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07.09.2008, 14:49

ushiro

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Folgen

Hallo!

Es geht um einen Konvergenz-Beweis bei folgender Folge: $\begin{eqnarray*} a_n := (\frac{3n²+1}{2n²+1}) \end{eqnarray*}$

Wobei es eigentlich egal ist, ich bräuchte einfach mal eine Schritt-für-Schritt-Erklärung wie ich so einen Beweis führe unglücklich

unglücklich

Die entsprechende Definition, nach der bewiesen werden soll ist:

$\begin{eqnarray*} \exists a \in \mathbb K \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n \geq n_0 : (a_n - a) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Dass der Grenzwert hier bei 3/2 liegt und die Bedeutung der Definition ist mir klar und mir ist im Prinzip auch klar WAS ich beweisen muss.. mir fehlt allein die Vorgehensweise, wie ich ein günstiges $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wähle usw.

Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen?

Liebe Grüße

07.09.2008, 15:06

Jacques

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Hallo,

Zumindest in der Schule ist die Vorgehensweise so:

Gegeben ist beispielsweise die Folge $\begin{eqnarray*} (\tfrac{1}{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$

Um zu beweisen, dass 0 der Grenzwert der Folge ist, muss man also zeigen: Für alle positiven $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass alle Glieder ab einschließlich diesem Index in der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von 0 liegen.

Man setzt:

$\begin{eqnarray*} a_n \in U_{\varepsilon} (0) \end{eqnarray*}$ ,

was gleichwertig ist mit $\begin{eqnarray*} |a_n - 0| < \varepsilon \ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Dann löst man diese Ungleichung nach n auf und erhält:

$\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

D. h.: Ein Glied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ liegt genau dann in einer $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von 0, wenn $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt konkrete positive $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ betrachtet, gibt es immer einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (etwa $\begin{eqnarray*} \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil \end{eqnarray*}$ ), sodass alle Glieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ab einschließlich diesem Index in der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von 0 liegen. Damit ist bewiesen, dass 0 Grenzwert der Folge ist.

07.09.2008, 15:25

Huggy

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RE: Folgen
Vorbemerkung: In deiner Definition fehlen die Betragszeichen.

Offenbar ist dir doch nicht ganz klar, was zu bweisen ist. Es geht nicht darum, ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden. Du sollst ja etwas für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beweisen. Du musst also zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein geeignetes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden (siehe Beitrag von Jaques).

Wie man das macht, dafür gibt es kein Patentrezept. Bei deiner Folge hilft es, wenn man Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ teilt.

07.09.2008, 15:53

ushiro

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Danke schonmal Freude

Freude

Jacques:

Ok das verstehe ich soweit für die Folge $\begin{eqnarray*} (\tfrac{1}{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ smile

smile

Huggy:

Zur Vorbemerkung: Stimmt, in meiner Verwirrung hab ich statt Betragsstrichen normale Klammern verwendet, sorry.

Der Startindex $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt doch aber ab vom $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ oder nicht?

je nach $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hab ich doch ein anderes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Bei meine Folge, wie würde ich denn dann weitergehen nachdem ich durch n² geteilt habe?

Dass es kein Patentrezept gibt, ist ja bei den meisten interessanten Sachen in der Mathematik so smile

smile

aber gibt es nicht wenigstens irgendwelche Orientierungsmöglichkeiten nach denen ich mich richten kann?

Ich komme immer soweit, dass ich sehe was der Grenzwert ist und alles ordentlich aufschreibe. Und dann hängts....

Und die Übungen waren nie wirklich eine Hilfe. Die 3 Folgen, die wir aufbekamen, konnten es meist auch nicht adäquat beweisen und dann wurde eine unleserliche Folie auf den Overhead gelegt, die man bei schummrigen Licht kaum entziffern konnte unglücklich

unglücklich

und dann immer so Kommentare wie "Da guckt man lange drauf und dann springt es einen an" ..........

Meine Frage lautet also konkret: Wenn ich eine Folge habe und deren Grenzwert kenne, was muss ich tun damit ich bewiesen habe, dass es tatsächlich der Grenzwert ist?

07.09.2008, 15:58

Airblader

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Zitat:

Meine Frage lautet also konkret: Wenn ich eine Folge habe und deren Grenzwert kenne, was muss ich tun damit ich bewiesen habe, dass es tatsächlich der Grenzwert ist?

Du musst tun, was in der Definition steht:

Finde zu einem beliebig vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass alle Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ zum vermutlichen Grenzwert weniger als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ entfernt sind.

Und ja, $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab.

air

07.09.2008, 16:10

Huggy

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Zitat:

Original von ushiro
Der Startindex $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt doch aber ab vom $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ oder nicht?

je nach $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hab ich doch ein anderes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Bei meine Folge, wie würde ich denn dann weitergehen nachdem ich durch n² geteilt habe?

Schreib doch mal auf, wie $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aussieht, nachdem du Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ geteilt hast. Dann überlege, ob du jetzt Abschätzungen für Zähler une Nenner machen kannst und ob sich daraus Abschätzungen für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ergeben.

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07.09.2008, 16:10

ushiro

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Und woher bekomme ich das "beliebige $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?" smile

smile

(das ist nämlich genau das was ich meinte mit "geeignetes epsilon") und wie ist der Schritt, dass das dann tatsächlich für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt?

irgendwie hats bei der ganzen epsilon-geschichte noch nicht so richtig "klick" gemacht ... wäre echt super, wenn das jemand für "dummies" nochmal erklären könnte!

huggy:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 + \frac{1}{n²} }{ 2 + \frac{1}{n²}} \end{eqnarray*}$ oder?

Was genau meinst du mit Abschätzungen?

07.09.2008, 16:15

Huggy

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Das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Zum Schluss bekommst du eine Funktion $\begin{eqnarray*} n_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , die die Behauptung beweist.

Und jetzt mach mal, was ich dir vorher sagte.

07.09.2008, 16:18

Huggy

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Gut!

Kannst du jetzt so etwas sagen wie Zähler >= irgendetwas und ähnliches für den Nenner?

07.09.2008, 16:26

ushiro

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hm, also auf jeden Fall kann ich mir vorstellen dass $\begin{eqnarray*} 3 + \frac{1}{n²} \geq 3 \end{eqnarray*}$ denn 3 ist dann ja irgendwann der Grenzwert

genauso im Nenner $\begin{eqnarray*} 2 + \frac{1}{n²} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist 2 ja der Grenzwert für den Nenner

07.09.2008, 16:40

Huggy

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Richtig!

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+1}=\frac{3+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}=\frac{z}{nenn} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z>3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} nenn>2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir erst mal die Beziehung für den Nenner. Was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2008, 16:48

Airblader

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Zu der Epsilongeschichte vielleicht etwas mehr Anschauung:

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} a_n := 1 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ .

Als Graph (wenngleich es eig. ja eine Folge ist) wäre das so:

Nun willst du zeigen, dass die Folge (rot) dem Grenzwert (grün) immer näher und näher kommt, jedoch nie unterschreitet.

Dazu spielen wir folgendes Spiel:
Ich gebe dir einen Abstand vor und du gibst mir ein Folgenglied, ab dem alle weiteren Glieder weniger als diesen Abstand weit vom Grenzwert entfernt sind.

Nun gebe ich dir noch einen Abstand und du gibst mir wieder ein Folgenglied dazu.

Und das machen wir nun immer weiter. Soll heißen: Völlig egal welchen Abstand ich dir vorgebe (und wenn er noch so klein ist) - du findest einen solchen Index bzw. ein solches Folgenglied.
Wenn du das schaffst, selbst, wenn zB $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 10^{-100000} \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du bewiesen, dass die Folge ja ständig näher an den Grenzwert kommt, ohne, dass die Folge den Grenzwert hier unterschreiten kann (sonst würde der Abstand wieder wachsen).

Du machst dir also keine Sorgen, welcher Abstand (Epsilon) vorgegeben ist - du musst zu jedem beliebigen einen Index finden. Und darum drückst du einen geeigneten Index einfach abhängig von Epsilon aus.

Edit:
Den Rest übernimmt nun aber Huggy, um die Aufgabe zu lösen. Aber vielleicht hilft dir das hier nochmal ein bisschen.

air

07.09.2008, 16:54

ushiro

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ich bin mir jetzt nicht sicher was du hören willst verwirrt

verwirrt

bzw. wie ich es am besten ausdrücken soll

für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ folgt dann im Prinzip, dass sie sich von $\begin{eqnarray*} \frac {z} {3} \end{eqnarray*}$ für n = 1 zu $\begin{eqnarray*} \frac {z} {2} \end{eqnarray*}$ entwickelt für n --> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ am Ende ist es also.. irgendwas halbes?

danke, Airblade, werd ich mir genau durchlesen smile

smile

07.09.2008, 17:04

Huggy

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Du musst präzise mathematische Folgerungen in Form von Ungleichungen machen, denn du willst ja eine Ungleichung beweisen. Ich möchte also von dir sehen, daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_n> ... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n< ... \end{eqnarray*}$

Und anstelle der Punkte sollte ein konkreter Ausdruck stehen.

07.09.2008, 17:17

ushiro

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$\begin{eqnarray*} nenn>2 \Rightarrow a_n < 3 + \frac {1} {n²} \end{eqnarray*}$ (was mir aber irgendwie sehr trivial erscheint?) .. und insgesamt folgt aus $\begin{eqnarray*} z > 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} nenn > 2 \end{eqnarray*}$ auch dass $\begin{eqnarray*} a_n > \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$

bin mir aber nicht sicher ob ich getroffen habe, was du gemeint hast..

07.09.2008, 17:23

Huggy

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Die zweite Folgerung ist falsch! Überlege mal, weshalb?

Die erste Folgerung ist richtig, würde aber schon aus nenn > 1 folgen. Aus nenn > 2 folgt mehr. Also noch mal, was folgt aus nenn > 2?

07.09.2008, 17:38

ushiro

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$\begin{eqnarray*} nenn>2 \Rightarrow a_n \leq \frac {3 + \frac {1} {n²}} {2} \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

bei der 2. folgerung müsste es < anstatt > heißen, oder?

07.09.2008, 17:45

Huggy

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Jetzt ist es richtig. Und mehr kann man aus nenn > 2 nicht schließen. Es gibt keine zweite Folgerung.
Jetzt teile mal den Zähler durch den Nenner 2. Vielleicht fällt dir dann schon etwas auf.

07.09.2008, 17:55

ushiro

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... doppelpost

07.09.2008, 17:56

ushiro

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Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac {3} {2} + \frac {1} {2n²} \end{eqnarray*}$

Ok da steht jetzt mein Grenzwert + einen Ausdruck der mit zunehmenden n gegen Null tendiert.

Die größte Differenz zum Grenzwert wäre ja jetzt 1/2. würde ich also $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ = 1/8 wählen bekäme ich als Startindex $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ = 2

hm.. hilft mir das jetzt schon?

07.09.2008, 18:04

Huggy

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Ja, wir nähern uns jetzt dem Ziel, allerdings erst der einen Hälfte des Beweises. Wir haben in unserer Ungleichung jetz explizit den Grenzwert stehen.

Um sauber beweisen zu können, sollte man aber immer eine vollständige Ungleichung schreiben. Also schreib bitte das letzte Ergebnis in dieser Form und dann bringst du die 3/2 auf die andere Seite. Vergleiche die entstandene Ungleichung mit der Behauptung. Was kann man folgern, messerscharf folgern?

07.09.2008, 18:24

ushiro

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$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+1}=\frac{3+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{n^2} \geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_n \leq \frac {3 + \frac {1} {n²}} {2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_n \leq \frac {3} {2} + \frac {1} {2n²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n - \frac {3} {2} \leq \frac {1} {2n²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}} - \frac {3} {2} \leq \frac {1} {2n²} \end{eqnarray*}$

Bei der Folgerung bräuchte ich noch einen kleinen Anschubser unglücklich

unglücklich

07.09.2008, 18:49

Huggy

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Ja, das ist jetzt sauber aufgeschrieben, wobei man sogar überall < statt <= schreiben kann. Die letzte Gleichung brauchen wir nicht.

Es ist also bewiesen:

$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2}<\frac{1}{2n^2} \end{eqnarray*}$

Beweisen will man:

$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich erfüllt, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n^2}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung muss nun nach n aufgelöst werden. Das Ergebnis ist unser $\begin{eqnarray*} n_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ . Besser schreiben wir $\begin{eqnarray*} n_{0,1} \end{eqnarray*}$ , denn in der Behauptung steht ja der Betrag. Wir müssen also noch eine zweite Abschätzung machen, die ein $\begin{eqnarray*} n_{0,2} \end{eqnarray*}$ ergibt. Das größere von beiden ist das endgültige $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ .

Schreib jetzt mal diesen Text gleichungsmäßig auf.

07.09.2008, 19:02

ushiro

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$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2}<\frac{1}{2n^2}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

dann nach n auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{\frac {1} {2\epsilon}} = n_0 \end{eqnarray*}$

Meinst du mit größerem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ einfach den Betrag der Differenz?

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-\frac{3}{2}\mid \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2008, 19:35

Huggy

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Wir haben jetzt bewiesen:

Sei $\begin{eqnarray*} n_{0,1}(\epsilon)=\sqrt{\frac{1}{2\epsilon}} \end{eqnarray*}$

Dann ist für alle $\begin{eqnarray*} n>n_{0,1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Damit man statt

$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid a_n-\frac{3}{2}\mid \end{eqnarray*}$

schreiben kann, brauchen wir eine analoge Abschätzung für

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-a_n<... \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich ein $\begin{eqnarray*} n_{0,2} \end{eqnarray*}$ .
Diese Abschätzung beginnt unter Benutzung der Ungleichung für den Zähler. Sie ist ein oder zwei Zeilen länger. Am Ende setzen wir $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ =Maximum von $\begin{eqnarray*} n_{0,1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{0,2} \end{eqnarray*}$ .

Versuch mal, ob du das hinkriegst. Ich bin jetzt für ein bis zwei Stunden weg.

07.09.2008, 21:05

ushiro

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$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+1}=\frac{3+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 + \frac{1}{n²} \geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \geq \frac {3} {2 + \frac {1} {n²}} \end{eqnarray*}$

jetzt häng ich.. hier kann ich ja nicht so einfach wieder 3/2 isolieren.

ich habe es jetzt so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a_n (2 + \frac {1} {n²} ) \geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n + \frac {a_n} {2n²} \geq \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {a_n} {2n²} \geq \frac {3} {2} - a_n \end{eqnarray*}$

und dann quasi einmal $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \frac {3 + \frac {1} {n²}} {4n² + 2} \geq \frac {3} {2} - a_n \end{eqnarray*}$

...?

07.09.2008, 21:24

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ushiro
Und woher bekomme ich das "beliebige $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?"

Das ist eine gute Frage, die viele Anfänger stellen. Leider schaffen es die wenigsten, darauf zu antworten. Du bekommst das "beliebige Epsilon" dadurch, dass du am Anfang deines Beweises schreibst: "Sei Epsilon > 0 beliebig vorgegeben". Dann hast du ein beliebiges Epsilon. Das hat Jacques in seinem ersten Posting auch vergessen zu schreiben. Wenn man das nicht schreibt, fällt das Epsilon einfach so vom Himmel. Das ist dann eigentlich ganz formal gesehen kein korrekter Beweis, denn man muss alle Bezeichner, die man benutzt, auch irgendwann einmal eingeführt haben.

07.09.2008, 21:54

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal muss man mit den Formeln etwa spielen oder brutal sein. Nach

$\begin{eqnarray*} a_n>\frac{3}{2+\frac{1}{n ^2}} \end{eqnarray*}$

kann man die brutale Variante versuchen:

$\begin{eqnarray*} a_n-\frac{3}{2}>\frac{3}{2+\frac{1}{n ^2}}-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt alles umdrehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-a_n<\frac{3}{2}-\frac{3}{2+\frac{1}{n ^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-\frac{3}{2+\frac{1}{n ^2}}=\frac{\frac{3}{2}(2+\frac{1}{n^2})-3}{2+\frac{1}{n^2}}=\frac{\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}<\frac{\frac{1}{n^2}}{2}=\frac{1}{2n^2} \end{eqnarray*}$

Damit haben wir

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-a_n<\frac{1}{2n^2} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist wie beim ersten Teil des Beweises. Es kommt sogar dasselbe $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ heraus. Man brauchr kein Maximum zu bilden.

Alles klar?

07.09.2008, 22:15

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso macht ihr es so umständlich? Geht doch einfach direkt nach Definition vor:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left| a_n - \frac{3}{2}\right| = \left| \frac{3n^2 + 1}{2n^2 + 1} - \frac{3}{2}\right| = \left| \frac{-1}{4n^2 + 2} \right| = \frac{1}{4n^2 + 2} < \frac{1}{4n^2}. \end{eqnarray*}$

07.09.2008, 22:21

Huggy

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Dieser Weg war offenbar zu einfach! smile

smile

07.09.2008, 22:36

ushiro

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Huggy! smile

smile

das konnte ich alles nachvollziehen! Da ich dann ein definitves $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ habe, habe ich bewiesen, dass es immer diese Umgebung gibt, richtig?

Ich denke mal so schwer ist das eigentlich gar nicht, mir fehlt nur etwas Übung und noch so das richtige Gefühl dafür ..

WebFritzi:

Danke für die Beantwortung der 1. Frage smile

smile

das ist wirklich was, wo ich mich immer gewundert habe.
Diesen einfachen und direkten Weg den du vorgeschlagen hast, war allerdings noch etwas ZU direkt für mich Ups

Ups

07.09.2008, 22:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von ushiro
Diesen einfachen und direkten Weg den du vorgeschlagen hast, war allerdings noch etwas ZU direkt für mich Ups

Ups

Aber genauso geht es. Der Weg, den Huggy mit dir eingeschlagen hat, war eigentlich nicht OK. Es geht schließlich nicht darum, die Folge abzuschätzen, sondern |Folge - Grenzwert|. Hier hattet ihr nur Glück.

07.09.2008, 23:21

ushiro

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4n^2 + 2} < \frac{1}{4n^2}. \end{eqnarray*}$

WebFritzi Du hast also einfach die tatsächliche Differenz gebildet und dann abgeschätzt $\begin{eqnarray*} 4n² + 2 \end{eqnarray*}$ ist halt größer als $\begin{eqnarray*} 4n² \end{eqnarray*}$ , also ist der Quotient kleiner.

Und dann?

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {4n²} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[2]{\frac {1} {4\epsilon}} < n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {1} {2} \sqrt[2]{\frac {1} {\epsilon}} < n_0 \end{eqnarray*}$

kann ich das bei jeder (einfacheren) Folge nach der Art machen??

08.09.2008, 00:04

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Zumindest, wenn du das "einfacheren" so stehen lässt. Man hätte übrigens auch gleich anstatt 1/(4n²) durch 1/n abschätzen können.

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