Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche

29.08.2008, 09:47

eierkopf1

Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche

Hallo!

Ich habe hier ein paar Beispiele mit Volumsberechnung:

1.)

Gegeben: Tetraeder mit den Punkten A(1/2/1), B(7/10/1), C(-3/6/3), D(2/3/9)

Gesucht: h auf Basis ABC, Volumen und Oberfläche

Meine Lösung:

Um h berechnen zu können, verwende ich die Hessesche Abstandsformel. Die Punkte A,B,C bilden eine Ebene E und von dieser rechne ich den Abstand zum Punkt D aus:

Dazu brauche ich den normierten Normalvektor von E und bilde das Skalareprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AD} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} h= 7,59 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Nun zum Volumen:

Entweder mit dem Spatprodukt:

$\begin{eqnarray*} V= \frac{1}{6} \mid \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {AD} \mid = 75,3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Wie könnte ich es ohne Spatprodukt lösen? Das Tetraeder ist nicht regelmäßig, da die Seiten des Dreickes ABC nicht gleich lang sind.

Nun zur Oberfläche:

Da das Tetraeder unregelmäßig ist, muss ich die vier Dreiecke einzeln ausrechnen, oder?

$\begin{eqnarray*} O = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \mid = 30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} \mid = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AD} \times \overrightarrow {AC} \mid = 28 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {BC} \mid = 51 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O = 116 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Könnte ich die Oberfläche schneller berechnen? Bei einem regelmäßigen Tetraeder bräuchte ich doch nur eine Fläche ausrechnen und diese mit 4 multiplizieren, oder?

Danke schon mal für die Mühe.

mfg

29.08.2008, 11:03

riwe

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche
$\begin{eqnarray*} V=\frac{G\cdot h}{3} \end{eqnarray*}$

zur oberfläche: das wird hier nicht anders möglich sein.

mich würden aber die einzelnen vektoren AB, AC etc. interessieren,
du hast zwar die schöneren zahlen, aber ich fürchte, sie stimmen nicht.

29.08.2008, 11:09

eierkopf1

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} V=\frac{G\cdot h}{3} \end{eqnarray*}$

zur oberfläche: das wird hier nicht anders möglich sein.

mich würden aber die einzelnen vektoren AB, AC etc. interessieren,
du hast zwar die schöneren zahlen, aber ich fürchte, sie stimmen nicht.

Danke für die Antwort!

Passen die Höhe und das Volumen?

zur Oberfläche:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BD} = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} = \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mfg

PS: Gibt es eine Software, die einfach zu bedienen ist, um solche Körper darzustellen?

29.08.2008, 12:05

riwe

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche
verwirrt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=4\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 14 \end{pmatrix} \to A_1=2\sqrt{221}\neq 30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{6}(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\frac{4}{6}\begin{pmatrix} 4 \\- 3 \\ 14 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} =\frac{226}{3}\approx 75.3 \end{eqnarray*}$

ohne gewähr.

29.08.2008, 12:24

eierkopf1

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche
Danke für die Antwort!

Ich habe irgendwas falsch gerechnet, jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} O = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \mid = 29,73 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} \mid = 40,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {AD} \times \overrightarrow {AC} \mid = 23,02 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4= \frac{1}{2} \mid \overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {BC} \mid = 43,94 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O = 136,7 \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte es stimmen, oder?

Stimmt die Höhe?

mfg

29.08.2008, 13:17

riwe

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche
$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ stimmt, für den rest bin ich zu faul

$\begin{eqnarray*} h=\frac{3V}{G}=\frac{226}{2\cdot\sqrt{221}}\approx 7.60 \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 17:23

eierkopf1

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RE: Tetraeder: Höhe, Volumen, Oberfläche

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ stimmt, für den rest bin ich zu faul

$\begin{eqnarray*} h=\frac{3V}{G}=\frac{226}{2\cdot\sqrt{221}}\approx 7.60 \end{eqnarray*}$

Für h habe ich das gleiche Ergebnis.

Danke für die Hilfe!

Prost

mfg

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