Abbildungsmatrix angeben

05.09.2008, 21:13

zwergnase

Abbildungsmatrix angeben

Also ich habe die kanonische Basis: $\begin{eqnarray*} (1,t,t^2,\dots,t^n) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_n =\{\lambda_0 +\lambda_1\cdot t + \dots + \lambda_n \cdot t^n | \lambda_i \in \mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \text{Körper} \end{eqnarray*}$ gegeben und die Abbildung: $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3 \rightarrow \mathcal{P}_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t) \mapsto (2-t)\cdot f(t) \end{eqnarray*}$
Dafür möchte ich die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der linearen Abbildung bestimmen.

Also es gilt im Allgemeinen: $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \mapsto A\cdot x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in M(m \times n, \mathbb{K}) \end{eqnarray*}$

Ich habe Problem die Abbildungsvorschrift richtig zu interpretieren und sie richtig aufzuschreiben, bei mir würde für die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} f(t_1) = 1 \mapsto (2-t) \cdot 1 = 2 -t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t_2) = t \mapsto (2-t) \cdot t = 2t -t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t_3) = t^2 \mapsto (2-t) \cdot t^2 = 2t^2 -t^3 \end{eqnarray*}$

(Ich hoffe man versteht mit dieser Schreibweise was gemeint ist)

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow x \mapsto \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot x \end{eqnarray*}$

Gruß Wink

05.09.2008, 21:47

Romaxx

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Hallo,

du bildest also vom Vektorraum der Polynome zweiten und kleineren Grades in den Vektorraum der Polynome dritten und kleineren Grades ab.
Deine Basen bzgl. dieser Vektorräume sind kanonisch.

Die Sache

$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \mapsto (2-t) \cdot 1 = 2 -t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t) = t \mapsto (2-t) \cdot t = 2t -t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t^2) = t^2 \mapsto (2-t) \cdot t^2 = 2t^2 -t^3 \end{eqnarray*}$

mit dieser Abbildungsvorschrift

$\begin{eqnarray*} \psi:\mathcal{P}_3 \rightarrow \mathcal{P}_4: f(t) \mapsto (2-t)\cdot f(t) \end{eqnarray*}$

stimmt soweit.

Nun musst du doch nur noch die Bilder der Basiselemente als Linearkombination der kanonischen Basis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_4 \end{eqnarray*}$ schreiben, und die Koeffizienten der Linearkombination als Spalte in die Matrix $\begin{eqnarray*} A_{\psi} \end{eqnarray*}$ eintragen. Für das erste Basiselement und die erste Spalte deiner Matrix $\begin{eqnarray*} A_{\psi} \end{eqnarray*}$ hast du das beinahe richtig gemacht, schau dir aber nocheinmal die Linearkombination und die anderen beiden Spalten an.

Gruß

05.09.2008, 22:02

zwergnase

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RE: Abbildungsmatrix angeben
Hallo Romaxx,
ach ich sehe was ich vergessen habe, dummer Fehler auf meinem Zettel stand es richtig. Ich habe bloß ein $\begin{eqnarray*} 3 \times 3 \end{eqnarray*}$ aber es muss ja $\begin{eqnarray*} 4 \times 3 \end{eqnarray*}$ Matrix sein.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß Wink

05.09.2008, 22:18

Romaxx

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In Ordnung. Freude

05.09.2008, 22:22

zwergnase

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Danke, das du kurz darüber geschaut hast.

Schönen Abend!

05.09.2008, 22:25

Romaxx

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Achso, mir ist gerade noch etwas aufgefallen.

Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3 \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Polynome dritten und kleineren Grades gemeint und mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_4 \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der Polynome vierten und kleineren Grades.
D.h. im ersten Fall hast du vier Basiselemente die du abbilden musst und im zweiten Fall fünf, mit denen du die Bilder der Basiselemente ausdrücken musst. Also müsste eine $\begin{eqnarray*} 5 \times 4 \end{eqnarray*}$ Matrix entstehen.

05.09.2008, 22:42

zwergnase

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Zitat:

Original von Roman Föll
Achso, mir ist gerade noch etwas aufgefallen.

Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3 \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Polynome dritten und kleineren Grades gemeint und mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_4 \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der Polynome vierten und kleineren Grades.
D.h. im ersten Fall hast du vier Basiselemente die du abbilden musst und im zweiten Fall fünf, mit denen du die Bilder der Basiselemente ausdrücken musst. Also müsste eine $\begin{eqnarray*} 5 \times 4 \end{eqnarray*}$ Matrix entstehen.

Wieso vier und fünf? Z.B für $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}3 \end{eqnarray*}$ benötige ich doch nur drei Elemente um eine Basis anzugeben. Ist doch so wie im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , da reichen auch drei Elemente für eine Basis.

05.09.2008, 22:45

tigerbine

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Der Index verleiten bei Polynomvektorräumen zu falschen Annahmen über die Dimension

$\begin{eqnarray*} \Pi_n \end{eqnarray*}$ , Vektorraum der Polynome vom Maximalgrad n hat die Dimension (n+1). Es ist eine Basis $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,...,x^n\} \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 22:49

Romaxx

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_n =\{\lambda_0 +\lambda_1\cdot t + \dots + \lambda_n \cdot t^n | \lambda_i \in \mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$

Schau dir mal diese Defintion an.

Dann gilt :

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3=\{\lambda_0\cdot 1 +\lambda_1\cdot t+ \lambda_2 \cdot t^2+ \lambda_3 \cdot t^3| \lambda_i \in \mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$

Und die kanonische Basis davon ist:

$\begin{eqnarray*} B= \{1,t,t^2,t^3\} \end{eqnarray*}$

Also vier Basiselmente für $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3 \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 22:55

zwergnase

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Danke ihr beiden,

die drei bei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_3 \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf den Index. Verstehe!

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