Affine und Projektive Räume

28.05.2006, 21:45	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Affine und Projektive Räume Hi! Mann, heut stell ich ja echt viel rein... Was solls, ist die letzte Frage für heute Wir sollen die Anzahl der Geraden in den affinen und projektiven Räumen bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\mathbb K} ^{n} \end{eqnarray}$ die Menge aller Nullpunktgeraden sein soll. Unsere Professorin hat in der letzten Vorlesung gemeint, dass affine Vektorräume solche sind, die keinen Nullpunkt besitzen: Jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. Weil wir sollen z.B. in der ersten Aufgaben also die Anzahl der Geraden in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{2} ^{2} \end{eqnarray}$ bestimmen: Muss ich da jetzt in meiner Lösung alle Geraden rausnehmen, die durch (0,0) gehen?!?! Weil ich würde sonst sagen, dass es 6 Geraden sind, weil der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ ja aus den Elementen 0 und 1 besteht. Also kämen die Punkte (1,0), (0,0), (0,1) und (1,1) in Frage. Oder gehören die Geraden nun doch dazu!?!?? Und wenn ich die Anzahl der Geraden in $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\mathbb F_2} ^{2} \end{eqnarray}$ bestimmen soll, da schließe ich doch die aus, welche nicht durch (0,0) gehen, oder?!?!? Wobei ich hier also auf 3 Geraden kommen würde... Wäre gut, wenn jemand Licht in den dunklen Wald bringt. Dankeschön
29.05.2006, 10:07	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal glaube ich, das F_2 für die Anschauung ein ungünstiges Beispiel ist, ich würde versuchen, das ganze erstmal für zB F_5 aufzumalen und zu verstehen. also Beispiel F_5^2: das kann man sich als Gitterpunkte auf Papier aufmalen, dabei muss man aber aufpassen, wie die Ränder wieder zusammengeklebt werden. Ein affiner Vektorraum ist ein VR ohne ausgezeichnete Null, du suchst also alle Geraden, nicht nur die durch den Nullpunkt. Man sollte beobachten, dass jede Gerade durch genau 5 Punkte geht. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte es davon 30 Stück geben, von denen 6 durch den Nullpunkt gehen. dann für den projektiven Fall P^2F_5 das ist der1-dimensionaler Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_5^2 \slash \mathbb{F}_5^ \end{eqnarray*}$ dementsprechend gibt es dort nur genau eine Gerade, wenn du eine Dim höher gehst und P^3F_5 anguckst, wird es komplizierter
29.05.2006, 10:13	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
hi VR - die frage hab ich auch gerade gestellt g aber ich hab die gleiche Überlegung wie du... - bei a) 6 Gerade... - so ungefähr wie alle Möglichkeiten in einem Quadrat von einem Punkt zum nächsten zu kommen... und in dem projektiven Raum sind ja die Elemente die in dem Raum von dem du projezierst Geraden durch Null waren einfach Punkte... - und durch diese Punkte kannst du wieder Geraden laufen lassen... und das mit der Null: der $\begin{eqnarray} \mathbb F^2_2 \end{eqnarray}$ ist ja nicht dein affiner Raum, sondern die Geraden... - und die haben keine ausgezeichnete Null, weil sie nicht durch Null gehen müssen... - außerdem darf man glaub ich die Null in $\begin{eqnarray} \mathbb F^2_2 \end{eqnarray}$ nicht mit der Null für die Geraden verwechseln
29.05.2006, 13:39	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
@sunwater: Hey, die Aufgabe sieht so einfach aus, aber als ich nochmal drüber nachgedacht hab, da sind mir doch ein paar Zweifel gekommen... Aber ist klar, dass die Geraden die affinen Räume sind. Das müsste doch dann aber letztendlich für die Aufgabe heißen, dass diese Geraden, welche im affinen Raum nicht durch die Null gehen, auch nicht dazu gehören. Und im projektiven Raum wären das dann diejenigen, welche immer durch den Nullpunkt gehen!?!?!?
29.05.2006, 15:13	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
nein das seh ich nicht so... es ist nicht so als dürften die Geraden nicht durch die Null gehen... - nur, dass die Geraden keine ausgezeichnete Null haben... - im allgemeinen. Du verwechselst gerade die Koordinaten (0,1) mit Elementen des F2 bei denen 0 und 1 nur Symbole sind. Ich hab aber jetzt erstmal mitgekriegt, dass es ja nur um die Anzahl geht und nicht um die genaue Beschreibung. Deswegen meine Idee: bei a) du hast 4 Punkte => 6 verschiedene Geraden bei b) du hast 8 Punkte => 28 verschiedene Geraden bei c) - du weißt ja, dass du in a) 3 Geraden hattest die durch Null gehen - das sind deine Punkte von $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\mathbb F_2} \end{eqnarray}$ Ich denke mal, man kann jetzt also $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\mathbb F_2} \end{eqnarray}$ einfach mit dem $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ identifizieren - ein Raum, der drei unterschiedliche Elemente hat. Demzufolge hättest du 6 Punkte => 15 Geraden ?! - aber das ist nur meine Vermutung... ich würde also d) auch mit $\begin{eqnarray} \mathbb F_3^3 \end{eqnarray}$ identifizieren...

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