Positiv Definitheit

05.06.2006, 11:59

Marion

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Positiv Definitheit

Hallo zusammen,

habe hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe und einen Ansatz brauche! Ich bitte um Hilfe! Danke im Voraus. Also:

Sei B \in M(nxn)(\mathbb R ). Zeige, dass die Bilinearform \gamma: \mathbb R^n \Rightarrow \mathbb R^n, (x,y) abgebildet auf transponiert(x) * transponiert(B) * B *y symmetrisch ist. Sie ist genau dann positiv definit, wenn B invertierbar ist.

05.06.2006, 12:03

Marion

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Das hat irgendwie nicht so funktioniert wie ich das wollte! Also nochmal:

Sei B in M(nxn)(R). Zeige, dass die Bilinearform gamma: R^n x R^n -> R, (x,y) abgebildet auf x(transponiert) * B(transponiert) * B * y symmetrisch ist. Sie ist genau dann positiv definit, wenn B invertierbar ist. ... ich hoffe, dass ist verständlicher! ...

05.06.2006, 12:44

JochenX

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um Latexcode umzuwandeln musst du Latextags setzen

code:
1:	[latex].......[/latex]

so sollte das aussehen, dann wird .... umgewandelt.
Bitte schreibe noch mal neu.

Geometrie sehe ich da auch nicht *verschoben*

05.06.2006, 12:53

Marion

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$\begin{eqnarray*} Sei B \in M(n\timesn) (\mathbb R ). Zeige, dass die Bilinearform \gamma: \mathbb R ^(n) \times \mathbb R ^(n) \Rightarrow \mathbb R , (x,y) abgebildet auf (transponiert)x * (transponiert)B * B * y symmetrisch ist. Sie ist genau dann positiv definit, wenn B invertierbar ist. \end{eqnarray*}$

05.06.2006, 12:54

Marion

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$\begin{eqnarray*} Sei B \in M(n\times n) (\mathbb R ). Zeige, dass die Bilinearform \gamma: \mathbb R ^(n) \times \mathbb R ^(n) \Rightarrow \mathbb R, \\ (x,y) abgebildet auf (transponiert)x * (transponiert)B * B * y symmetrisch ist. Sie ist genau dann positiv definit, wenn B invertierbar ist. \end{eqnarray*}$

edit Jochen:
Zeilenumbruch gemacht, das hat ja jede Zeilenbreite gesprengt!

05.06.2006, 13:06

JochenX

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Zitat:

fast Original von Marion
Sei $\begin{eqnarray*} B \in M(n\times n) (\mathbb R ). \end{eqnarray*}$ Zeige, dass die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \gamma: \mathbb R ^{(n)} \times \mathbb R ^{(n)} \Rightarrow \mathbb R , (x,y) \end{eqnarray*}$ abgebildet auf $\begin{eqnarray*} x^t * B^t * B * y \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist. Sie ist genau dann positiv definit, wenn B invertierbar ist.

Bitte keinen Text in Latex setzen!
Ich habe mal die entsprechenden Passagen ausgeklammert......
statt "transponiert" schreibe besser ^t oder ^T
längere Exponenten (wie z.B. bei R^(n)) schreibst du in {..}, eineichige Exponenten (wenn du nur R^n geschrieben hättest) brauchen keine.

Was bedeuten denn "Symmetrie" und "positive Definitheit"?
Symmetrie ist hier nicht schwer zu seigen, beachte, dass dein Ergebnis ein Skalar ist..

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05.06.2006, 13:23

Marion

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Danke erstmal für die Tipps! ... du, ich war die letzte Woche krank und war deswegen nicht in der Vorlesung! ... d.h. ich weiß nicht was das bedeuten soll! ... ich wär Dir wirklich dankbar, wenn du mir zeigst wie die Aufgabe geht und ich das nachvollziehen kann ...

05.06.2006, 13:30

JochenX

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Dann frag deine Freunde, bzw. das Skript, bzw. Wikipedia erst mal nach den grundlegenden Begriffen (Symmetrie, positive Definitheit), vorher kannst du die Aufgabe nicht angehen.

Als Tipp für die Symmetrie sei noch genauer gesagt: man kann Skalare transponieren. smile

smile

Und jetzt geh nachlesen, was die Begriffe heißen.

05.06.2006, 14:40

Marion

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Also ... symmetrisch heißt ja im Enddefekt, wenn B (die Matrix) reelle Eigenwerte hat und diagonalisierbar ist. Soll das etwa heißen, dass ich die n x n - Matrix diagonalisieren soll und dann zeige, dass es reelle Eigenwerte gibt oder wie? ... außerdem heißt symmetrisch noch, dass: <v,w>=<w,v>. positiv definit heißt, dass <v,v> > 0 ist! ... Das Problem ist jetzt aber nur, dass ich kein v und kein w gegeben habe! ... was jetzt ???

05.06.2006, 14:54

JochenX

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Zitat:

außerdem heißt symmetrisch noch, dass: <v,w>=<w,v>

das ist, was du hier brauchst.

Zitat:

Das Problem ist jetzt aber nur, dass ich kein v und kein w gegeben habe! ... was jetzt ???

es soll ja auch für alle v,w gelten.

Den Tipp zur A habe ich dir ja schon gegeben.
Das Ergebnis ist ein Skalar a, für den gilt a=a^t (Transponieren eines Skalars).
Rechne mal zu fest gewählten v,w diese Transponierte aus...

05.06.2006, 15:02

Marion

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Ja, da kommt doch einfach statt Zeile eine Spalte raus, die die gleichen Zahlen bzw. Buchstaben hat!

05.06.2006, 18:45

JochenX

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Es ist kein Vektor sondern ein SKALAR, das habe ich schon x-mal gesagt.
Insbesondere ist ein Skalar transponiert der gleiche Skalar.

Aber der Reihe nach:
was sollst du denn genau zeigen?

05.06.2006, 21:51

Marion

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Ja ich soll zeigen, dass diese Bilinearform symmetrisch ist!

06.06.2006, 00:10

JochenX

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und was bedeutet das in zu rechnenden (bzw. zu zeigenden) Formeln?

was bedeutet denn Symmetrie? f(u,v)=f(v,u) [ich nenn die Abb. mal f]
setz das mal ein uns schreibe hin, wie die zu zeigende "Matrizengleichung" aussieht.

06.06.2006, 13:18

Marion

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Ich kann das nicht!

06.06.2006, 13:22

JochenX

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Zitat:

setz das mal ein uns schreibe hin, wie die zu zeigende "Matrizengleichung" aussieht.

also DAS kannst du ganz sicher, weil da gehts bislang nur um hinschreiben, was zu zeigen ist

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