allg. Lsg. eines inhomogenes Differentialgleichungssystems bestimmen

Neue Frage »

06.06.2006, 23:08	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
allg. Lsg. eines inhomogenes Differentialgleichungssystems bestimmen Hallo Leute , gehe ich bei der Aufgabe Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden inhomogenen Differentialgleichungssystems! I) $\begin{eqnarray} y_1'=2y_1 + 3y_2 + 3e^{2x} \end{eqnarray}$ II) $\begin{eqnarray} y_2'=4y_1 + 6y_2 \end{eqnarray}$ richtig davon aus, dass ich erst in eine inhomogene DGL 2. Ordnung umschreiben muss (umformen und gleichsetzen, etc.) und dann eine normale DGL 2. Ordnung lösen muss? Kann ich die inhomogene und die homogene DGL einfach so zusammenschreiben, oder geht das nur mit homogenen? Oder geht der Weg über Matrizenschreibweise, Eigenwerte (lambda) und Eigenvektoren? Eventuell könnt ihr mir Tipps geben, ich knappse mir das Wissen aus den vorgerechneten Übungsbeispielen ab, bin jedoch nicht so erfolgreich damit... Viele Grüße, Jo
07.06.2006, 01:54	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: allg. Lsg. eines inhomogenes Differentialgleichungssystems bestimmen OK ich habe gesehen, dass es wohl nicht so einfach ist, wie ich dachte. Hat jemand einen Lösungsansatz für die Aufgabe? Ich nicht
07.06.2006, 10:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zugehörige homogene Gleichung kannst du doch lösen, oder? Und eine partikuläre Lösung des inhomogenen Problems gewinnst du durch den Ansatz $\begin{eqnarray} y_1=ae^{2x}, y_2=be^{2x} \end{eqnarray}$ .
07.06.2006, 12:15	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe kein Beispiel für ein DGL-System mit einer inhomogenen DGL drin, nur mit 2 homogenen. Diese kann man einfach zu einer zusammenschreiben und diese "normal" lösen, aber ich weiss eben nicht, ob das auch mit dieser inhomogenen DGL dadrin geht. Ich glaube nämlich nicht. Mit DGL-Systemen hatte ich bisher gar nichts zu tun, deshalb weiss ich überhaupt nicht, was damit geht, und was nicht. @Arthur Dent: du meinst, ich soll einfach die homogene DGL von I) lösen und die sowieso homogene DGL von II) ? Und dann? Die normale inhomogene DGL löst man ja durch die Addition der homogenen und der partikulären Lösung. Der Ansatz für die partik. Lösung ist ja $\begin{eqnarray} y_p = A \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_p' = 2A \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ etc. Die Lösung somit einfach (A ergibt dann -1): $\begin{eqnarray} y_p = -e^{2x} \end{eqnarray}$ . Was bringt mir das aber hier, wenn ich die eine DGL löse? Oh man, ich hab überhaupt keinen Durchblick...
07.06.2006, 12:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich von DGL rede, meine ich das ganze System. Keine Ahnung, warum du nur $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ betrachtest, statt wie von mir empfohlen $\begin{eqnarray} y_1,y_2 \end{eqnarray}$ . EDIT: Sorry, hatte mich oben verschrieben, da musste natürlich $\begin{eqnarray} y_2=be^{2x} \end{eqnarray}$ stehen.
07.06.2006, 13:05	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Aber was soll ich denn mit $\begin{eqnarray} y_1 = ae^{2x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = be^{2x} \end{eqnarray}$ machen? Ich weiss nicht, was ich mit DGL-Systemen machen muss, um eine Lösung zu bekommen. Zu einer DGL zusammenschreiben? das System in eine Matrix schreiben und Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen? Mir fehlt wie gesagt der allgemeine Überblick... Zeig mir doch den Anfang, damit ich ihn weiterrechnen kann?
Anzeige

07.06.2006, 13:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na setz doch einfach mal den Ansatz $\begin{eqnarray} y_1=ae^{2x},y_2=be^{2x} \end{eqnarray}$ in dein inhomogenes System ein. Dann siehst du unmittelbar, dass du überall den Faktor $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ rausstreichen kannst, übrig bleibt ein 2x2-lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ - schon hast du deine partikuläre Lösung.
07.06.2006, 17:22	Lefko	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, du hast Recht. Ich setze $\begin{eqnarray} y_{1} = a \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1' = 2a \cdot e^{2x} \end{eqnarray}$ ein, analog bei $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2' \end{eqnarray}$ . Dann kommt einfach nur raus, dass a = 1 und b = -1 ist, die Lösung also: $\begin{eqnarray} y_{p1} = e^{2x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{p2} = -e^{2x} \end{eqnarray}$ . Das sind die partikulären Lösungen der beiden Zeilen (?). Und jetzt einfach mit den homogenen Lösungen addieren?
07.06.2006, 17:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist alles, was die partikuläre Lösung des inhomogenen Problems betrifft, ja. Die zugehörige homogene Gleichung musst du natürlich trotzdem noch lösen.
26.01.2010, 19:13	s1aasomm	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnliche Frage zur Inhomogenität Hallo, ich hab ein ähnliches Problem mit folgendem DGL-System y_1´=-2y_1+3y_2+sin(2x) y_2´=3y_1-2y_2+e^x Die homogene Lösung ist kein Problem. Die inhomogene, wenn nur sin(2x) beachtet wird, bekomm ich auch hin. Aber bei der e^x Inhomogenität komm ich nicht klar. Welchen Ansatz muss ich hier verwenden. Zwar ist der Hinweis gegeben, dass bei Entartung mit einer homogenen Lösung ein Ansatz der Form xf(x) verwendet werden soll, allerdings komme ich bei xe^x auf einen Widerspruch. Ich hoffe jemand von euch hat mehr Ahnung.

Neue Frage »

Antworten »

allg. Lsg. eines inhomogenes Differentialgleichungssystems bestimmen

Verwandte Themen