Verschoben! Seltsame Aufgabe: Schnittpunkt

27.08.2008, 22:27

ferret

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Seltsame Aufgabe: Schnittpunkt

Hallo,
ich habe ein großes Problem mit einer Aufgabe:

gegebene punkte: P= (2, 2, 1 ) Q= (4, 1, -2) R= (1, -2 , 1) sei g die gerade durch die punkte P und Q. sei E die ebene durch den punkt R die die gerade g senkrecht schneidet
aufgabe:sei h die gerade durch den punkt R, die die gerade g senkrecht schneidet. berechnen sie den schnipu S der geraden g und h

vorgegebene lösung:
S=P+t*n, <n,S>= d (delta)

daraus folgt:
d= <n,S>+t

daraus folgt:
S=P+(d-<n,P>)n

S= (2, 2, 1)+2/14 (2, -1, -3)= 1/7 (16, 13, 4)

ich verstehe überhaupt nicht, was hier gemacht wurde verwirrt

verwirrt

... es fehlen zu viele zwischenschritte...
vielleicht ist hier jemand der mir verraten kann was dort passiert.
viele grüße
julia

28.08.2008, 00:02

pingu

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Hm, ich verstehe, dass nich so ganz: <n,S>= d (delta).
Soll damit der Winkel zwischen dem Schnittpkt, also OS und n gemeint sein? (sry, Vektorzeichen absichtlich weggelassen, geht schneller so^^).

Aber zu dem: S=P+t*n kann ich dir folgendes sagen.

Am besten machst du dir eine Skizze, hast du wahrscheinlich schon gemacht...
Du siehtst nun, dass wenn ich P und den Schnittpkt verbinde, erhalte ich eine Gerade. Bedingung unter anderem ist, dass die Ebene senkrecht zur Gerade PQ stehen muss. Das n da steht für den Normalvektor, der immer senkrecht zur Ebene steht. Des weiteren haben wir noch das t, das einfach für einen Skalar steht, du kannst dir das so vorstellen, dass das t bestimmt, wie lang der Vektor n gestreckt werden soll.

Wir haben nun den Pkt P als Aufhängepkt, d.h. die Gerade muss ganz sicher durch ihn gehen. Das t*n bestimmt einfach die Richtung und da wir n gewählt haben ist das ja sehr praktisch, da wir so automatisch senkrecht zur Ebene stehen. Hoffe, dass ich dir ein wenig weiterhelfen konnte.

Lg

28.08.2008, 00:28

ferret

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<n,S>= d (delta) das d soll dur das griechische delta sein, hab das symbol nich gfunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

also skizzen und ebenengleichung und geradengleichung für g habe ich...
ich weiß aber nicht wie ich da was ausrechnen soll... verwirrt

verwirrt

ich bräuchte vllt ne komplette lösung um das nachzuvollziehen. dadurch das die zwischenschritte weggelassen wurden weiß ich auch nicht wie er auf die lösung kommt.
S=P+t*n, <n,S>= d (delta)

daraus folgt:
d= <n,S>+t diesen schritt verstehe ich auch mal gar nicht. er löst nach delta auf, dabei kann ich das doch gar nicht berechnen weil ich dazu ja S benötige...
ich stehe total auf der leitung unglücklich

unglücklich

danke für die ersten tipps smile

smile

lg

28.08.2008, 01:34

pingu

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S kannst du berechnen. Und zwar so. h und g müssen ja senkrecht zueinander stehen. Die Punkte P und Q müssen auf der Gerade g liegen, also kannst du so schon mal die Geradengleichung aufstellen: OP +t*PQ, das PQ ist dann gleich n. Die Gerade h steht nun senkrecht dazu, ist also die Normale dazu. Wir wissen das m (Steigung von g) mal n1(Steiung von h) gleich -1 ist, wobei du das PQ von g als jenes m ansehen kannst. Somit erhältst du die Gerade h und kannst sie mit g schneiden lassen, indem du sie gleichsetzt.

Das hab ich immer noch nicht ganz verstanden: <n,S>= d (delta)

Ist damit nun ein Winkel gemeint?

28.08.2008, 02:06

Poff

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So wie die Lösung in Post1 steht kann das kaum mehr als Nonsense sein, oder es steckt Unsichtbares irgendwo drinnen. Der Schnittpunkt ist richtig, aber es ist nicht zu erkennen wie die Information 'R' in den Schnittpunkt einfließt.

Da S=P+t*n, muss n auf g liegen und kann deshalb die Information 'R' nicht tragen, es sei denn es wäre ein besonders 'R'-freundliches n damit gemeint.

Wie will ich sowas bewerten?

28.08.2008, 09:10

Leopold

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Das Ganze ist etwas kryptisch aufgeschrieben. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ferret alle nötigen Voraussetzungen angegeben hat (manchmal werden vor einer Aufgabe im Text irgendwelche Verabredungen für das Kommende getroffen; die müßte man dann in die Überlegungen miteinbeziehen).

Wir haben also drei Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q,R \end{eqnarray*}$ mit ihren Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{p}, \vec{q}, \vec{r} \end{eqnarray*}$ . Es scheint $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zu sein, $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ sind also kollinear. Darüberhinaus wurde $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ offensichtlich normiert, so daß

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{n} , \vec{n} \rangle = 1 \end{eqnarray*}$

gilt. Um die Verwirrung komplett zu machen, dient $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ als Abkürzung für

$\begin{eqnarray*} \delta = \langle \vec{n} , \vec{r} \rangle \end{eqnarray*}$

Und dann paßt alles. Der Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , für seinen Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ gilt daher mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als geeignetem Parameter:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \ \vec{s} = \vec{p} + t \, \vec{n} \end{eqnarray*}$

Diese Bedingung legt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ angehörig fest.

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \ \langle \vec{n} , \vec{s} \rangle = \delta \end{eqnarray*}$

Diese Bedingung charakterisiert $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als Punkt von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ (beachte die Definition von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ).

Und nun wird $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aufgelöst (beachte die Normierung von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ) und mit dem gefundenen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ weitergerechnet. Es darf dabei allerdings nicht

Zitat:

d= <n,S>+t

heißen, sondern muß

$\begin{eqnarray*} \delta = \langle \vec{n} , \vec{p} \rangle + t \end{eqnarray*}$

lauten. Entweder steht das in der Lösung falsch oder ferret hat es falsch abgeschrieben.

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28.08.2008, 13:22

ferret

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genau leopold hat verstanden was ich möchte...

28.08.2008, 13:43

ferret

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hat jemand vllt langeweile und kann die aufgabe berechnen mit den zwischenschritten, je länger ich mir diesen wust angucke umso weniger verstehe ich etwas...
ich hab das versucht alles auszurechnen aber ich komme auch überhaupt nicht auf sein vorgegebenes ergebnis...

also ich habe die ebenengleichung: X= (2, 2, 1)+t*(2, -1, -3)+s* (-1, -4, 0) die werte stehen eigentlich untereinander, weil aber nich wie das hier funktioniert.
dann habe ich noch die geradengleichung für g
X= (2, 2, 1)+t*(2, -1, -3)

was muss ich mit dem kram denn jetzt machen?
lg julia

28.08.2008, 16:05

mYthos

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Langeweile befällt uns in diesem Forum sicher nicht, davon kannst du ausgehen Big Laugh

Big Laugh

Die Berechnung sollte unbedingt von dir gemacht werden und nicht von jemand anderen, denn nur so kann dann bei dir selbst der Lernprozess entstehen.
Lass' zunächst mal die vorgegebenen Lösungen links liegen und gehe davon unbelastet an die Aufgabe heran.

Überlege zunächst einmal, dass die Berechnung der Geraden h für den Schnittpunkt obsolet (unnötig) ist, denn alle Geraden in E, die durch den Schnittpunkt von E mit g gehen, stehen senkrecht zu g, weil auch E senkrecht zu g ist. Wir haben also nur die Ebene E zu bestimmen, deren Normalvektor identisch mit dem Richtungsvektor von g ist. Diese schneiden wir mit g und gut ist es.

Weisst du nun, wie dieser Richtungsvektor der Geraden g zu berechnen ist und wie damit dann die gesuchte Ebenengleichung aufgebaut werden kann?

mY+

28.08.2008, 16:17

ferret

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also ich habe nun versucht die normalform der ebene aufzustellen nach: n(X-P)=0
hier habe ich meine werte eingesetzt: (2, -1, -3)*((2, 2, 1)+t*(2, -1, -3))- (1, -2, 1)
für X habe ich die geradengleichung für g eingesetzt und für P den Punkt R, n habe ich ja schon für die geradengleichung berechnet. nachdem ich nun alles eingesetzt habe, habe ich nach meinem Parameter t aufgelöst. die Lösung für t habe ich in meine Geradengleichung eingesetzt und dann müsste doch dabei der schnittpunkt herauskommen...?
funktioniert das so, oder habe ich alles falsch verstanden.
also ich weiß das h in der ebene liegt aufgrund des punkt R und ich somit die ebene nur mit der gerade schneiden muss.
kann ich das denn so wie ich oben angegeben habe machen?

28.08.2008, 16:52

mYthos

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In Kurzform: Richtig verstanden und beschrieben. Gut wäre es vielleicht, die Ebene E zuerst zu berechnen. Sie lautet 2x - y - 3z = 1

mY+

28.08.2008, 17:06

ferret

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ok, dann hab ich einen teil ja schon mal.. puh..

2x - y - 3z = 1 dazu habe ich nochmal eine frage: woher kommt die 1 nach dem gleichheitszeichen und wozu brauch ich diese form für die ebene?

2x - y - 3z dies ist ja der n-Vektor. das sehe ich, verstehe nun aber nicht wofür ich das brauche.
lg

28.08.2008, 17:19

mYthos

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Die Ebene in dieser Form lautet allgemein

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{x} = c \end{eqnarray*}$ , dies ist die Koordinatenform. c bekommst du, wenn du für x,y,z die Koordinaten von R einsetzt, denn R soll ja in der Ebene liegen.

Diese ist grundsätzlich identisch mit der Form

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Du willst ja nun in die Ebene anstatt $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ der Geraden einsetzen, um nach dem Parameter t aufzulösen und damit den Schnittpunkt zu erhalten.

Wie du es auch machst, es muss jedenfalls das richtige t errechnet und damit der Schnittpunkt bestimmt werden.

mY+

28.08.2008, 17:20

pingu

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RE: Seltsame Aufgabe: Schnittpunkt
Das 1 da steht für den Abstand der Ebene zum Ursprung. Kennst du die Punkt-Ebene-Abstandsformel, damit kannst du das berechnen.

Naja wir brauchen den n-Vektor, weil der n-Vektor Bestandteil der Gerade g ist.

Ich hab mal noch ne Skizze beigefügt, vllt hilft das weiter.

Ach ja, die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h durch R, sry, hab ich vergessen bei der Skizze dazuzuschreiben.

28.08.2008, 17:31

mYthos

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RE: Seltsame Aufgabe: Schnittpunkt

Zitat:

Original von pingu
Das 1 da steht für den Abstand der Ebene zum Ursprung.
....

Nicht direkt. Der Abstand hängt noch vom Normalvektor ab.

Im übrigen geht dein Beitrag ziemlich an dem vorbei, wovon gerade die Rede war, bzw. bringt nichts Essentielles, sorry. Wozu das? Hast du das letzte gelesen und auch verstanden? verwirrt

verwirrt

mY+

28.08.2008, 17:35

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich. Also wieso bist du der Meinung, dass das am Thema vorbeigeht? Ich finde eigtl schon, dass das die Frage von ferret beantwortet...

28.08.2008, 17:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das alles doch schon mal durchgekaut wurde. Und der Thread ließ - besonders am Anfang - bisher nicht darauf schließen, dass eine wesentliche Klarheit eingetreten war. Aus dem Grund sah ich mich zu einem nochmaligen Beginn veranlasst und wie ersichtlich, konnte Julia auch bislang gut folgen. In wiefern hat dein Beitrag die Frage beantwortet, weshalb in der Koordinatenform der Ebenengleichung auf der rechten Seite eine Konstante (1) steht? Und warum man die Gerade h zur Ermittlung des Schnittpunktes nicht benötigt? Statt dessen stehen darin Tatsachen, die ohnehin schon gegeben bzw. besprochen waren.

Wie dem auch sei, ich bin zu allem offen, warten wir mal doch noch ab, wie es weitergeht. Es soll allerdings vermieden werden, dass die Fragenden allzusehr verwirrt werden.

mY+

28.08.2008, 18:43

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben da wohl gerade gleichzeitig gepostet. Die Frage nach der Geraden h wurde da gar nicht gestellt?? Es ging um den Normalvektor n. Naja egal, schauen wir mal, wies weitergeht.

28.08.2008, 19:08

ferret

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RE: Seltsame Aufgabe: Schnittpunkt
YAHOO, also ich habe es geschafft die aufgabe endlich zu lösen! ich habe mein ergebnis mit dem des profs überprüft und die ergebnisse stimmen überein smile

smile

vielen dank für die hilfe! smile

smile

ich schreib meine rechnung einfach hier noch einmal rein:
aso ich habe die ebenengleichung 2x-y-3z=1
dort habe ich den ganzen kram eingesetzt dann ergibt sich:
2(2+2t)-(2-t)-3(1-3t)=1
t ist 1/7
wenn ich das einsetze ergibt sich:
(2,2,1)+1/7*(2,-1,-3)=(16/7, 13/7, 4/7) wenn man dann noch 1/7 ausklammert ergibt:
1/7(16, 13, 4) und das ist auch das ergebnis des profs.

lg julia

28.08.2008, 19:40

mYthos

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Fein!

smile

mY+

29.08.2008, 02:47

Poff

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Ich bring diesen Wirrkram von Post 1 auch mal auf Vordermann.

n = (P-Q)/|P-Q|

P = S + t*n

d = <n,S> und zugleich d = <n,R>

d + t = <n,P>

ergibt:

S = P -(<n,P>-d)*n = P - (<n,P>-<n,R>)*n

S = P - <n,P-R>*n
=============

oder
S = P + <n,R-P>*n

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