Numerik-Praktikum

07.06.2006, 14:44	straussy	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik-Praktikum Hallo Ich soll im Rahmen des Numerik-Praktikums eine Differentialgleichung untersuchen, die da lautet $\begin{eqnarray} y'(t)=p(t)y(t)-y(t)^{3} \end{eqnarray}$ . Die Differentialgleichung soll in einer Umbebung von 0 betrachtet werden, so wie für unterschiedliche $\begin{eqnarray} p(t) \end{eqnarray}$ . Ich hab mit Matlab ein Programm geschrieben das die Differentialgleichung mit den unterschiedlichsten Verfahren numerisch auswerten kann. Jetzt soll ich das Ganze aber zusätzlich noch in Form eines Protokolls ausarbeiten, aber ich hab keine Ahnung was ich da schreiben soll. Keine Ahnung was an dieser Funktion in der Umgebung so besonderes sein soll. Vielleicht könnt ihr mir ja einen Stoß in die richtige Richtung geben. mfg Straussy für alle die es interessiert hab ich das Programm noch angehängt, vielleicht hilft das ja auch weiter.
08.06.2006, 13:11	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerik-Praktikum Ich stelle mir die DGL einfach als Wachstums-DGL vor, wobei es mit der dritten Potenz von y ein starkes Wachstumshindernis gibt. Meine Fragen wären, setzt sich das Wachstum durch, gibt es Asymtoten, ist überhaupt unbeschränktes Wachstum möglich, gibt es einen Wendepunkt usw. ? Daraus ergeben sich dann vielleicht numerische Fragen: Abhängigkeit von Anfangswerten, Konvergenzgeschwindigkeit usw. Grüße Abakus
08.06.2006, 19:35	straussy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwortl! Konvergenzgeschindigkeit ist eine gute Idee. Ich denke, dass ich wahrscheinlich auch die Fehler der einzelnen Verfahren für unterschiedliche Anfangswerte und p(t) auswerten soll, dazu hab ich in einem Buch ( Schwarz, Köckler) gefunden: $\begin{eqnarray} \tau_{h}:= (1/h)(y(x_{j}+h)-y(x_{j}))-f_{h}(x_{j},y(x_{j}),x_{j}+h,y(x_{j}+h)) \end{eqnarray}$ das nennt sich dann lokaler Abschneidefehler und $\begin{eqnarray} f_{h} \end{eqnarray}$ heißt die Verfahrensfunktion. Aber in meinen Verfahren bestehen die Funktionen immer nur aus zwei Werten. Kann mir das jemand erklären oder vielleicht einen Weg zeigen wie ich leicht lokal und global den Fehler abschätzen kann? Mfg Straussy
08.06.2006, 19:54	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, Fehlerabschätzungen sind u.a. verfahrensabhängig und zu jedem Verfahren sollte es eine solche Abschätzung geben. Am Besten also zunächst beim Verfahren selbst nachschauen. Wie meinst du das mit den 2 Werten? In der Formel für den Abschneidefehler hast du ja auch nur x, y, und eine Schrittweite h. Grüße Abakus
08.06.2006, 20:08	straussy	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ich hab gerade gesehen die Formel ist nicht ganz richtig. Naja die Verfahrensfunktion ist aufjeden Fall abhängig von 4 (!!!) Parametern, ich weiß nicht wo die herkommen. $\begin{eqnarray} \tau_{h}(x_{j}):=\frac{1}{h}(y(x_{j}+h)-y(x_{j}))-f_{h}(x_{j},y(x_{j}),x_{j}+h,y(x_{j}+h))=f(a,b,c,d) \end{eqnarray}$ Ich dachte mir, dass die Verfahrensfunktion wahrscheinlich die Funktion ist die ich in das jeweilige Verfahren einsetze, für das Eulerverfahren z.B. f(x,y), für das verbesserte EV $\begin{eqnarray} f(x+\frac{h}{2},y+\frac{h}{2}f(x,y)) \end{eqnarray}$ . Da sind aber wie gesagt nur 2 Paramerter (+Parameter h) von denen die Funktion abhängt.
08.06.2006, 21:13	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verfahrensfunktionen werden wohl unterschiedlich bezeichnet und parametrisiert. Hier sind es beim Eulerverfahren ebenso 4 Parameter. Dabei zählt das f als ein Parameter mit. Grüße Abakus
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