Dichtefunktion bestimmen

29.05.2006, 17:06

lego

Dichtefunktion bestimmen

hallo, ich habe eine aufgabe bekommen, die meiner meinung nach nicht stimmen kann:

X hat eine logistische verteilung, wenn die Verteilungsfunktion F folgende Form hat:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{1+e^{-(ax+b)}} \end{eqnarray*}$ mit a>0

zeigen Sie, dass für die Dichtefunktion f die Gleichung

f(x)=aF(x)(1=F(x)) gilt.

also ich bräuchte die Verteilungsfunktion doch nur Ableiten um auf die Dichtefunktion zu kommen, da kommt aber nicht das richtige raus.

außerdem versteh ich nicht, was der Klammerausdruck da soll (1=F(x))

vielleicht kann mir von euch wer erklären, wo hier der Wurm steckt.

29.05.2006, 17:25

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Probier's mal mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = aF(x)(1-F(x)) \end{eqnarray*}$

Hab jetzt nicht überprüft, ob das stimmt, klingt aber ganz vernünftig.

29.05.2006, 17:32

lego

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hm, ok, danke das ist schon knapp dran, stimmt nur mit dem vorzeichen des exponenten noch nicht ganz:

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{a*e^{-(ax+b)}}{(1+e^{-(ax+b)})^2} \end{eqnarray*}$

a*F(x)*(1-F(x))= $\begin{eqnarray*} \frac{a*e^{(ax+b)}}{(1+e^{(ax+b)})^2} \end{eqnarray*}$

29.05.2006, 17:33

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Na dann schau nochmal scharf drauf: Es stimmt doch! Augenzwinkern

29.05.2006, 17:36

lego

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ja ich hab mir gerade mal probehalber graphen geplottet, scheint zu stimmen, sehe es gerade nur noch nicht, warum.

29.05.2006, 17:38

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$\begin{eqnarray*} (1+e^{(ax+b)})e^{-(ax+b)} = 1+e^{-(ax+b)} \end{eqnarray*}$

29.05.2006, 17:48

lego

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danke, wenn ichs per hand ausrechne bekomme ich direkt das selbe raus, ohne die umformung. diese CAS...

ähm ich hätte noch eine andere frage, wir haben ein paar besipiele des typs:

X sei eine stetige zufallsvariable mit der dichtefunktion f. welche dichte hat dann Y=f(X) (f sei irgendeine funktion. zb. X^2, X^{1/b} etc)

wir haben hier eine formel im skriptum, die aus dem integraltransofmationssatz folgt

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=f(h(y))*\mid h'(y) \mid \end{eqnarray*}$ h(y) ist die umkehrfunktion von Y

gibt es da situtationen, in denen ich mit der bijektivität aufpassen muss, so wie zb bei X^2, die umkehrfunktion ist nicht eindeutig, darf ich da diese formel auch verwenden oder muss ich mir da selbst was überlegen?

29.05.2006, 20:26

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Zitat:

Original von lego
X sei eine stetige zufallsvariable mit der dichtefunktion f. welche dichte hat dann Y=f(X) (f sei irgendeine funktion. zb. X^2, X^{1/b} etc)

[...]

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=f(h(y))*\mid h'(y) \mid \end{eqnarray*}$ h(y) ist die umkehrfunktion von Y

Da ist dir einiges durcheinandergeraten - so wird ein Schuh draus:

Zitat:

korrigierte Version
X sei eine stetige zufallsvariable mit der dichtefunktion f. welche dichte hat dann Y=g(X) (g sei irgendeine bijektive differenzierbare funktion)

[...]

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=f(h(y)) \cdot |h'(y)| \end{eqnarray*}$ wobei h die umkehrfunktion von g ist

30.05.2006, 10:28

lego

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ja stimmt, also geht es mit x^2 nicht, danke

30.05.2006, 14:03

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Bei nichtbijektiven Funktionen musst du in den sauren Apfel beißen und "von Hand" umformen. Als Beispiel mal $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ :

Für $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ ist dagegen $\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(X^2<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y}+0) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung stetig (sonst gäbe es keine Dichte), also ist $\begin{eqnarray*} F_X(-\sqrt{y}+0)=F_X(-\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ und es folgt weiter

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[ F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})\right] = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right] \end{eqnarray*}$

Mit solchen oder ähnlichen Mitteln läuft es dann auch bei anderen nichtbijektiven Funktionen.

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