Untersuchen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen

27.08.2008, 16:49

_Karo_

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Untersuchen und Bestimmen ganzrationaler Funktionen

Hey!
Ich habe eine Frage.. Ich soll eine Gleichung nach h auflösen, komme aber nicht auf den richtigen Weg...

Die Gleichung ist
O= 2*pi*r*h * 2*pi*r²
kann man jetzt sagen ich teile durch h und habe dann

O:h=2*pi*r * 2*pi*r² ?? Und wenn ja muss ich dann O mal nehmen sodass ich dann
h=O*2*pi*r * 2*pi*r² habe?

27.08.2008, 16:56

Zizou66

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Oh nein. Das ist ein schwerer Fehler. Denn auf der linken Seite der Gleichung steht, wenn du mit Q multiplizierst: $\begin{eqnarray*} frac{Q^2}{h} \end{eqnarray*}$ und wenn du durch Q dividierst, was auch oft ein Flüchtigkeitsfehler ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ . Du solltest anders vorgehen.

Edit: Schlechtes Latex editiert.

27.08.2008, 16:59

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot 2 \cdot \pi \cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} O = 4 \cdot \pi^2 \cdot h \cdot r^3 \end{eqnarray*}$

h isolieren:

Du bist dran!

Ansonsten ist das wirklich ein schwerwiegender Fehler den du gemacht hast, wie Zizou schon gesagt hat.

27.08.2008, 17:00

_Karo_

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Und was ist wenn ich gleich alles durch 2*pi*r*2*pi*r² teile? Ist das auch falsch?:/
denn dann hab ich keine besseren einfälle mehr unglücklich

unglücklich

aber danke für deine antwort!

27.08.2008, 17:00

WebFritzi

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Ordnung ist alles: $\begin{eqnarray*} 2\pi rh\cdot 2\pi r^2 = 4\pi^2 r^3 h. \end{eqnarray*}$

EDIT: Ja, genau. Teile durch den ganzen Mist.

27.08.2008, 17:01

Airblader

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Zitat:

Original von _Karo_
Und was ist wenn ich gleich alles durch 2*pi*r*2*pi*r² teile? Ist das auch falsch?:/
denn dann hab ich keine besseren einfälle mehr unglücklich

unglücklich

aber danke für deine antwort!

Das wäre richtig.
Aber diesen Term solltest du dann noch zusammenfassen, wie von Q-fladen und WebFritzii vorgeschlagen.

air

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27.08.2008, 17:02

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich denn da dann jetzt durch h teilen?

ich versteh grad echt nicht wie es da ansonsten weiter gehen soll?

Sorry, die anderen haben so schnell geantwortetz, dass war noch zu einem Beitrag weiter oben Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2008, 17:03

Q-fLaDeN

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Warum denn durch h teilen?

Air hat doch schon geschrieben, dass es so richtig wäre. Also mach das mal so und teile uns dein Ergebnis mit.

Wie würdest du denn weiter machen wollen, wenn du durch h teilst?

27.08.2008, 17:05

_Karo_

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aber dann hab ich total das problem weil ich dann ja einen Bruch habe und wir jetzt für h dann halt o unglücklich

unglücklich

4*pi²*r³) einsetzen muss und dabvon die Ableitungen machen muss...
das sieht dann so aus...
V=pi*r²*(O unglücklich

unglücklich

4*pi²*r³))+(2:3)+pi*r³

ich kann ja jetzt nicht einfach pi*r² mit O unglücklich

unglücklich

4*pi²*r³) multiplizieren...

27.08.2008, 17:08

Airblader

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Jetzt wollen wir uns mal kurz hinsetzen, einmal durchatmen und ganz von vorne beginnen.

Du hast die Gleichung

$\begin{eqnarray*} O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot 2 \cdot \pi \cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Nun fassen wir erstmal zusammen:

$\begin{eqnarray*} O = 4 \cdot \pi^2 \cdot r^3 \cdot h \end{eqnarray*}$

Und nun stellen wir eine wichtige Frage:
Was willst du überhaupt tun? Vermutlich nach h umstellen, ja?

Dann teilen wir die Gleichung durch den Term $\begin{eqnarray*} 4 \pi^2 r^3 \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{O}{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir nach h aufgelöst.
Solltest du jetzt irgendwie noch etwas machen wollen (Einsetzen und weiter umformen oder was auch immer), dann eine Bitte:

Beschreibe das gesamte Problem und schreibe nicht nur eine Gleichung auf!

Außerdem wäre es schön, wenn du den internen Formeleditor (LaTeX) verwenden könntest - dann kann man deine Gleichungen und Formeln auch gut lesen.

air

27.08.2008, 17:13

_Karo_

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Ja genau, dass habe ich jetzt auch so... so... meine Aufgabe ist aber

Ein Gefäß besteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Welche Form muß es haben, damit es ohne Deckel bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes Volumen hat?

Soo...das Volumen ist ja
$\begin{eqnarray*} V= pi*r²*h+ (2:3)*pi*r³ \end{eqnarray*}$
Das ist jetzt meine Zielbedingung....
Und meine Nebenfunktion ist
$\begin{eqnarray*} O=2*pi*r*h*2*pi*r² \end{eqnarray*}$
mein Lehrer meinte ich solle nun nach h auflösen und O als konstante nehmen....

nach h habe ich es ja jetzt geschafft aufzulösen, aber wenn ich für h dann $\begin{eqnarray*} (O: (4*pi²*r³)) \end{eqnarray*}$ einsetze komme ich wieder nicht weiter....

Ich kann ja nicht $\begin{eqnarray*} pi*r² \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (O: (4*pi²*r³)) \end{eqnarray*}$ multiplizieren oder? Oh man...Ich habe einfach total die Probleme mit diesen Brüchen....

27.08.2008, 17:33

Airblader

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Wie kommst du denn auf diese Gleichung für die Oberfläche?
Diese enthält r³ und hätte damit die Dimension eines Volumens .. das kann ja schon nicht stimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meinst ja wohl

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r) \end{eqnarray*}$

air

27.08.2008, 17:37

_Karo_

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hmm...die hat mein Lehrer mir so an die Tafel geschrieben.... Er meinte die Oberfläche eines Zylinders sei $\begin{eqnarray*} O=2*pi*r*h \end{eqnarray*}$ und die einer halbkugel sei $\begin{eqnarray*} O=2*pi*r² \end{eqnarray*}$ daher(so sagt er) kann man sagen $\begin{eqnarray*} O=2*pi*r*h*2*pi*r² \end{eqnarray*}$

Oh es heißt $\begin{eqnarray*} O=2*pi*r*h+2*pi*r² \end{eqnarray*}$ ...habe das wohl von der Tafel falsch abgeschrieben....

27.08.2008, 17:38

Q-fLaDeN

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Seit wann multipliziert man 2 Oberflächen um die Gesamtoberfläche zu erhalten? Addieren, wie es Air beschrieben hat.

27.08.2008, 17:42

Airblader

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Das bedeutet:

Du musst diese richtiggestellte Gleichung nochmals nach h auflösen.
Also, nochmal frisch ans Werk Freude

Freude

Mein Tipp wäre, du nimmst

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi r(h+r) \end{eqnarray*}$

als Start. Einfach durch den Teil vor der Klammer teilen und danach das r rüberbringen und du bist fertig.

air

27.08.2008, 17:45

_Karo_

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hmm...dann wäre das bei mir jetzzt $\begin{eqnarray*} h= (O : (2*pi*r))-r \end{eqnarray*}$ Wäre das richtig?
Aber dann habe ich ja shcon wieder das problem mit diesem Bruch in der gleichung...
$\begin{eqnarray*} V= pi*r²*( O : (2*pi*r)-r) + (2:3)*pi*r³ \end{eqnarray*}$

Kann ich dann so rechnen:

$\begin{eqnarray*} V= ( ( O*pi*r²: 2*pi²*r³ ) -r ) +(2:3)*pi*r³ \end{eqnarray*}$

27.08.2008, 18:09

Airblader

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Umgeformt hast du richtig Freude

Freude

Du erhälst also

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 \cdot (\frac{O}{2 \pi r} - r) + \frac{2}{3} \pi r^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du schön ausmultiplizieren und erhälst dann:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{2}Or - \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 \end{eqnarray*}$

Die letzten beiden Summanden bedeuten also soviel wie "-1 Kuchen + 2/3 Kuchen", was dann -1/3 Kuchen ergibt.
Anstatt Kuchen kannst du pi * r³ ausklammern und dann hast du das auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{2}Or - \frac{1}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$

Es ist allerdings äußerst bedenklich, wenn du mit Brüchen und Termen solche Probleme hast, da du ja mind. in Klasse 11 sein musst (wg. deiner Kenntnis von Ableitungen).
Du solltest unbedingt außer-unterrichtlich Bruchrechnung und das allg. Rechnen mit Termen nochmal wiederholen bzw. üben - sonst geht das noch ganz gewaltig nach hinten los.

air

27.08.2008, 18:13

_Karo_

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Oke danke für die Hilfe! das hat mir aufjendefall schonmal sehr geholfen...
ähm Big Laugh

Big Laugh

ich bin schon in der 12. Klasse, jedoch bin ich sonst ganz gut in Mathe, aber dieses Thema liegt mir einfach überhaupt nicht... Aber ich muss dazu sagen, dass ich am Berufskolleg für Erziehung mit allgemeiner Hochschulreife bin und dort nicht ganz so viel wert auf mathe gelegt wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen dank für die antworten!

27.08.2008, 18:17

_Karo_

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eine frage hätte ich noch, ich wiull nicht dass ich jetzt auch noch mit den falschen ableitungen rechne...

$\begin{eqnarray*} V'=(1:2)O - pi*r² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''=(1:2)-2*pi*r \end{eqnarray*}$

27.08.2008, 18:21

Airblader

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Die erste Ableitung stimmt.

Bei der zweiten ist der erste Summand leider falsch (der 2. passt). Bedenke, dass du nach r ableitest .. und der erste Summand der ersten Ableitung ist konstant.
Und was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.08.2008, 18:23

_Karo_

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muss das etwa auch 0.5O bliben?

27.08.2008, 18:27

Airblader

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Nicht raten - nachdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein konstanter Summand entspricht einer Verschiebung der Funktion auf der y-Achse. Was ändert sich an der Ableitung, wenn man die Funktion auf der y-Achse verschiebt?

Alterantiv kannst du die Potenzregel zum Ableiten mal einfach anwenden (aber richtig!):

$\begin{eqnarray*} V'(r) = \frac{1}{2}O - \pi r^2 = \frac{1}{2}O \cdot r^0 - \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Und nun mal richtig ableiten.

air

27.08.2008, 18:30

_Karo_

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waaas? xD Davon hab ich noch nie iwie gehört... boah ich verstehe grade echt nicht mehr...ich glaube mein kopf ist einfach völlig am ende für heute... ich versteh grad garnichts mehr....

27.08.2008, 18:31

Airblader

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Wenn du nicht weißt, nach welcher Regel man ableitet .. wie leitest du dann eine Funktion ab verwirrt

verwirrt

Du kennst doch sicher die Regel $\begin{eqnarray*} (ax^n)' = anx^{n-1} \end{eqnarray*}$ (wenn man nach x ableitet).

air

27.08.2008, 18:33

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau... das ist mir auch völlig klar... aber jetzt ist dieses blöde O ja noch da drin....

27.08.2008, 18:33

Airblader

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Was stört dich denn an O?
O ist konstant .. da könnte also genauso gut eine 2 stehen.
Wichtig ist: Du leitest nach r und nicht nach O ab. Und daher braucht dich das O nicht interessieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.08.2008, 18:34

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

aber nach dem was du eben geschrieben hast muss es ja dann $\begin{eqnarray*} (1:2)O - 2*pi*r² \end{eqnarray*}$ sein....

27.08.2008, 18:34

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

also muss es dort stehen bleiben?

27.08.2008, 18:35

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreiben wir die Potenzregel mal eben um:

$\begin{eqnarray*} (ar^n)' = anr^{n-1} \end{eqnarray*}$ - wenn man also nach r ableitet. Okay?

Nun hast du den Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}O \end{eqnarray*}$ . Und das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}O \cdot r^0 \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du die Potenzregel ganz stur anwenden.

Helfen würde dir meine erste Variante, die bildliche Ansicht, aber sicher auch - wäre also gut, wenn du die Fragen da auch beantwortest Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.08.2008, 18:38

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber das ist doch dann (1:2)O oder nicht? weil r^0 ist ja null dann....

27.08.2008, 18:46

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann ist $\begin{eqnarray*} r^0 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Soweit ich weiß ist $\begin{eqnarray*} r^0 = 1 \end{eqnarray*}$ - jedenfalls, solange r ungleich Null ist.
Wäre es Null, dann würde dort ja auch kein r^0 als Faktor dranstehen können.

Das läuft nämlich so. Du bist doch bestimmt einverstanden mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}O = \frac{1}{2}O \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} r^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist kannst du ganz locker 'einsetzen':

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}O \cdot 1 = \frac{1}{2}O \cdot r^0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du diesen Summanden ableiten, da du deine Potenzregel anwenden kannst .. denn, wenn man es nicht weiß, nach welcher Regel leitest du sonst konstante Summanden ab .. nach der Karo'schen Regel? Augenzwinkern

Augenzwinkern

So hast du es dir zusammengebastelt um den Summanden ableiten zu können, indem du die Regel anwendest.

Sobald du das nun einmal begriffen hast wirst du dir diesen Umweg aber nie wieder machen, um einen konstanten Summanden abzuleiten.

air

27.08.2008, 18:54

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man das kapiere ich einfach nicht...

ich verstehe darunter jetzt dass da dann r^0=0*r^0-1 sein müsste??

27.08.2008, 18:56

Airblader

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Du meinst wohl das Richtige

$\begin{eqnarray*} (r^0)' = 0 \cdot r^{0-1} = 0 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Und was ist das?

air

27.08.2008, 18:57

_Karo_

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0*-1r^-2? ich würde sagen es ist 0.... aber ich liege bestimmt wieder komplett falsch.... unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

27.08.2008, 19:01

_Karo_

Auf diesen Beitrag antworten »

ist es denn wenigstens richtig wenn ich die erste aböleitung gleich null setze dass ich dann das hier mache...

$\begin{eqnarray*} (1/2)O - pi*r² = 0 \end{eqnarray*}$ dann addiere ich pi*r²
$\begin{eqnarray*} (1/2)O = pi*r² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O = (pi*r²):2 \end{eqnarray*}$

27.08.2008, 19:02

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

"0*-1r^-2?" - wieso versuchst du es nochmal abzuleiten? Du hast es doch bereits abgeleitet (!)

Deine Aussage ist aber, entgegen deinem Selbst-un-vertrauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

, richtig!

Soll heißen:

Wenn man r^0 ableitet, erhält man 0*r^(-1) - und das ist einfach 0.
Wenn du also 1/2 * O * r^0 ableitest, dann erhälst du ... 0 !

Und ganz allgemein:

Wenn man einen konstanten Summanden ableitet, so ergibt er 0 - fällt also weg.

Und nun kannst du deine 1. Ableitung nochmal ableiten und dies berücksichtigen.

Und noch zur bildlichen Vorstellung:
Das Verschieben auf der y-Achse ändert für die Ableitung ja gar nichts, denn diese gibt nur die Steigung an. Würde der konstante Summand also nicht wegfallen, so wären für versch. konst. Summanden verschiedene Ableitungen die Folge .. nur wie soll das der Fall sein, wenn sie mit der Verschiebung nichts zu tun hat? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.08.2008, 19:03

_Karo_

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achso dann müsste die 2. ableitung -2*pi*r sein...oder???

27.08.2008, 19:04

Airblader

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Zitat:

Original von _Karo_
ist es denn wenigstens richtig wenn ich die erste aböleitung gleich null setze dass ich dann das hier mache...

$\begin{eqnarray*} (1/2)O - pi*r² = 0 \end{eqnarray*}$ dann addiere ich pi*r²
$\begin{eqnarray*} (1/2)O = pi*r² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O = (pi*r²):2 \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile stimmt leider nicht. Du musst ja mit 2 multiplizieren, um nach O aufzulösen.
Aber genaugenommen willst du doch auch nicht nach O, sondern nach r auflösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Deine 2. Ableitung passt nun Freude

Freude

air

27.08.2008, 19:05

_Karo_

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ahhh... oh man Big Laugh

Big Laugh

vielen dank für deine Mühe die du dir hier mit mir machst Big Laugh

Big Laugh

Jetzt hab ich es aber verstanden Big Laugh

Big Laugh

vielen,vielen dank!! Mit Zunge

Mit Zunge

27.08.2008, 19:06

Airblader

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Kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bleib auf jeden Fall dran. Aber mein Tipp wäre, dass du dir ein paar Minütchen frische Luft gönnst und dann nochmal alles durch den Kopf gehen lässt.

Du wirkst momentan so verwirrt und weißt nichteinmal mehr, was du eigentlich machen willst. Also schön durchatmen und dann konzentriert dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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