Eigenwerte und Eigenvektoren

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03.06.2006, 20:19	AR	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren Hey Leute! Auf meinem übungsblatt habe ich folgende aufgabe stehen. Gegeben sei die Matrix A = cos(phi) -sin(phi) sin(phi) cos(phi) mit 0<phi<2 pi Berechnen sie die eigenwerte und eigenwerte als funktion des drehwinkels phi. Als eigenwerte hab ich rausbekommen. x1=cos(phi) + i * sin(phi) x2=cos(phi) - i * sin(phi) Da ich allerdings im Umgang mit komplexen Zahlen nicht sonderlich fit bin, ist es mir nicht gelungen dieses gleichungssystem zu lösen i sin(phi)a- sin(phi)b =0 sin(phi)a + i sin(phi)b =0 Könnt ihr mir dabei helfen? Danke!
04.06.2006, 12:00	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte sind richtig. Ich weiß zwar nicht, wie du auf dieses Gleichungssystem kommst, aber für $\begin{eqnarray} \varphi\neq \pi \end{eqnarray}$ kann man den sinus mal wegkürzen, da er da nicht 0 ist, vielleicht hilft dir das. mfG 20
04.06.2006, 12:43	AR	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Das gleichungssystem habe ich deswegen aufgestellt, da ich die einzelnen komponenten des eigenvektors rauskriegen möchte. Ich dachte also, dass man nun den eigenwert für lambda in die matrix einsetzt und diese dem nullvektor gleichsetzt. Daraus sind dann die komponenten zu errechnen. Das problem, das ich habe ist der umgang mit komplexen zahlen. ich weiß also nicht wirklich, wie ich diese aufgabe zu ende bringen soll. für ein paar tips wäre ich sehr dankbar! mfg, AR
04.06.2006, 15:10	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Bei diesem Gleichungssystem (wie das zustande kommt, müsstest du noch erklären: welchen EW hast du benutzt und wie gerechnet?) kannst du einen Parameter frei wählen, zB b=1. Den anderen Parameter a kannst du dann ausrechnen. Mit komplexen Zahlen rechnet sich dabei nicht anders als mit reellen Zahlen, zu beachten ist zB: $\begin{eqnarray} i^2 = -1,~ \frac{1}{i} = -i \end{eqnarray}$ . Grüße Abakus
05.06.2006, 03:23	AR	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor naja, eigenwert lautet cos(phi)+i sin(phi) in die matrix für lambda eingesetzt: a11: cos(phi)-(cos(phi)+i sin(phi) =- i sin(phi) a21: sin(phi) a12: -sin(phi) a22: cos(phi)-(cos(phi)+ i sin(phi) =- i sin(phi) der zweite eigenwert: cos(phi)-i sin(phi) a11: cos(phi)-(cos(phi) - i sin(phi) = i sin(phi) a21: sin(phi) a12: -sin(phi) a22: cos(phi)-(cos(phi) - i sin(phi)= i sin(phi) Ist das soweit richtig?
05.06.2006, 14:17	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Ich fasse mal zusammen (mit Latex wird das übersichtlicher): Für den Eigenwert $\begin{eqnarray} \cos(\phi)+i \sin(\phi) \end{eqnarray}$ erhalten wir: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -i \sin \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & -i \sin \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den Eigenwert $\begin{eqnarray} \cos(\phi) - i \sin(\phi) \end{eqnarray}$ erhalten wir: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} i \sin \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & i \sin \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die Eigenvektoren zu kriegen, sind diese LGS zu lösen (wie gesagt, einen Parameter kannst du frei wählen jeweils). Grüße Abakus
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05.06.2006, 14:50	AR	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Okay. Ich habs mal versucht. Für den Eigenwert $\begin{eqnarray} cos(\phi)+i sin(\phi) \end{eqnarray}$ hab ich diesen Eigenvektor $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für den Eigenwert $\begin{eqnarray} cos(\phi)-i sin(\phi) \end{eqnarray}$ erhalte ich diesen Eigenvektor $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das so stimmt, wenn ja, dann bedanke ich mich schon mal bei dir.
05.06.2006, 15:35	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Soweit ok. Für $\begin{eqnarray} \phi = 0~\mbox{oder}~ \pi \end{eqnarray}$ würde ich noch eine Fallunterscheidung machen, weil du hier reelle EW und EV bekommst und die Rechnung noch etwas anders ist. Grüße Abakus EDIT: Latex
05.06.2006, 15:59	AR	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor das wäre dann eigentlich nur $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für beide Eigenvektoren da $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ den Sinus $\begin{eqnarray} null \end{eqnarray}$ werden lassen und somit alles frei wählbar wird. wobei laut der aufgabenstellung durch $\begin{eqnarray} 0<\phi<2\pi \end{eqnarray}$ nur Pi relevant sein dürfte?! Gruß, andreas
05.06.2006, 16:22	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor Ja, dann wäre es eine Drehung um 180 Grad und jeder Vektor ist EV zum EW -1. Grüße Abakus

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