exponentialverteilung

07.06.2006, 17:28

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

exponentialverteilung

Hallo,

wir haben heute mit der Exponentialverteilung begonnen und nun hab ich bei den HA's schon das erste Problem *schäm*

Zunächst mal die Aufgabenstellung:
Eine Glühbirne (deren Lebensdauer exponentialverteilt sei) brenne mit Wahrscheinlichkeit 90% mindestens 200 Stunden.

Wie groß ist die mittlere Brenndauer der Glühbirne?

Dass der Erwartungswert = 1 / lamba ist weiß ich, jetzt muss ich lamba raus kriegen. Ich dachte das könne ich mit 0.9 = lambda * e^-lambda*x. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das nun rechnen soll... Wie bekomme ich denn -lambda*x runter?? Leider habe ich das 1. Halbjahr, wo wir dieses Integral-Zeug gemacht haben ziemlich verhauen, habe also davon nicht wirklich Ahnung (habe mir aber vorgenommen das in den Sommerferien nach zu arbeiten!!).
Also kurz und knapp, wie bekomme ich mein lamda raus???

Hilfe wäre wie immer toll Augenzwinkern

Augenzwinkern

cu, mys

07.06.2006, 20:35

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

hi...

allgemein ist es für den helfenden wesentlich leichter wenn du den formaleditor(latex) benutzen würdest. dein ansatz schein falsch zu sein.

zur erinnerung die exp-verteilung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung
(sind auch beispiele drin, die ganz nützlich sind)

ok, jetzt zur aufgabe:
wir wissen zu 90% hält die glühbirne mindestens 200 stunden.
X=lebensdauer glühbirne. d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 200)=0.9 \end{eqnarray*}$

allgmein gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

zusätzlich gilt bei stetigen verteilungen:

(*) $\begin{eqnarray*} P(X\geq x)=1-P(X\leq x) \end{eqnarray*}$

und jetzt setzt du $\begin{eqnarray*} P(X\geq 200) \end{eqnarray*}$ in (*) ein.

dann wird wieder das problem auftreten, die potenz von e runter zu bekommen. es gilt:

$\begin{eqnarray*} ln(e^{x})=x \end{eqnarray*}$

also den logarithmus drüber ziehen.
bsp: (gleichung nach x auflösen)

$\begin{eqnarray*} e^{3x+4}=10 \end{eqnarray*}$ |ln drüber ziehen

$\begin{eqnarray*} ln(e^{3x+4})=ln(10) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x+4=ln(10) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln(10)-4}{3} \end{eqnarray*}$

ansonsten wikipedia, stichwort: logaritmus Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

08.06.2006, 16:38

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

mhhhh..

also erstmal muss ich sagen dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} 0,9 = \lambda *e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ von unserem Mathelehrer ist, aber okay, kann gut sein, dass der sich mal wieder vertan hat Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zumal ich wenn ich mit diesem Ansatz weiter rechne auch nicht wirklich weiter komme.

Habe eben mal deinen Ansatz ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} 0,9 = 1 - (1- e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ |-1
$\begin{eqnarray*} -0,1 = - (1- e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ |*(-1)
$\begin{eqnarray*} 0,1 = 1 + e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ | +1
$\begin{eqnarray*} 1,1 = e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ |ln
$\begin{eqnarray*} ln(1,1) = -\lambda * x \end{eqnarray*}$ |:x
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(1,1)}{x} = -\lambda \end{eqnarray*}$ |*(-1)
$\begin{eqnarray*} -(\frac{ln(1,1)}{x}) = \lambda \end{eqnarray*}$

Habe ich das so richtig gemacht?? Und muss ich dann nur noch für x gleich 200 einsetzen um lambda rauszubekommen??

08.06.2006, 16:48

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mys
$\begin{eqnarray*} -0,1 = - (1- e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ |*(-1)
$\begin{eqnarray*} 0,1 = 1 + e^{-\lambda x}) \end{eqnarray*}$ | +1

die umformung ist falsch, es gilt -(a-b)=-a+b

Zitat:

Habe ich das so richtig gemacht?? Und muss ich dann nur noch für x gleich 200 einsetzen um lambda rauszubekommen??

wenn du deinen fehler korrigiert hast, musst nur noch x=200 einsetzen.

gruss bil

08.06.2006, 17:14

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also lambda = 0,00053 ?!

08.06.2006, 17:52

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

also das ergebniss finde ich etwas komisch aber ich hab das gleiche raus. die mittlere brenndauer beträgt dann 1898.24 stunden.

komisch, sehe aber auch kein fehler in der rechnung verwirrt

verwirrt

gruss bil

Anzeige

08.06.2006, 22:01

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, vielen Dank smile

smile

11.06.2006, 13:47

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

es war falsch....

richtig ist:
$\begin{eqnarray*} 1- e^{-200\lambda } = 0,9 \end{eqnarray*}$
wobei man für lambda dann 0,0115 raus bekommen hat.

Das habe ich mittlerweile auch soweit verstanden, jetzt hab ich aber wieder ein neues Problem und zwar folgendes:

Es geht wieder um die Lebensdauer von Glühlampen, aber diesmal ist lambda = 0,004
jetzt soll ich a) ausrechnen, wie viele Stunden ein Glühlampe MINDESTENS mit einer WS von 75% leuchtet und b) ausrechnen, BIS ZU wie viele Stunden eine Glühlampe mit einer WS von 75% leuchtet.

für b) hab ich folgendermaßen gerechnet:
$\begin{eqnarray*} 0,75 = 1 - e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ |-1 *(-1)
$\begin{eqnarray*} 0,25 = e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ |ln
$\begin{eqnarray*} ln(0,25) = -\lambda x \end{eqnarray*}$ | : -lambda
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(0,25)}{-\lambda} = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 347 = x \end{eqnarray*}$

ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass das richtig sein müsste, da wir so eine Aufgabe in der Schule schon mal gerechnet hatten.

Allerdings habe ich zu a) jetzt keine Ahnung mehr.. ich könnte mir vorstellen, dass man vielleicht mit den Vorzeichen irgendwas ändern muss oder so.. aber ich weiß es nunmal einfach nicht, deswegen wäre es toll, wenn mir mal jemand sagen könnte wie das mit mindestens (also x kleinergleich X kleinergleich unendlich?!) geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2006, 14:04

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zunächst mal die Aufgabenstellung:
Eine Glühbirne (deren Lebensdauer exponentialverteilt sei) brenne mit Wahrscheinlichkeit 90% mindestens 200 Stunden.

Zitat:

Original von mys
es war falsch....

richtig ist:
$\begin{eqnarray*} 1- e^{-200\lambda } = 0,9 \end{eqnarray*}$
wobei man für lambda dann 0,0115 raus bekommen hat.

Das habe ich mittlerweile auch soweit verstanden,

tut mir leid, dass es falsch war. aber ich seh den fehler immer noch nicht. mindestens 200 stunden bedeutet $\begin{eqnarray*} P(X\geq 200) \end{eqnarray*}$ .

wo ist der denkfehler???

11.06.2006, 14:20

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

wir habens in der Schule mit $\begin{eqnarray*} P(0 \leq X\leq 200) \end{eqnarray*}$ gemacht... kann dir auch nicht wirklich sagen wieso.. finde es mit $\begin{eqnarray*} P(X \geq 200) \end{eqnarray*}$ auch logischer... verwirrt

verwirrt

11.06.2006, 14:29

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hat bil es nicht nötig, von mir Bestätigung zu erhalten, aber eine Formulierung

Zitat:

Original von mys
Eine Glühbirne (deren Lebensdauer exponentialverteilt sei) brenne mit Wahrscheinlichkeit 90% mindestens 200 Stunden.

entspricht für die Lebensdauer $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ganz klar der Gleichung

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 200) = 0.9 \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} 1-(1-e^{-200\lambda}) = 0.9 \end{eqnarray*}$ .

11.06.2006, 14:37

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Eigentlich hat bil es nicht nötig, von mir Bestätigung zu erhalten

eine bestätigung von dir ist immer gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

... danke

11.06.2006, 15:35

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

wie auch immer... wegen mir habt ihr recht *g*

allerdings wäre es ganz nett, wenn sich jemand nochmal meiner 2. frage annehmen könnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2006, 15:42

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wie auch immer... wegen mir habt ihr recht *g*

so unwichtig ist das ansich nicht, da die aufgabe a) wieder das gleiche problem ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich würde an deiner stelle nochmal deinen lehrer drauf ansprechen.

Zitat:

Es geht wieder um die Lebensdauer von Glühlampen, aber diesmal ist lambda = 0,004
jetzt soll ich a) ausrechnen, wie viele Stunden ein Glühlampe MINDESTENS mit einer WS von 75% leuchtet

das ist ja von der rechnung her fast die gleiche aufgabe wie die erste. nur diesmal haben wir nicht x=200 gegeben sondern lambda=0.004.
gesucht ist also ein x für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x)=0.75 \end{eqnarray*}$

gruss bil

11.06.2006, 17:16

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

und was genau soll ich dann rechnen?

$\begin{eqnarray*} 1- (1-e^{-\lambda x}) = 0,75 \end{eqnarray*}$

was doch das selbe wäre wie

$\begin{eqnarray*} -e^{-\lambda x} = 0,75 \end{eqnarray*}$
und dann kommt da bei mir -71,92 raus...

??!!??!!??!!

11.06.2006, 17:49

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

es gilt -(a-b)=-a+b

12.06.2006, 14:48

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde bei mir -55,79 rauskommen ?!

ach man.. so komm ich nicht weiter.. sagt mir doch mal bitte ganz klar wies geht Gott

Gott

12.06.2006, 16:08

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mys
und was genau soll ich dann rechnen?

$\begin{eqnarray*} 1- (1-e^{-\lambda x}) = 0,75 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} 1- (1-e^{-\lambda x}) = 0,75~\Leftrightarrow~e^{-\lambda x} = 0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda \cdot x=ln(0.75) \end{eqnarray*}$

lambda=0.004 einsetzten:

$\begin{eqnarray*} -0.004\cdot x=ln(0.75)~\Leftrightarrow~x=\frac{ln(0.75)}{-0.004}=\frac{-0.2876820725}{-0.004}=71.92051812 \end{eqnarray*}$

nicht immer so schnell aufgeben!

gruss bil

12.06.2006, 17:34

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank Freude

Freude

edit: Kann man das verallgemeinern?
Also dass ich jedesmal wenn ich die obere Grenze (bis zu x) ausrechnen will $\begin{eqnarray*} 1 - e^{-x\lambda} = P \end{eqnarray*}$ benutze und jedesmal wenn ich die untere Grenze (mindestens x) ausrechnen will $\begin{eqnarray*} e^{-x\lambda} = P \end{eqnarray*}$ benutze??

12.06.2006, 17:50

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mys
Also dass ich jedesmal wenn ich die obere Grenze (bis zu x) ausrechnen will $\begin{eqnarray*} 1 - e^{-x\lambda} = P \end{eqnarray*}$ benutze und jedesmal wenn ich die untere Grenze (mindestens x) ausrechnen will $\begin{eqnarray*} e^{-x\lambda} = P \end{eqnarray*}$ benutze??

ja, so benutzt man es Augenzwinkern

Augenzwinkern

voraussgesetzt die zuvallsvariable ist exponentialverteilt.

gruss bil

12.06.2006, 19:06

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

super

smile

DANKESCHÖN Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »