lineare Abbildung |
| 31.08.2008, 14:29 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineare Abbildung ich hab folgendes Problem bei einer Klausuraufgabe und zwar soll bewertet werden, ob die Aussage falsch oder richtig ist. Die Abbildung geht vom R2 in den Vektorraum W der gegeben ist durch v1 + span{v3,v4}. v1=(1,0,0)T , v3=(1,1,1)T v4=(3,2,1)T also die Abbildung lautet wie folgt: (x1,x2) |----> v1+x1*v3+x2*v4 und die Frage ist ob diese Abbildung surjektiv ist. Ich habe jetzt erstmal die Basis vom R2 genommen, also (1,0)T und (0,1)T und habe geguck was die Abbildung mit den Vektoren macht. (1,0)T |----> (2,1,1)T (0,1)T |----> (4,2,1)T Dann hab ich die beiden Vektoren in eine 3X2 Matrix geschrieben, also so: (2 4) (1 2) (1 1) Dann hab ich den Rang bestimmt der ist =2 und nun meine ich weil der rang der matrix ungleich der zeilenanzahl ist diese Abbildung nicht surjektiv, aber in der Musterlösung steht bei mir das sie das ist. Was mache ich falsch?? Danke im Voraus. |
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| 31.08.2008, 16:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du den Vektorraum bitte nochmal richtig angeben oder die oben definierte Menge anders bezeichnen?! So ist nämlich weder ein Vektorraum noch ist die gegebene Abbildung linear. |
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| 31.08.2008, 17:08 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die genaue Fragestellung lautet: Bewerten Sie zu den Vektoren: v1=(1,0,0)T , v2=(1,1,0)T v3=(1,1,1)T v4=(3,2,1)T sowie V= span{v1+v2,v2} und W=v1+ span{v3,v4} die folgenden 5 Aussagen: da kommt dann als 4. Frage: Die Abbildung T: vom R2 nach W gegeben durch (x1,x2) |----> v1+x1*v3+x2*v4 ist Surjektiv und dann soll man ins Kästchen W oder F eintragen. |
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| 31.08.2008, 17:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wird auch ein Schuh draus ... ist also ein affiner Raum, die Abbildung ist eine affine Abbildung. Diese ist genau dann surjektiv, wenn die lineare Abbildung von nach , gegeben durch , surjektiv ist. Und diese Frage kann man ohne Matrizen und Rechnen sofort beantworten. |
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| 31.08.2008, 18:55 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha ok danke schön, aber wenn man das mit rechnen überprüfen wollte, ist dann mein vorgehen so richtig ? ich glaube da muss ich ja was falsch machen, weil ich nicht auf das gleiche Ergebnis komme. |
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| 31.08.2008, 20:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, du machst zwei Fehler. Zunächst musst du die zur affinen Abbildung gehörende lineare Abbildung betrachten, für eine affine Abbildung reicht die Angabe einer Matrix nicht aus. Diese Matrix, die du dort aufgestellt hast, hat dementsprechend auch nicht wirklich viel mit der affinen Abbildung zu tun. Des Weiteren macht deine Aussage, dass die Abbildung nicht surjektiv sein kann, weil die Matrix nur den Rang Zwei hat, nicht viel Sinn, da der Bildraum ebenfalls zweidimensional ist. Er wird ja nur von den beiden Vektoren und aufgespannt. Meiner Meinung nach enden alle Möglichkeiten des Rechnens hier darin, dass man verkomplizierte Darstellungsmatrizen aufstellt. Dazu müsste man nämlich z.B. erstmal eine Basis des Bildraums wählen (hier bietet sich an) und dann die zugehörige Matrixdarstellung berechnen (dies wäre dann eine -Matrix). An dieser könnte man dann mit deiner Methode die Surjektivität überprüfen. Das macht aber wirklich kaum Sinn. Insofern empfehle ich: Lieber denken statt rechnen. |
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| 31.08.2008, 20:45 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich hab hier nochmal eine gerechnet die mit 2 Vektorräumen zu tun hat. Die Abbildung geht vom R2 in den R3 v1=(1,0,0)T , v2=(1,1,0)T v3=(1,1,1)T die Abbildung lautet diesmal: (x1,x2) |----> x1*v1 + x2*v2 + (x1+x2)*v3 und die Frage ist wieder ob diese Abbildung surjektiv ist. Ist das denn jetzt richtig wenn ich die Basis vom R2 nehme und gucke was die Abbildung mit den Vektoren macht? Also (1,0)T |----> (2,1,1)T (0,1)T |----> (2,2,1)T Und jetzt in eine 3x2 Matrix (2 2) (1 2) (1 1) der rang ist wieder = 2 und dann kommt das bei mir auch hin mit der Musterlösung also die Abbildung ist nicht surjektiv. Ist das so die richtige Vorgehensweise um das untersuchen ? |
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| 31.08.2008, 20:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist so OK. Aber unsinnig, denn auch hier braucht man nicht zu rechnen. Es ist klar, dass eine darstellende Matrix der Abbildung eine 3x2-Matrix sein muss und damit höchstens den Rang 2 haben kann. Also kann eine lineare Abbildung von IR² in den IR³ nicht surjektiv sein. |
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| 31.08.2008, 21:00 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo ich wollte nur einmal wissen, ob das prinzip richtig ist, vielen Dank für die Mühe. 
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| 31.08.2008, 21:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du denn meine Argumentation verstanden? Im übrigen hast du noch immer nicht die erste Aufgabe gelöst. |
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| 31.08.2008, 23:03 | Janni86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ich denke schon das mir das klargeworden ist. Das heißt wenn abbildungen von niedriger Dimension in eine höhere Dimension gehen können sie niemals surjektiv sein und andersrum niemals injektiv sein. |
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| 31.08.2008, 23:16 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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