Invertierbarkeit einer Matrix

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Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit einer Matrix
Hallo,

habe viel gesucht bei Euch aber leider nichts passendes gefunden.
Es geht um eine Matrixaufgabe.

Wie man die Inverse einer n*n Matrix berechnet, glaube ich zu wissen.
Aber in diesem Fall lautet die Aufgabenstellung etwas anders:

"Untersuchen Sie(mit möglichst geringem Aufwand), für welche C aus der Menge R die folgende Matrix A invertierbar ist, und bestimmen Sie im Falle der Invertierbarkeit (ebenfalls mit möglichst geringem Aufwand) die Determinante der Inversen A^-1."

Nun, soweit ich weiss ist die Matrix immer dann invertierbar solange ihre Determinante ungleich Null ist.

|1 1 1 1 1|
|0 0 0 0 1|
|0 0 0 2 0| = A
|0 3 0 0 0|
|0 0 C 0 0|

Mein problem liegt im "C". Wie kann ich bestimmen welche C die Invertierbarkeit der Matrix gewährleisten?

Mein Ansatz wäre:
Ich vertausche die Spalten so, das in der Hauptdiagonalen nur Werte ungleich Null stehen.
Also 3. Spalte mit 5. Spalte vertauschen. Dann bekomme ich:

|1 1 1 1 1|
|0 0 1 0 0|
|0 0 0 2 0|
|0 3 0 0 0|
|0 0 0 0 C|

Nun die 3. Spalte mit 2. Spalte vertauschen:

|1 1 1 1 1|
|0 1 0 0 0|
|0 0 0 2 0|
|0 0 3 0 0|
|0 0 0 0 C|

Und nun noch 3. Spalte mit 4. Spalte vertauschen:

|1 1 1 1 1|
|0 1 0 0 0|
|0 0 2 0 0|
|0 0 0 3 0|
|0 0 0 0 C|

Nun habe ich eine Dreiecksmatrix und kann die Determinante berechnen.

Also quasi: det(A) = 1*1*2*3*C

=> C = det(A)/(1*1*2*3) = ???

Hier weiss ich nicht mehr weiter...verwirrt

Danke im voraus Tom
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

mit Laplaceentwickeln nach der zweiten Zeile kämst du einiges effizienter zum Ziel.

Es ergibt sich sofort Det(A)=1*2*3*C (oder - das ganze, das Vorzeichen ignorierst du auch völlig).

was du damit machst ist mir schleierhaft und Unsinn.
Zitat:
Nun, soweit ich weiss ist die Matrix immer dann invertierbar solange ihre Determinante ungleich Null ist.

da steckt alles drin, was du jetzt noch brauchst.
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Thx,
sagen wir ich komme zumindest schon mal auf det(A)=1*2*3*C

und sagen wir meine Annahme der Invertierbarkeit sei falsch.

1.: Welchen Wert hat denn nun mein C?
2.: Wann ist eine Matrix denn Invertierbar und wann nicht?

unglücklich
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal, um weitere verwirrungen zu vermeiden.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Da oben hast du es ja selbst geschrieben!

Und jetzt lies dir nochmal die Aufgabenstellung durch.
Du hast die Determinante ja jetzt schon berechnet.
Also det(A) = 2*3*C
Wann wird det(A) also ungleich Null?
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

äh ...
wenn C ungleich Null ist, aber kann es das schon gewesen sein?
Schlagt mich, aber ich dachte ich müsste einen konkreten Wert für C herausbekommen. (Nur wüsste eben nicht wie)

Also ich bin zugegebenermaßen ein MatheNoob, deswegen suche ich ja hier auch um Rat.
Aber trotzdem Danke für Eure Antworten. smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich

det(A)=0 <=> C=0
damit A invertierbar <=> C<>0
das ist auch unabhängig vom Vorzeichen

für die Determinante von A^(-1) nimmst du natürlich den Determinantenmultiplikationssatz zu Hilfe
 
 
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