3 würfel: 10 erscheint öffter als 9

31.05.2006, 21:14

jolt

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3 würfel: 10 erscheint öffter als 9

Hi!
Habe folgende aufgabe zu lösen und weiss nicht wie.
Beim Werfen dreier Würfel erscheint die Augensumme 10 öfter als die Augensumme 9.
Beide Summen können jedoch auf gleich viele Arten in Summanden aus den Zahlen 1 bis 6 zerlegt werden.

Wieso erscheint die 10 denn öfter und wie komme ich auf den Lösungsweg?

31.05.2006, 21:56

bil

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hi...
schreib am besten mal alle kombinationen auf, die als summe 10 und welche als summe 9 ergeben. und dann vergleiche die anzahl...

also der anfang für summe 10 sieht so aus:

(136),(145),(154),(163),(226),(235),(244), usw.

gruss bil

31.05.2006, 22:38

jolt

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9 10
1+2+6 1+3+6
1+3+5 1+4+5
1+4+4 1+5+4
1+5+3 1+6+3
1+6+2 2+2+6
2+1+6 2+3+5
2+2+5 2+4+4
2+3+4 2+5+3
2+4+3 2+6+2
2+5+2 3+1+6
2+6+1 3+2+5
3+1+5 3+3+4
3+2+4 3+4+3
3+3+3 3+5+2
3+4+2 3+6+1
3+5+1 4+1+5
4+1+4 4+2+4
4+2+3 4+3+3
4+3+2 4+4+2
4+4+1 4+5+1
5+1+3 5+1+4
5+2+2 5+2+3
5+3+1 5+3+2
6+1+2 5+4+1
6+1+3
6+2+2
6+3+1

is bei mir irgendwie nich gleich,ka was falsch is

31.05.2006, 23:03

bil

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Zitat:

Original von jolt
is bei mir irgendwie nich gleich,ka was falsch is

richtig, und genau deshalb kommt augensumme 10 häufiger vor.
übrigens fehlt bei dir in der 9ner reihe noch: 6+2+1

wenn ich richtig gezählt habe, gibt es dann für deine 9ner reihe 25 möglichkeiten und für deine 10er reihe 27.
insgesamt gibt es $\begin{eqnarray*} 6^3=216 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten
daraus folgt für die wahrscheinlichkeiten:
X=augensumme:

$\begin{eqnarray*} P(X=10)=\frac{27}{216} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=9)=\frac{25}{216} \end{eqnarray*}$

jetzt ist die aufgabe gelöst Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

31.05.2006, 23:11

Jolt

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Super!
Das einzige was ich nicht ganz kapiert hab is wie du auf

kommst.
6 is ja wahrscheinlich die 6seiten des würfels?! und 3 weil es 3 würfel sind?

31.05.2006, 23:20

Leopold

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Würfeln!
Liste der Augensummen

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31.05.2006, 23:23

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jolt
Super!
Das einzige was ich nicht ganz kapiert hab is wie du auf

kommst.
6 is ja wahrscheinlich die 6seiten des würfels?! und 3 weil es 3 würfel sind?

genau das ist die erklärung Augenzwinkern

Augenzwinkern

du kannst dir das als 3er-tupel (x,y,z) vorstellen
für x haben wir 6 möglichkeiten, für y haben wir 6 möglichkeiten und für z auch wieder 6. also ergibt sich die anzahl durch multiplikation.
wenn du es noch genauer wissen möchtest bzw. es noch nicht ganz verstanden hast, dann siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik
(speziell der teil "zusammenfassung")

gruss bil

edit: da war leopold wohl schnell Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.06.2006, 08:47

AD

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Die Verteilung der Augenzahlensummen bei n Würfen von Hand auszurechnen, klappt auch noch ganz gut mit folgender Methode:

Würfel Frage!?

Falls mal auf die Schnelle kein Computer zur Hand ist... Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.06.2006, 15:59

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt auch mal ein programm geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

@leopold: wie lange hat dein pc für die liste gebraucht? also mit meinem progamm würde ich für die komplette liste wahrscheinlich schon paar stunden brauchen verwirrt

verwirrt

01.06.2006, 16:04

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du's mit der Faltung (wie in meinem letzten Beitrag) machst, sollte ein Computer nicht länger als Sekundenbruchteile brauchen. smile

smile

01.06.2006, 16:13

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, daran hab ich garnicht gedacht. ich hab halt stur alle kombinationen durchrechnen lassen... Hammer

Hammer

01.06.2006, 16:15

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal "von Hand" für bis zu vier Würfe: Ok, ausgehend von der Verteilung 1/6 * (1,1,1,1,1,1) für die Augenzahlen eines Würfels erhält man für zwei Würfel:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	(1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1) ------------------------------------- Summe: 1/36 * (1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)

Jetzt für drei Würfel:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

               ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
                  ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
                     ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
                        ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
                           ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
                              ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
----------------------------------------------------------------
Summe: 1/216 * ( 1, 3, 6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,10, 6, 3, 1)

Und für vier:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

                (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
                    (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
                        (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
                            (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
                                (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
                                    (  1,  3,  6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10,  6,  3,  1)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Summe: 1/1296 * (  1,  4, 10, 20, 35, 56, 80,104,125,140,146,140,125,104, 80, 56, 35, 20, 10,  4,  1)

01.06.2006, 16:32

bil

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das ist wirklich ein sehr gutes system. das sollte auch recht leicht zu programmieren sein.
damit ist auf jeden fall diese frage endgültig geklärt fürs forum Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

gruss bil

02.06.2006, 14:06

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... hab das jetzt auch programmiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich hab mich glaube ich ziemlich dumm angestellt(bin nicht gerade der beste programmmierer), es war nämlich für mich um einiges komplizierter zu programmieren als das programm davor.
auf jeden fall ist es um längen schneller, selbst 100 würfel berechnet er noch innerhalb einer sekunde. das programm ist zwar so gut wie sinnlos aber sollte es trotzdem einer brauchen soll er bescheid geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

02.06.2006, 16:08

AD

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Und weil's ja vielleicht mal sowas wie ein Referenzthread für diese Würfelaugensummen wird, liefere ich mal noch die theoretische Grundlage für diese Faltungsrechnung nach:

Für jeden Wurf haben wir die gleiche Augenanzahlverteilung $\begin{eqnarray*} P(X_k=1)=\cdots=P(X_k=6)=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ und wollen jetzt die Verteilung von $\begin{eqnarray*} S_n=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$ bestimmen. Das kriegt man folgendermaßen rekursiv in den Griff:

Start: $\begin{eqnarray*} P(S_0=k) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; k=0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Iteration: $\begin{eqnarray*} P(S_n=k) = \sum\limits_{m=1}^6 P(S_n=k,X_n=m) \stackrel{!}{=} \sum\limits_{m=1}^6 P(S_{n-1}=k-m,X_n=m) = \sum\limits_{m=1}^6 P(S_{n-1}=k-m)P(X_n=m) \end{eqnarray*}$

letzteres wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ . Aus der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ergibt sich somit

$\begin{eqnarray*} P(S_n=k) = \frac{1}{6}\sum\limits_{m=1}^6 P(S_{n-1}=k-m),\qquad n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Und das ist die im obigen Rechenschema verwendete Faltungssumme. Sinnvoll ist natürlich nur die Betrachtung der Werte $\begin{eqnarray*} k=n,n+1,\ldots,6n \end{eqnarray*}$ , alle anderen Augenzahlen können klarerweise nicht auftreten, deren Wahrscheinlichkeit ist somit Null - aber auch für diese anderen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist die Faltungsformel gültig (sozusagen alles "Null").

02.06.2006, 16:40

bil

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perfekt...
danach wollte ich dich eh fragen. ein zwei schritte sind mir noch nicht ganz klar, aber hab auch nur kurz reingedacht. werde mir das später mal genauer anschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

01.10.2008, 08:06

Brockhoff

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Stochastik 3 würfel: 10 erscheint öfter als 9
Hallo !

Kann mir jemand das System von Arthur Dent ( 1,1,------)
( 1,1,1...............)
etwas genauer erklären.

Danke
hb

28.04.2010, 19:23

nixverstehikus

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RE: Stochastik 3 würfel: 10 erscheint öfter als 9
ja das wäre wirklich nicht schlecht. Sieht nämlich leicht aus nur einzen und nullen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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