Orthonormalbasis

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28.05.2006, 16:08	hä?	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Moin moin, komm bei dieser Aufgabe noch nicht so gut voran: Sei $\begin{eqnarray} U:=\{^t(x_1,...,x_4)\in \mathbb R^4 ~\|~x_1+2x_2-3x_4=0\} \end{eqnarray}$ , Geben Sie eine bezüglich des kanonischen Skalarprodukts <,> im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ orthonormale Basisi von U an. Also zu Vorgehensweise: Ich muss doch erstmal 4 zu einander othogonale Vektoren suchen, die dann noch die Bedingung für U erfüllen und den Betrag 1 haben? Wie fange ich nun am besten an?
28.05.2006, 18:06	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi hä? als erstes solltest du das Erzeugendensystem (Basis) aufstellen, durch die sich alle Vektoren aus U erzeugen lassen. Wenn du deine Basis $\begin{eqnarray} B=\{ a\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}, b\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ ermittelt hast, dann kannst du das Skalarprodukt dieser in Abhängigkeit zweier skalarer Vielfacher a und b dieser Vektoren aufstellen: $\begin{eqnarray} <a\vec{a} , b\vec{b} > = 0 \end{eqnarray}$ Dann bekommst du eine Gleichung mit a in Abhängigkeit von b und dann must du noch die Länge umsetzen. Ich hoffe ich konnte dir helfen :-) Asnnah
28.05.2006, 20:05	hä?	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Asnnah für den Ansatz! Also eine Basis von U ist: $\begin{eqnarray} L=( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich das Verfahren von Gram-Schmidt benutzt und folgendes für die Ortogonalbasis $\begin{eqnarray} B=(B_1,B_2,B_3) \end{eqnarray}$ rausbekommen: $\begin{eqnarray} B_1=L_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_2'=L_2-<B_1,L_2>B_1=L_2-0=L_2 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} B_2=\frac{L_2}{\|\|L_2\|\|}= \sqrt{\frac{1}{5}}L_2= \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und schlißlich $\begin{eqnarray} B_3'=L_3-<B_1,L_3>B_1-<B_2,L_3>B_2=L_3-0- (-\frac{6}{\sqrt{5}})B_2= \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} B_3=\frac{B_3'}{\|\|B_3'\|\|}= \sqrt{\frac{5}{14}}\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann das vielleicht jemand nachprüfen? edit: den von LOED gefundenen Fehler korrigiert. edit 2: noch einen Rechenfehler korrigiert.
28.05.2006, 20:57	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich ehrlich bin, sehe ich in Asnnahs Beitrag nicht sonderlich viel sinnvolles. Der Raum ist dreidimensional, wie du richtig gefunden hast, hä (deine 3 Vektoren sind richtig! [Achtung siehe unten]). Desweiteren kannst du durch strecken mit a und b keine Orthogonalität erzeugen, Asnnah. Wenn die vorher (nicht) senkrecht sind, sind sie es nach strecken immer noch (nicht). Die Idee, Gram-Schmidt anzuwenden ist richtig und an sich ist das nur noch Einsetz- und Rechenarbeit. Also das rechne ich jetzt aber nicht nach. Deine 3 vektoren stehen auf jeden Fall senkrecht zueinander (bzgl. Standardskalarprodukt!), am besten prüfst du nochmal selbst, ob sie die Gleichung erfüllen. Wenn ja, dann hast du hier eine fertige OGB. Wenn nein, dann hast du was falsch gemacht. edit: ich sehe gerade, entweder die Angabe im ersten Post ist falsch (soll das nicht 2x1+x2+... heißen?) oder dein zweiter Vektor.
28.05.2006, 21:12	hä?	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke LOED! Der zweite Vektor ist tatsächlich falsch. Da muss ne -2 statt -1/2 hin. Ich korrigier dann gleich nochmal meine Lösung durch ein edit. Danke nochmal
28.05.2006, 21:48	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
zu deinem edit: fast aber irgendwie stehen B2 und B3 nicht mehr senkrecht aufeinander!?
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28.05.2006, 22:19	hä?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hää? wieso denn fast? Ich finde keinen Fehler in der Rechnung, ich hab einfach das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet und sehe nicht wo ich was anderes machen könnte. Die müssen doch jetzt senkrecht auf einander stehen.
28.05.2006, 22:22	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B_2B_3= -\frac{2}{\sqrt{5}}1+ \frac{1}{\sqrt{5}}1+00+01= -\frac{1}{\sqrt{5}} \not= 0 \end{eqnarray*}$ wird irgendein Rechenfehler sein, nix großartiges, das Prinzip hast du verstanden.
28.05.2006, 22:37	hä?	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmals LOED! Hab den Fehler jetzt gefunden! Edit folgt...
28.05.2006, 22:57	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
nachrechnen: sie sind linear unabhängig: sieht man.... sie liegen alle in deinem Raum.... jawoll! sie stehen paarweise senkrecht.... jawoll! also diesmal halten sie auch der Kontrolle stand. achja, es geht um eine ONB, nicht nur eine OGB: dann noch die letzte Kontrolle.... richtig normiert. Nix mehr zu beanstanden.

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