Drehmatrix

28.05.2006, 22:12

el_studente

Drehmatrix

Hallo,

hab (wie immer) einige Probleme mit folgender Aufgabenstellung:

Gegeben ist eine Drehung D im R^3 um die z-Achse mit Drehwinkel phi im positiven Drehsinn (also gegenuhrzeigersinn???).
Jetzt soll ich

1. zeigen, dass D eine lineare Abbildung ist und

2. die Bilder der kanonischen Basisvektoren e_1, e_2, e_3 und die Drehmatrix M(D) bestimmen.

zu 1.: verwirrt

ist wahrscheinlich extrem einfach, lass ich aber erstmal beiseite

zu 2.: Reicht es, hier einfach die Winkelbeziehungen für cos und sin der Basis vektoren aufzuzeigen und daraus dann die weltberühmte Drehmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\phi & sin\phi & 0 \\ -sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zusammenzusetzen?

28.05.2006, 22:26

JochenX

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Hi Studente,

ich finde 2 ist ein wenig aus der Luft gegriffen. Insbesondere nutzt du dazu schon 1, nämlich, dass du es in dieser Matrizenform schreiben kannst.
Was sind denn das für Winkelbeziehungen, die du da verwendest, vielleicht wirds besser, wenn du das noch in ein paar Worten erklärst.

SO ist es nur die "weltberühmte" Drehmatrix hingeschrieben ohne irgendwie zu bergünden, wo du sie herhast ("aus Büchern" zählt dabei nicht Augenzwinkern

).

Gruß, Jochen

28.05.2006, 22:57

el_studente

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zu 2.: dachte mir die Sache so:

Ich hab nen Vektor r.
Vor der Drehung gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=x\vec{e_x}+y \vec{e_y}+z \vec{e_z} \end{eqnarray*}$

nach der Drehung gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=x'\vec{e'_x}+y \vec{e'_y}+z \vec{e'_z} \end{eqnarray*}$

weiter gilt:

$\begin{eqnarray*} x\vec{e_x}=xcos \alpha \vec{e'_x}-xsin \alpha \vec{e'_y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y\vec{e_y}=ysin \alpha \vec{e'_x}+ycos \alpha \vec{e'_y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z \vec{e_z}=z \vec{e'_z} \end{eqnarray*}$

nach einsetzen und umstellen wird daraus:

$\begin{eqnarray*} x'=xcos\alpha +ysin\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=-xsin\alpha +ycos\alpha \end{eqnarray*}$

Oder wie lässt sich das sonst machen?
Und wann/wo hab ich damit 1 schon gezeigt?

30.05.2006, 01:29

el_studente

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RE: Drehmatrix
folgende Aussage:

Eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ ist linear, wenn sie sich durch eine Matrix beschreiben lässt.

Wahr oder falsch??

30.05.2006, 13:52

Abakus

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RE: Drehmatrix

Zitat:

Original von el_studente
folgende Aussage:

Eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ ist linear, wenn sie sich durch eine Matrix beschreiben lässt.

Wahr oder falsch??

Das dürfte davon abhängen, was hier unter "beschreiben" verstanden wird. Zu einer solchen linearen Abbildung existiert jedenfalls eine Matrix A, so dass f(v) = Av ist, ja.

Grüße Abakus smile

30.05.2006, 22:24

el_studente

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Also prinzipiell falsch!?!

30.05.2006, 22:45

Abakus

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Zitat:

Original von el_studente
Also prinzipiell falsch!?!

Solange nicht definiert wird, wie diese Beschreibung aussehen soll, lässt sich dazu weder ja noch nein sagen.

Korrekt ist, dass es zu einer linearen Abbildung f eine zugeordnete Matrix gibt, die via Multiplikation von Matrix mit Vektor die Abbildung f darstellt (was sich genau definieren lässt).

Grüße Abakus smile

30.05.2006, 23:09

el_studente

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Zitat:

Korrekt ist, dass es zu einer linearen Abbildung f eine zugeordnete Matrix gibt,......

Um die Sache abzuschließen:

Zu einer linearen Abbildung heißt also bedingungslos zu JEDER linearen Abbildung?????

Mit dem Wort "beschreiben" meine ich: berechnen, bestimmen, darstellen, etc.

30.05.2006, 23:23

Abakus

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Zitat:

Um die Sache abzuschließen:

Zu einer linearen Abbildung heißt also bedingungslos zu JEDER linearen Abbildung?????

Mit dem Wort "beschreiben" meine ich: berechnen, bestimmen, darstellen, etc.

Ja (f muss lin. Abb. zwischen endlich-dimensionalen VR sein als Voraussetzung).

Grüße Abakus smile

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