Integral bestimmen

03.09.2008, 20:00

Rudi

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Integral bestimmen

Servus Leute ,

folgende Aufgabe :

Die Funktion f ist auf dem Intervall [a;b] definiert und es ist $\begin{eqnarray*} f(a) \neq f(b) \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) < c < f(b) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(b) < c < f(a) \end{eqnarray*}$ ist , begrenzen der Graph von f sowie die Geraden mit den Gleichungen x=a und x=b und y=c eine Fläche , die aus zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so , dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben.

$\begin{eqnarray*} f(x)= 4x-x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=0 ; b=2 \end{eqnarray*}$

Habe mir erstmal eine Skizze gemacht :

Klar ist , dass es nun eine Gerade gibt bei x=0 und x=2 , die den Graph so begrenzen und es muss nun eine waagerechte gefunden werden y=c damit eben das oben beschriebene gilt , jemand ein Tipp ? (gibts eine Möglichkeit mehrere Graphen in ein so ein System zeichnen zu lasen ? )

03.09.2008, 20:15

pingu

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Musst die Fkt'en einfach durch ein Komma voneinander abtrennen.

DIe Fkt ist ja symmetrisch, deswegen würde ich sagen, dass c einfach durch den Scheitelpkt gehen muss.

03.09.2008, 20:18

Rudi

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danke , sollten halt senkrecht sein und das kann halt nicht angezeigt werden , macht ja nichts !

Hat keiner einen Tipp , wie ich da ran gehen soll?

03.09.2008, 20:24

pingu

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Sry, ich hab glaub grad noch was dazueditiert, als du gerade drauf Bezug genommen hast.

lg

03.09.2008, 20:55

Rudi

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keiner eine Idee `?

03.09.2008, 21:05

Calvin

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Die horizontale Gerade hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=c \end{eqnarray*}$ , der Schnittpunkt mit der Funktion ist also $\begin{eqnarray*} (x_c/c) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x_c/f(x_c)) \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt ein Integral für die obere Fläche in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_c \end{eqnarray*}$ aufzustellen?

Die untere Fläche kannst du in zwei Teile spalten. Ein Rechteck und ein Integral.

EDIT
Koordinaten bei Skizze angepasst

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03.09.2008, 21:13

Rudi

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in der Skizze fehlt doch noch die zweite Senkrechte bei x=o , weil die Fläche wird ja von x=0 , x=2 (hast du ja eingezeichnet ) und y=c begrenzt ...

Also , dass Integral nachdem du gefragt hast müsste doch eigentlich : $\begin{eqnarray*} | \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-c~dx | \end{eqnarray*}$ sein oder ? ( weiß aber nich , was es mir bringen soll .. )

03.09.2008, 21:26

Calvin

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Die Senkrechte bei x=0 ist die y-Achse. Deshalb habe ich mir das gespart Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Integral meinte ich. Allerdings würde ich $\begin{eqnarray*} c=f(x_c) \end{eqnarray*}$ setzen. Dann hast du nur eine Unbekannte drin. Die Betragsstriche kannst du weglassen, die verwirren nur.

Allerdings habe ich beim Durchrechnen festgestellt, dass mein Ansatz auf eine Gleichung mit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ führt. Das ist wohl nicht im Sinne des Aufgabenstellers verwirrt

verwirrt

Ich klinke mich vorerst mal wieder aus Wink

Wink

03.09.2008, 21:32

Rudi

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hmm... ajo oke ! danke erstmal , mal schaun wer sich noch meldet

03.09.2008, 22:47

Yoshee

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$\begin{eqnarray*} | \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-c~dx | \end{eqnarray*}$
du weißt, dass es die halbe Fläche der Funktion im Intervall [0,2] ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
dann setzt du jetzt c=f(x_c).
Und dann würde ich die beiden Integrale gleichsetzen, integrieren, nach c auflösen.
Oder hab ich jetzt was übersehen? Was ist denn das Problem an dem x³?

04.09.2008, 11:59

Rudi

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ich komme mit dem Ansatz nicht so ganz zurecht verwirrt

verwirrt

04.09.2008, 12:13

klarsoweit

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Was genau verstehst du denn nicht?

Die Gerade y=c schneidet die Funktion f an der Stelle x_c. Es gilt also c = f(x_c). Jetzt brauchen wir die Fläche über dem Intervall [x_c; b], die oberhalb der Geraden y=c und unterhalb der Funktion f liegt. Das ist eben $\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-c~dx \end{eqnarray*}$ .

04.09.2008, 12:24

Rudi

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achso , ich hatte die ganze Zeit falsche Flächen im Kopf

Also liegt eine Fläche über y=c und eine unter y=c oder ?

Mit dem Integral :
$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-c~dx \end{eqnarray*}$ berechne ich aber nur die Fläche oberhalb von y=c

Wie verfahre ich nun weiter ?

//Edit: Calvin meinte ja , die untere Fläche lässt sich durch ein Rechteck und ein Integral beschreiben.

Somit müsste die untere Fläche so beschrieben werden können : $\begin{eqnarray*} x_c \cdot f(x_c) + \int_{0}^{x_c}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$ und um c nun bestimmen zu können , müsste ich ja meine beiden Flächen gleichsetzen also :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-c~dx = x_c \cdot f(x_c) + \int_{0}^{x_c}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$

stimmt das so ?

04.09.2008, 12:47

Yoshee

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Dein "Rechteck" stimmt nicht. Schau dir den Graph noch mal an: du wirst feststellen, dass du sozusagen mit deiner Formel das Rechteck von 0 bis Xc mit der höhe c berechnest. Das gesuchte Rechteck fängt doch aber erst bei Xc an. Du machst das mit dem Rechteck doch, da ab Xc das mit dem Integral von f(x) nicht mehr möglich ist, da die Fläche ja von c begrenzt ist. Du könntest auch das Integral von f(x) im Intervall [0,Xc] + das Integral von c im Intervall [Xc,2] berechnen.

04.09.2008, 12:50

Rudi

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achso logisch , das Rechteck müsste $\begin{eqnarray*} (2-x_c)\cdot f(x_c) \end{eqnarray*}$ groß sein

04.09.2008, 12:51

Yoshee

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Genau, das meinte ich. Jetzt alles klar?

04.09.2008, 12:59

Rudi

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$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-f(x_c)~dx =(2-x_c)\cdot f(x_c) + \int_{0}^{x_c}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$ jetzt muss ich diese Gleichung halt nach c bzw. x_c auflösen ... das wird bestimmt nicht so einfach

/edit: ist es sinnvoll Stammfunktionen zu bilden , oder gibts nen anderen Weg ?

04.09.2008, 13:13

Yoshee

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Ich würde erstmal das x_c in die Funktion einsetzten und damit dann das f(x_c) ersetzen.

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~(4x-x^2-(4x_c-x_c^2))~dx =(2-x_c)\cdot (4x_c-x_c^2) + \int_{0}^{x_c}~(4x-x^2)~dx \end{eqnarray*}$

Und dann nach Xc auflösen. Könnte allerdings auch bessere Methoden geben, da bin ich überfragt.

04.09.2008, 16:45

Rudi

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also ich hab das nun gerechnet und bin jetzt hier : $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}x_c^4 + \frac{7}{3}x_c^3 - 2x_c^2 - 8x_c + \frac{16}{3} =0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht ob ich mich verrechnet habe .. verwirrt

verwirrt

04.09.2008, 17:59

AD

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Sieht irgendwie furchtbar kompliziert aus, eure Organisation der Rechnung. Die ist aber soweit fortgeschritten, da will ich erstmal nicht reinreden. Zur Kontrolle hier aber schon mal das Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} c = 4-2\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ mit zugehörigem $\begin{eqnarray*} x_c = 2-\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$ ..

04.09.2008, 18:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rudi
also ich hab das nun gerechnet und bin jetzt hier : $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}x_c^4 + \frac{7}{3}x_c^3 - 2x_c^2 - 8x_c + \frac{16}{3} =0 \end{eqnarray*}$

Ich kann mir nicht vorstellen, daß da ein Term mit $\begin{eqnarray*} x_c^4 \end{eqnarray*}$ entsteht.

04.09.2008, 18:38

Calvin

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Zitat:

Original von Rudi
achso logisch , das Rechteck müsste $\begin{eqnarray*} (2-x_c)\cdot f(x_c) \end{eqnarray*}$ groß sein

Vergiss meinen Ansatz mit dem Rechteck. Ich bin wohl etwas aus der Übung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die untere Fläche kannst du quasi ignorieren.

Yoshee hat den entscheidenden Hinweis für eine einfache Lösung gegeben. Bezüglich der oberen Fläche schreibt er

Zitat:

Original von Yoshee
du weißt, dass es die halbe Fläche der Funktion im Intervall [0,2] ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Hilft dir das schon?

04.09.2008, 22:20

Rudi

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Achso ok

also muss ich folgendermaßen rechnen :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-f(x_c)~dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-(4x_c-x_c^2)~dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$

oder ?

//Edit: Habe es mal ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-(4x_c-x_c^2)~dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [2x^2 - \frac{1}{3}x^3 - 2x_c^2 + \frac{1}{3}x_c^3]_{x_c}^{2} = \frac{1}{2} [2x^2-\frac{1}{3}x^3] _{0}^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 4x_c^2 + \frac{2}{3}x_c^3 - (2x_c^2 -\frac{1}{3}x_C^3 -2x_c^3 + \frac{1}{3}x_c^4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}x_c^4 + 3x_c^3 - 6x_c^2 + \frac{8}{3} =0 \end{eqnarray*}$

sieht mir auch bissi kompliziert aus ..

04.09.2008, 22:31

klarsoweit

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Ja. Irgendwie hatte ich das auch übersehen. Hammer

Hammer

04.09.2008, 22:38

Rudi

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habe eben noch was bei mir dazu editiert ...

05.09.2008, 04:49

Airblader

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Vergiss mal nicht, dass die Summanden mit x_c im Integranden konstant sind.
Du kannst die nicht einfach nach x_c integrieren, sondern ebenfalls nach x.

Und darum ist der konstante Teil so zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int~-(4x_c-x_c^2)~\dd x = -x \cdot (4x_c - x_c^2) \end{eqnarray*}$

air

05.09.2008, 13:00

Rudi

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da komm ich dann auf dass :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-(4x_c-x_c^2)~dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{x_c}^{2}~4x-x^2-4x_c+x_c^2~dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}~4x-x^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [2x^2- \frac{1}{3}x^3 - 4xx_c + xx_c^2 ]_{x_c}^{2} = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2 \cdot x_c + 2 \cdot x_c^2 - (2x_c^2 - \frac{1}{3}x_c^3 - 4x_c \cdot x_c + x_c \cdot x_c^2 ) = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3} - 8x_c + 2x_c^2 - 2x_c^2 + \frac{1}{3}x_c^3 + 4x_c^2 - x_c^3 = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3}x_c^3 +4x_c^2 - 8x_c +\frac{8}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie mach ich nun weiter ? Nullstelle raten ?

05.09.2008, 13:20

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Leider gibt es keine "schöne" Nullstelle. Du kannst die Nullstelle im Intervall [0; 2] nur mit einem Näherungsverfahren bestimmen. Da ich in der Rechnung auch keinen Fehler finde, stellt sich die Frage an den Aufgabensteller, ob es überhaupt eine "glatte" Lösung gibt.

05.09.2008, 13:22

AD

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Ich denke schon, dass es hier eine glatte Lösung gibt. Hab jetzt allerdings eure Rechnung nicht im Detail nachvollzogen.

05.09.2008, 13:27

Rudi

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also bis jetzt kenne ich noch keine Näherungsverfahren .. mit dem Taschenrechner bekomme ich als Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_c = 0,412598948 \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 13:31

AD

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Schreiben wir es mal etwas um:

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{2}{3}x_c^3 +4x_c^2 - 8x_c +\frac{8}{3} = -\frac{2}{3} \left( x_c^3 -6x_c^2 +12 x_c -4 \right) = -\frac{2}{3} \left( (x_c-2)^3+4 \right) \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 13:39

Rudi

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Ok dann kann ich ja jetzt so vorgehen :

$\begin{eqnarray*} (x_c-2)^3 + 4= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_c-2)^3 = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_c-2= -\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_c= -\sqrt[3]{4} +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_c = 0,4126 \end{eqnarray*}$

//Edit: Dann dürfte das ja die Lösung sein ! Dann danke ich mal Jedem der hier geholfen hat !

05.09.2008, 13:50

AD

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Natürlich ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösung, nicht Hilfsgröße $\begin{eqnarray*} x_c \end{eqnarray*}$ ...

05.09.2008, 13:51

Rudi

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jo ist logisch somit ist $\begin{eqnarray*} c= 1,48 \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 13:55

AD

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Wurzeln sind nicht dein Ding, was? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} c= 4-2\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 20:53

astride

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moment mal, ich hab die selbe aufgabe zu machen hier und lösungen gesucht.
aber geht es in der aufgabe nicht darum, die fläche die jeweils zwischen der c-gerade und dem graphen f liegt auszurechnen ? das bedeutet doch in diesem falle, dass man rechts von c die fläche unter dem graphen von f , und links von c die fläche über dem graphen von f bestimmen muss.

wo kann man denn da ein rechteck ziehen ? das macht doch keinen sinn oder hab ich die aufgabe falsch verstanden ?

EDIT von Calvin
Plot korrigiert

05.02.2012, 23:59

wangxta

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HI Astride,

ja, du hast Recht.

Die haben alle einen Punkt auf der y-Achse für eine waagerechte Gerade gesucht, der die Fläche der Parabel von a bis b in 2 gleich große Flächen teilt.

Was du geschrieben hast stimmt. Und am besten berechnest du das mit dem Mittelwert aus.

Ist eigentlich ganz simple 1/2-0 * Integral f(x) dx= 8/3.

Mein c ist also 8/3.

Ich nehme an, dass die User die Aufgabe überflogen haben und deshalb diesen Fehler gemacht haben. a, b und c grenzen die Flächen ein und nicht die Achsen.

lg der neue
wangxta

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