Konvergenz von Reihen

05.06.2006, 19:46

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz von Reihen

Hallo

Wink

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz (Konvergenzbereichsintervall)

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n}{2n-1} (\frac{x}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Ich bin Anfänger. Habe mir gerade alle Kriterien angeschaut und soweit verstanden.

Trotzdem weiss ich nicht wie ich jetzt daran gehen soll. Gibt es irgendwelche Indikatoren welches Kriterium man benutzen soll ?

und ist das jetzt eine geometrische oder eine Potenzreihe ? (irgendwie hab ich den Unterschied noch nicht verstanden)

Was brauch ich sonst noch für Vorkenntnisse um solche Aufgaben lösen zu können ?

Grüße

05.06.2006, 19:54

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

also so wies dasteht isses weder eine geometrisch noch eine potenzreihe.

x^2/4 ist ja ein konstanter faktor, den du auch vorziehen kannst, somit hast du lediglich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n}{2n-1} \end{eqnarray*}$ das du untersuchen musst.

05.06.2006, 20:58

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

So muss es lauten:
1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n}{2n-1} (\frac{x}{2})^n \end{eqnarray*}$

05.06.2006, 22:43

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal einfach das QK genommen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{(n+1)\cdot(2n-1)\cdot x^{n+1}\cdot 2^n}{(2\cdot(n+1)-1)\cdot n\cdot x^n\cdot 2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

?

05.06.2006, 22:43

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{2n^1} \end{eqnarray*}$

05.06.2006, 22:46

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine:
$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{(2n^2+1)2} \end{eqnarray*}$

Anzeige

06.06.2006, 10:54

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

kann mir bitte jemand ein par Tips geben

06.06.2006, 13:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo klemmt's denn jetzt? Wie lautet denn die Bedingung des Quotientenkriteriums?

PS: Und wenn du registrierst wärest, könntest du auch deine Beiträge editieren und müßtest nicht immer einen neuen Post hinten dranhängen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.06.2006, 14:19

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingung lautet: $\begin{eqnarray*} =\frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{(2n^2+1)2} < 1 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert die Reihe...
Ist das kleiner 1 ?
Wie berechnet man dann den Konvergenzbereichsintervall ?
Woran sieht man denn welches Kriterium zu nutzen ist ?
Grüße

06.06.2006, 14:22

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Carmen
Die Bedingung lautet: $\begin{eqnarray*} =\frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{(2n^2+1)2} < 1 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert die Reihe...
Ist das kleiner 1 ?

Na dann bilde doch erstmal den Grenzwert davon für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , worauf wartest du?

06.06.2006, 14:47

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Carmen
Die Bedingung lautet: $\begin{eqnarray*} =\frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{(2n^2+1)2} < 1 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert die Reihe...
Ist das kleiner 1 ?

Na dann bilde doch erstmal den Grenzwert davon für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , worauf wartest du?

Ich weiss nicht wie man den ausrechnet verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n^2 - n + 2n - 1)\cdot x}{(2n^2+1)2} \end{eqnarray*}$

Ich dachte man kann das so ablesen bei solchen Aufgaben.

06.06.2006, 14:53

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss erst mal das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h., trenne es ab. Wie groß ist denn

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n^2 - n + 2n - 1}{(2n^2+1)2} \end{eqnarray*}$

sowas musst du doch schon mal gesehen haben, wenn du dich mit Folgen und Reihen beschäftigst?

10.06.2006, 13:54

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Vergiss erst mal das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h., trenne es ab. Wie groß ist denn

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n^2 - n + 2n - 1}{(2n^2+1)2} \end{eqnarray*}$

sowas musst du doch schon mal gesehen haben, wenn du dich mit Folgen und Reihen beschäftigst?

Soo... Ich habs mir nochmal alles angeschaut... Ich müsste dann zweimal die Regel von L'Hospital anwenden:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n^2 - n + 2n - 1}{(2n^2+1)2} = \frac{4n+1}{8n} =\frac{4}{8} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet die Reihe konvergiert Tanzen

Tanzen

Wie bekomme ich jetzt den Kovergenzbereichsintervall raus und was genau ist das ?

10.06.2006, 17:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Carmen
Soo... Ich habs mir nochmal alles angeschaut... Ich müsste dann zweimal die Regel von L'Hospital anwenden:

Warum mit Kanonen auf Spatzen schießen? Kürze in $\begin{eqnarray*} \frac{2n^2 - n + 2n - 1}{(2n^2+1)2} \end{eqnarray*}$ durch n² und bilde dann den Grenzwert. Das Ergebnis 4/8 bzw. 1/2 ist ok.

Zitat:

Original von Carmen
Wie bekomme ich jetzt den Kovergenzbereichsintervall raus und was genau ist das ?

Da war noch das x in dem ursprünglichen Term und eigentlich auch Betragsstriche. Zusammengefaßt haben wir also | x/2 | als Grenzwert. Laut Quotientenkriterium müßte für Konvergenz der Reihe ein q < 1 existieren, so daß $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid < q \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n_0. (Deine Formulierung des Quotientenkriteriums ist unsauber und daher im Grunde falsch.) Wenn nun der Grenzwert g von $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid \end{eqnarray*}$ < 1 ist, dann gibt es in der Tat ein derartiges q und n_0. Zu klären wäre jetzt also noch, für welche x der Grenzwert | x/2 | kleiner 1 ist. Und genau das ist der Konvergenzradius.

10.06.2006, 17:15

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke!... also wär der Konvergenzradius (-2,2)

10.06.2006, 17:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Das ist jetzt das Konvergenzintervall. Für den Radius nimmt man die halbe Intervalllänge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.06.2006, 17:33

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern

noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)^2}{n} \end{eqnarray*}$

Da habe ich das die konvergiert und der KB ist $\begin{eqnarray*} (1,3) \end{eqnarray*}$
In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} [1,3) \end{eqnarray*}$
Kann mir einer sagen warum ?

10.06.2006, 17:34

carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Carmen
Augenzwinkern

Augenzwinkern

noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)^2}{n} \end{eqnarray*}$

Da habe ich das die konvergiert und der KB ist $\begin{eqnarray*} (1,3) \end{eqnarray*}$
In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} [1,3) \end{eqnarray*}$
Kann mir einer sagen warum ?

Das war die Aufgabe: Hammer

Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)^n}{n} \end{eqnarray*}$

10.06.2006, 18:20

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Problem: unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2^n} \cdot x^n=\frac{x^n}{2^n} \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \sqrt[n]{\frac{x^n}{2^n} \cdot n^2}| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }|\sqrt[n]{\frac{x^n}{2^n}} \cdot \sqrt[n]{n^2}| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }|\frac{x}{2} \cdot n^{\frac{2}{n}}|<1 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }n^{\frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ ist zwar $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Aber er bleibt immer $\begin{eqnarray*} > 1 \end{eqnarray*}$ .

Also divergiert die Reihe und es gibt kein Konvergenzradius oder ?

11.06.2006, 00:22

Carmen

Auf diesen Beitrag antworten »

Gugt ihr alle Fußball ? Big Laugh

Big Laugh

Hab noch par Probleme: unglücklich

unglücklich

d) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~n^n\cdot x^n \end{eqnarray*}$
WK:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^n \cdot x^n}<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}n \cdot x < 1 \end{eqnarray*}$

Also divergiert die Reihe nicht.. oder wie macht man das dann ? In der Lösung steht aber ein KB von $\begin{eqnarray*} (1,3] \end{eqnarray*}$ .
Was soll das mit der eckigen Klammer ? Wie kommt man auf "eckig anstatt "rund" ?

e) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~\frac{(2x-3)^n}{n}(-1)^n \end{eqnarray*}$

Komm ich für den KB auf $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ . Richtige Lösung ist aber $\begin{eqnarray*} (1,2] \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

f) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~\frac{n}{(n+1)^n} \cdot x^n \end{eqnarray*}$
WK:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)^n}} \cdot \sqrt[n]{x^n} < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{n+1}\cdot x \end{eqnarray*}$

KB-Berechnung:
1. Fall:
$\begin{eqnarray*} -x<1 \Rightarrow x>1 \end{eqnarray*}$

2. Fall:
$\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

Also: Konvergenzintervall: $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung ist aber $\begin{eqnarray*} 1) \mathbb R \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

11.06.2006, 01:05

Pr0

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich Fussball smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »