Focus -Matheaufgaben

04.06.2006, 14:25

Mickey

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Focus -Matheaufgaben

Hey,Leute..
im Focus sind ein paar Matheaufgaben vom Professor Ziegler,nun mal eine Aufgabe wo ich Hilfe benötige....

"Bestimme die Erste Vorkommastelle der Zahl $\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006} \end{eqnarray*}$

wie gehe ich denn an so eine aufgabe ran?

04.06.2006, 14:40

Leopold

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Ist denn ein Taschenrechner erlaubt oder muß das theoretisch ermittelt werden? Im ersten Fall wende auf

$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{5} + \sqrt{2} \right)^{2006} = a \cdot 10^{1128} \end{eqnarray*}$

den dekadischen Logarithmus an und berechne $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

04.06.2006, 14:42

Mickey

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aso,da steht gar keine angabe,aber ich denke doch mal dass es ohne taschenrechner ist,weil mit ist es wirklich kein problem,dass schaffe ich dann schon selbst,nur wie geht das ganze ohne rechner wäre mein problem

04.06.2006, 15:20

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{5} + \sqrt{2} \right)^{2006} = a \cdot 10^{1128} \end{eqnarray*}$

Also ich verstehe unter der "ersten Vorkommastelle" die Stelle mit der Wertigkeit $\begin{eqnarray*} 10^0 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

Wieder einmal eine nicht eindeutig formulierte Aufgabe...

04.06.2006, 15:35

Abakus

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Ja, nicht ganz eindeutig die Aufgabe. Eine weitere Möglichkeit wäre die Stelle mit der Wertigkeit $\begin{eqnarray*} 10^1 \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Taschenrechner geht es nicht so einfach, bei normalem Eintippen meldet der einen Overflow. Das soll hier vielleicht die Schwierigkeit sein.

Ich denke demnach, Taschenrechner ist erlaubt und vermutlich ist die führende Dezimalstelle gemeint, die ermittelt werden soll.

Grüße Abakus smile

smile

04.06.2006, 15:50

mickey

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ok,soweit gut,aber ich hab nochmal nachgeschaut und muss eingestehen dass der formulierungsfehler wohl doch eher von mir kam,original lautet der text:

"...bestimme die erste Stelle vor und nach dem Komma der Zahl..."

also wohl eher doch dass was die Wurzel gemeint hat weiter oben in seinem post..
aber leider hilft mir hier auch nicht der taschenrechner weiter,ich habe keine idee wie man sowas bestimmen soll,wisst ihr vllt mehr?

Grüße,
Mikael

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05.06.2006, 09:23

Mickey

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hat keiner eine idee von der aufgabe,ist sie so schwer?
oder habt ihr den letzten post von mir nur noch nicht gesehen?
würde mich echt freuen,wenn vllt noch irgendjemand ne idee oder einen tipp hat wie man die aufgabe geknackt bekommt.

Mikael

05.06.2006, 13:14

hodgesaargh

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nee, ich habe sowas versucht wie exponenten halbieren und binomische formel anwenden, aber damit kommt auf keinen grünen zweig, weil die terme a^2+2ab+b^2 auch immer unüberschaubarer werden (obwohl sich natürlich einige wurzeln wegheben), ich kann dir also "nur" das ergebnis anbieten:

1,063365159902268663500651680015*10^1128

05.06.2006, 13:23

rain

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ich denke wenn überhaupt geht dass irgendwie über das Binär system,weil man dann ja sehen kann wie viele "10° -er" enthalten sind,allerdings habe ich nicht den geringsten Plan wie man dass anstellen soll... Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2006, 13:23

Gauß

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2000 Stellen der Zahl mit Maple

code:

1:

1.0633651599022686635006516800150137274360528250071994062637127414582499153955216596093133649796167336190951601463223903385814387288523649664318562736776440567807667152507316750162197973117364699295683858474855233781587470857439078621191843555572332016721477305946026633116889960455561010998575611530159600566938050089793019028568509627332078211352480173587738380769568749858025220404196741188562184082339650126682614734456629809649553035282481623682582512346618579749805696627401795783374146414880738525601768909657360049412902362985955942767538788644146119792476529550380035920030980845716359829457499026928450297274710770481167259847412618451742278928864001221873001162958674530597658516000046085049456935897903128029750586669441276343961178907871768011708179096060833511492353608861712141072072586692270466006394781917545154303900207998928366816871490813150644029544368200883445851261657118926346747645646528165586484446568800518012550278333087106144694136475400209328353045763913225936983951070679920354563945167134893762022787401369364075626618727745694270059193493642877675460027472914075603864063804921892370263412490023659999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999988017304021669080142470661793013752919208258055350086086864449459512530022969532167240281595663964454963185994672484019313571744060397115549950911132911833085080816360267719439018349290733836128542400991228167089927301366134089915271973702029566679786361287281523949129058002412401548293670204133878158216247483319209192002254582155394341794610191649449615406462493629818214679179874625318345649121982104140711933628370290726432226681484756188131249281908879254529396674617807553172748688947965936100914583065375243386099421066643201813664514749995888761048883989699727195779596741079894529560264155826571938085812986594240793546249790336544181535644865844406890084085406418775542316001564508098920899*10^1128

05.06.2006, 13:30

rain

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danke,sehr sinnvoller beitrag... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2006, 16:36

cocco

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@dual space:
ausm focus

@ben sisko:
sorry,
1.thread nicht gesehen da ich nur in Höhere Mathematik geschaut habe
2.scheint ja nicht gerade von antworten zu wimmeln..

07.06.2006, 16:44

AD

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Gehen wir mal davon aus, dass kein Taschenrechner zur Verfügung steht. Zunächst mal sollte nach binomischen Satz klar sein, dass

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006} + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2006} \end{eqnarray*}$

eine ganze Zahl ist, konkret

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006} + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2006} = 2\sum_{k=0}^{1003} {2006 \choose 2k} \cdot 5^{1003-k}\cdot 2^k\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Weiterhin beachte man, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{5}-\sqrt{2}<0.9 \end{eqnarray*}$ ist, somit lässt sich auch über $\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2006} \end{eqnarray*}$ einiges zur ersten Nachkommastelle sagen...

Schließlich muss man noch (*) modulo 10 betrachten und kriegt was über die erste Vorkommastelle raus.

07.06.2006, 16:48

cocco

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wow,das ging aber flott..
ok,ich denke ich verstehe deinen gedanken schon,nur ich dachte nicht dass in einem Focus solche matheaufgaben drinnen stehen..

wieso kannst du so eine aufgabe im handumdrehen lösen?
bist du professor,arbeitest du an einer uni oder wiesO?
ps:rein interresse halber die fragen...

Gruß,
Konrad

07.06.2006, 16:50

AD

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Das ist pures Genie. Big Laugh

Big Laugh

07.06.2006, 16:51

cocco

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klar,also willst du nicht rausrücken auf meine fragen?

07.06.2006, 16:59

AD

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Hab ich längst, aber das kannst du nicht wissen, da du neu hier im Board bist. smile

smile

Ich ordne deine Aufgabe mal ganz allgemein in diese Kategorie ein, und da habe ich einschlägige Erfahrung.

07.06.2006, 17:09

cocco

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ahja,erfolgreicher teilnehmer bei olympiaden?
auhc mal an der IMO teilgenommen?

als was arbeitest du/sie denn?

Grüße,
Coco

07.06.2006, 17:13

AD

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1.Ja.
2.Ja.
3.Mathematiker in der Forschungsabteilung eines Industrieunternehmens (Name wird nicht verraten).

07.06.2006, 17:45

cocco

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name ist auch unwichtig,geht nur um die berufssparte..
danke

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