin{eqnarray*} B=(v_1,\dots,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis deines Vektorraums ist, so ist die darstellende Matrix deiner Bilinearform f $\begin{eqnarray*} M_B(f)=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ij}=f(v_i,v_j) \end{eqnarray*}$ .

Überzeuge dich, dass die Bilinearform durch diese Matrix festgelegt ist (Vektoren als Linearkombination betrachten).

Gruß vom Ben

14.05.2008, 15:33

EinMitlesender

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Zitat:

Original von Daktari
Ich denke mal, ich hab's jettz mit der Eindeutigkeit
Der Nachweis der Existenz beruht dann darauf, dass man mit den gefundenen S und T die Probe macht. Also erst mal zeigen, dass A=S+T.
Dann nimmt man an, dass A=S+T gilt
--> A^t = -T+S
A^t+A=-T+S+S+T = 2S --> 0,5(A^t+A)=S
A^t-A = -T+S-S-T = -2S --> 0,5(A^t-A)=T

aber genau so wurden S und T definiert. Daraus folgt die Eindeutigkeit.

Hallo,
kann mir jemand erläutern, warum daraus die Eindeutigkeit folgt?

(bzw. was wird bezweckt, wenn man A^t+A rechnet. Welche Aussagekraft hat dieser Rechenschritt?)

Gruß,
EinMitlesender

17.05.2008, 12:28

EinMitlesender

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*nochmal auf das Thema aufmerksam machen*

17.05.2008, 12:38

Mathespezialschüler

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Er hat folgendes gezeigt: Wenn eine Darstellung $\begin{eqnarray*} A=S+T \end{eqnarray*}$ existiert, in der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ symmetrisch und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ schiefsymmetrisch ist, dann folgt notwendigerweise

$\begin{eqnarray*} S=\frac{1}{2}\cdot \left(A+A^T\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} T=\frac{1}{2}\cdot \left(A-A^T\right) \end{eqnarray*}$ .

Dies ist also die einzig mögliche Wahl für $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , welche die gestellte Frage lösen könnte.

17.05.2008, 13:16

EinMitlesender

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Hallo Mathespezialschüler,

danke für deine Antwort.

Mir ist es aber noch immer nicht klar. Das, was Du sagst, hätte er zeigen müssen, aber mit:

Zitat:

A^t+A=-T+S+S+T = 2S --> 0,5(A^t+A)=S
A^t-A = -T+S-S-T = -2S --> 0,5(A^t-A)=T

ist das doch nicht gezeigt. (Ich verstehe einfach nicht die Aussagekraft, wenn er im einen Fall A zu A^t addiert, und im anderen Fall subtrahiert, und beides mal mit A=S+T rechnet. Er benutzt ja für seinen Beweis, das was er zeigen will?!?!)

Gruß,
EinMitlesender

17.05.2008, 13:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von EinMitlesender
Ich verstehe einfach nicht die Aussagekraft, wenn er im einen Fall A zu A^t addiert, und im anderen Fall subtrahiert, und beides mal mit A=S+T rechnet. Er benutzt ja für seinen Beweis, das was er zeigen will?!?!

Und wo benutzt er das?

17.05.2008, 14:01

EinMitlesender

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Hier:

Zitat:

Dann nimmt man an, dass A=S+T gilt
--> A^t = -T+S

17.05.2008, 14:19

Mathespezialschüler

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Man soll zeigen, dass es für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau eine Summendarstellung aus einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix gibt.

Dazu hat man zwei Dinge zu zeigen:
1. Es gibt eine solche Darstellung.
2. Wenn es eine solche Darstellung gibt, dann ist sie eindeutig bestimmt.

Wenn man 2. zeigt, dann darf man natürlich von einer solchen Darstellung ausgehen. Ob es diese gibt, ist dafür unerheblich. Man zeigt eben nur, dass diese Darstellung eindeutig wäre, wenn es sie gäbe. Ob sie existiert, ist eine ganze andere Frage - nämlich die erste.

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