Ich scheitere an den Grundrechenarten

07.09.2008, 19:59

jsk85

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Ich scheitere an den Grundrechenarten

Moin!
Ich hatte eine etwas "ungewöhnliche" Schulbildung...meine Zeit in der Realschule ging in die Hose. Ich beginn "schulisch" noch mal von vorne. Hauptschule und Realschule auf dem zweiten Bildungsweg nachgeholt - das Problem an dem ganzen: Es wird nicht das "typische" unterrichtet.
Nachdem ich eine Ausbildung absolviert habe möchte ich nun meine Fachhochschulreife nachholen. Hier ist der Knackpunkt: Ich habe das Gefühl ich scheitere an den "Grundrechenarten".

Nun sitze ich schon den ganzen Sonntag hier schau mir binomische Formel und co an. Alles was "einfach" zu lösen ist macht auch keine Problem - schwierig wird es bei mir, wenn es um Vereinfachungen geht.

WER KANN MIR HELFEN?

Ich hab diverse Aufgaben vor mir liegen - inklusive Lösung. Nachvollziehen kann ich das ganze aber nicht.

Zum Beispiel habe ich folgende Aufgabe vor mir liegen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+2}-x^{m}}{y^{3n}}:\frac{x^{3}+2x^{2}+x}{x^{3n}} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Vereinfachen Sie!

Lösung laut Lösungsblatt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+3n-1}}{y^{3n}}*\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$

WIE zur Hölle komme ich zu dem Ergebnis?
Danke im Voraus!!!
Grüße
Jan

07.09.2008, 19:59

jsk85

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RE: Ich scheitere an den Grundrechenarten
Achso, ich hoffe ich bin in der "Analysis" richtig...sorry, wenn nicht...

07.09.2008, 20:07

Jacques

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Hallo,

Also soo einfach die die Aufgabe sicherlich nicht.

Du kannst den Term schonmal nach dem folgenden Satz vereinfachen: Die Division durch eine Zahl ist dasselbe wie die Multiplikation mit dem Kehrwert.

Dann kannst Du bei

$\begin{eqnarray*} x^3 + 2x^2 + x \end{eqnarray*}$

einmal x ausklammern und den eingeklammerten Term nach der ersten binomischen Formel umschreiben.

07.09.2008, 20:11

jsk85

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Sekunde, ich versuche das mal eben umzusetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2008, 20:13

Jacques

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Schreibe die Zwischenergebniss am besten gleich hier in den Thread.

07.09.2008, 20:20

jsk85

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Mmmh....also ich stelle es erst einmal zum Kehrwert um:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+2}-x^{m}}{y^{3n}}:\frac{x^{3n}}{x^{3}+2x^{2}+x} \end{eqnarray*}$

Dann weiß ich, dass die erste binomische Formel so lautet:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Doch mit "x ausklammern und den eingeklammerten Term nach der ersten binomischen Formel umschreiben" kann ich leider nichts anfangen. Ich würde es jetzt so versuchen:

$\begin{eqnarray*} x^3+2x^3+x = x(x^2+2x) \end{eqnarray*}$

Bin ich soweit auf dem richtigen Pfad?

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07.09.2008, 20:26

Jacques

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Nachdem Du die Division als Produkt geschrieben hast, kannst Du natürlich auch weiterrechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \end{eqnarray*}$

Das Ausklammern ist nicht ganz korrekt (löse zur Probe die Klammern wieder auf und prüfe, ob Du tatsächlich den Ausgangsterm erhältst -- das ist nicht der Fall)

$\begin{eqnarray*} x^3+2x^3+x = x(x^2+2x + 1) \end{eqnarray*}$

Mit der binomischen Formel meinte ich folgendes:

Man kann damit nicht nur die Richtung von (a + b)² zu a² + 2ab + b² gehen, sondern auch der umgekehrte Weg ist möglich: a² + 2ab + b² = (a + b)².

Was ist dann x² + 2x + 1 ?

07.09.2008, 20:33

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von jsk85
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+2}-x^{m}}{y^{3n}}:\frac{x^{3n}}{x^{3}+2x^{2}+x} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, wenn du den Kehrwert bildest, dann das Divisionszeichen durch ein Produktzeichen ersetzen. Ich vermute, du hast dich nur verschrieben, aber nicht, dass du mit dem falschen weiterrechnest.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+2}-x^{m}}{y^{3n}} \cdot \frac{x^{3n}}{x^{3}+2x^{2}+x} \end{eqnarray*}$

07.09.2008, 20:42

jsk85

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Okay....ich habe jetzt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+2}-x^{m}*x^{3n}}{y^{3n}*x^{3}+2x^{2}+x} \end{eqnarray*}$

Das mit der fehlenden 1 beim ausklammern ist logisch.
Weiter mit der binomischen Formel. Okay...nach hin und her bin ich darauf gekommen, dass

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 = (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

ist. Ich bin mir aber nicht sicher wie man wirklich darauf kommt. In diesem Fall war es bei mir eher Glück, weil ich das aus der Lösung kannte. Wie kann ich das erkennen?

07.09.2008, 20:43

jsk85

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@Q-fLaDeN
Danke für den Hinweis, habe mich in der Tat nur verschrieben!

07.09.2008, 20:53

Jacques

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Beim Berechnen des Produkts hast Du die Klammern vergessen: Man multipliziert den gesamten Zähler der linken Seite mit dem gesamten Zähler der rechten Seite. Beim Nenner genauso.

Du erhältst also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left( x^{m + 2} - x^m \right) x^{3n}}{y^{3n} \cdot \left(x^3 + 2x^2 + x \right)} \end{eqnarray*}$

Die binomische Formel hast Du korrekt angewandt. Man kommt darauf, wenn man die x² + 2x + 1 auf das Schema a² + 2ab + b² bringt:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass x die Rolle des "a" übernommen hat und 1 die Rolle des "b".

Jetzt muss man nur noch die Regel anwenden für a = x und b = 1:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x + 1)^2 \end{eqnarray*}$

Ok, wenn man die Zwischenergebnisse in den Ausgangsterm einsetzt, erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left( x^{m + 2} - x^m \right) x^{3n}}{y^{3n} \cdot x (x + 1)^2} \end{eqnarray*}$

Bei der Potenz

$\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$

kannst Du ebenfalls x "ausklammern":

$\begin{eqnarray*} x^{3n} = x \cdot x^{3n - 1} \end{eqnarray*}$

(das ist die "Umkehrung" der Potenzregel $\begin{eqnarray*} a^b \cdot a^c = a^{b + c} \end{eqnarray*}$ )

OK?

07.09.2008, 20:53

jsk85

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sekunde..

07.09.2008, 21:05

jsk85

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$\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ ausklammern?!

In meinen Augen dann also: $\begin{eqnarray*} x(1^{3n}) \end{eqnarray*}$

Aber warum $\begin{eqnarray*} x^{3n}%20=%20x%20\cdot%20x^{3n%20-%201} \end{eqnarray*}$ ???
Ich kenne die Potenzregel, aber ich bin nicht in der Lage diese hier anzuwenden. Wo kommt die ^-1 her?

07.09.2008, 21:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von jsk85
$\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ ausklammern?!

In meinen Augen dann also: $\begin{eqnarray*} x(1^{3n}) \end{eqnarray*}$

Nicht doch! Das ist ganz schlimm. $\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ heißt: "3n-mal x mit mal verknüpfen", also so

$\begin{eqnarray*} x^{3n} = \underbrace{x\cdot x\cdot x \cdot x\cdot\dots\cdot x}_{3n-{\text mal}}. \end{eqnarray*}$

Dann ist also $\begin{eqnarray*} 1^{3n} = \underbrace{1\cdot 1\cdot\dots\cdot 1}_{3n-\text{mal}} = 1. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x(1^{3n}) = x\cdot 1 = x. \end{eqnarray*}$ Und das ist nicht $\begin{eqnarray*} x^{3n}. \end{eqnarray*}$ Klartext: Aus dem $\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ ist kein x auszuklammern. Das macht keinen Sinn. Ausklammern kann man nur dann, wenn zwei Produkte mit "plus" verknüpft sind.

Zitat:

Original von jsk85
Aber warum $\begin{eqnarray*} x^{3n}%20=%20x%20\cdot%20x^{3n%20-%201} \end{eqnarray*}$ ???
Ich kenne die Potenzregel, aber ich bin nicht in der Lage diese hier anzuwenden. Wo kommt die ^-1 her?

$\begin{eqnarray*} x^{k+j} = x^k\cdot x^j \end{eqnarray*}$

07.09.2008, 21:09

Jacques

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Tut mir leid, dann war die Formulierung mit dem "ausklammern" nicht so gut.

Die Potenzregel lautet ja

$\begin{eqnarray*} a^b \cdot a^c = a^{b + c} \end{eqnarray*}$

Also gilt umgekehrt auch

$\begin{eqnarray*} a^{b + c} = a^{b} \cdot a^c \end{eqnarray*}$

Aufwenden auf x^(3n):

$\begin{eqnarray*} x^{3n} = x^{3n - 1 + 1} = x^{(3n - 1) + 1} = x^{3n - 1} \cdot x^1 = x^{3n - 1} \cdot x \end{eqnarray*}$

Also es ist quasi so, dass man das x aus der Potenz "herauszieht" -- der Exponent veringert sich dann um 1. Würde man x² "herausziehen", müsste man von dem Exponenten 2 subtrahieren u. s. w.

07.09.2008, 21:20

jsk85

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Okay, ihr beiden, ich bin zwar kippelig, aber ich bin dabei...soweit ist es nachvollziehbar.
Ich versuche eben den nächsten Schritt selber zu machen...

07.09.2008, 21:33

jsk85

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Ich habe mittlerweile:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^{m+2}-x^{m})*x(x^{3n-1})}{y^{3n}*x(x^{2}+1)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir das nun anschaue würde ich in dem Versuch logisch zu handeln das gleiche, was ich gerade mit x^3n gemacht habe auch mit y^3n machen. Da ich die Lösung kenne weißt ich, dass y^3n bestehen bleiben muß. WARUM? Woher weiß ich sowas?

Nun würde ich versuchen an

$\begin{eqnarray*} (x^{m+2}-x^{m}) \end{eqnarray*}$

ran zu gehen. Aber wie?
Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} x^{m+2}-x^{m} = x(x^{m}-1^{m}) \end{eqnarray*}$

Währe schön, wenn ich ein "richtig" bekomme Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2008, 21:34

jsk85

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Achso, wenn meine Annahme stimmt stehe ich jetzt aber wieder auf dem Schlauch Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2008, 21:40

Jacques

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Ein kleiner Schreibfehler:

Im Nenner steht natürlich weiterhin (x + 1)², nicht (x² + 1)

Zitat:

Original von jsk85

Wenn ich mir das nun anschaue würde ich in dem Versuch logisch zu handeln das gleiche, was ich gerade mit x^3n gemacht habe auch mit y^3n machen. Da ich die Lösung kenne weißt ich, dass y^3n bestehen bleiben muß. WARUM? Woher weiß ich sowas?

Das ist reine Willkür, man hätte auch anders rechnen können. Aber das wird anscheinend als die größte Vereinfachung angesehen.

Zitat:

Original von jsk85

Nun würde ich versuchen an

$\begin{eqnarray*} (x^{m+2}-x^{m}) \end{eqnarray*}$

ran zu gehen. Aber wie?
Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} x^{m+2}-x^{m} = x(x^{m}-1^{m}) \end{eqnarray*}$

Das ist leider nicht richtig (Du kannst ja die Probe machen)

Bei

$\begin{eqnarray*} x^{m+2}-x^{m} \end{eqnarray*}$

kann man aber x^m ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x^{m+2}-x^{m} = x^m \cdot x^2 - x^m = ? \end{eqnarray*}$

Ansonsten: Kürze den Bruch, Du hast x als Faktor in Zähler und Nenner.

07.09.2008, 21:52

jsk85

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$\begin{eqnarray*} \frac{(x^{m+2}-x^{m})*x(x^{3n-1})}{y^{3n}*x(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Ah...stimmt...meine Idee war ein Denkfehler, Mist!
$\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ ausklammern würde dann $\begin{eqnarray*} x^m(1*x^{2-m}-1) \end{eqnarray*}$ ergeben, richtig???

07.09.2008, 21:59

Jacques

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Das ist nicht ganz richtig. Wie gesagt, mache einfach die Probe durch Auflösen der Klammern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beim Ausklammern erhält man:

$\begin{eqnarray*} x^m \cdot x^2 - x^m = x^m (x^2 - 1) \end{eqnarray*}$

07.09.2008, 22:09

jsk85

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Ach MIST!
Ich dachte eigentlich, dass ich die Probe gemacht habe... .
War wohl falsch....bei deinem Vorschlag klappt es nun aber mit der Probe... .

Also sind wir nun bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^m(x^2-1)*x(x^{3n-1})}{y^{3n}*x(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich kürze die x weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^m(x^2-1)*(x^{3n-1})}{y^{3n}*(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt scheitere ich wieder!!!

(sorry, dass ich so schwer von Begriff bin.....bin dir für deine Geduld SEHR dankbar!!!)

07.09.2008, 22:12

Jacques

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Es fehlen nur noch zwei Schritte. smile

smile

// edit

07.09.2008, 22:12

jsk85

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ah, stopp...nicht verraten, ich habe einen Einfall!

07.09.2008, 22:28

jsk85

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^m(x^2-1)*(x^{3n-1})}{y^{3n}*(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Mein Einfall war Mist, hat leider doch nicht geklappt unglücklich

unglücklich

Ich versuche es mit deinem Tipp (den ich zum Glück noch gesehen habe *smile). Die binomische Formel wird wohl die dritte sein:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$

Würde in diesem Fall heißen:

$\begin{eqnarray*} x^2-1=x^2-1^2=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$

Ich wende es an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^m*(x+1)(x-1)*(x^{3n-1})}{y^{3n}*(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre kann ich wegen dem Quadrat im Nenner jetzt ein (x+1) wegkürzen?

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{x^m*(x-1)*(x^{3n-1})}{y^{3n}*(x+1)} \end{eqnarray*}$

Dann wende ich die Multiplikation von Potenzen im Zähler an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+3n-1}*(x-1)}{y^{3n}*(x+1)} \end{eqnarray*}$

OH MEIN GOTT!
Okay...ich glaube ich muss mir das ganze jetzt noch mal ganz in Ruhe anschauen! In der Hoffnung, dass ich das auch noch mal erneut nachstellen kann und ggf. ohne Hilfe rechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir, Jacques, ein riesiges Danke!!!! Gott

Gott

Ich glaube (hoffe), dass es mir sehr helfen wird auch die anderen Aufgaben zu lösen, wenn ich schon mal eine Schritt für Schritt nachvollziehen kann.

07.09.2008, 22:31

WebFritzi

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So ist es richtig! Glückwunsch! smile

smile

07.09.2008, 22:33

jsk85

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BTW: Auch an dich, WebFritzi, danke...und natürlich auch an Hlfer Nr. 3 (Name habe ich grad nicht mehr in Erinnerung).

Einer von euch gibt nicht zufällig NAchhilfe in Hamburg, oder?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2008, 22:34

Jacques

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Alles klar, wenn Du nochmal Fragen hast, kannst Du sie ja wieder hier im Forum stellen. Wink

Wink

Ein "Nachtrag" noch:

Du hattest ja gefragt, warum man bei dem x^(3n) das x "herauszieht", bei dem y^(3m) den entsprechenden Schritt aber nicht macht. Der Grund ist: Bei dem x^(3n) sorgt diese Umformung dafür, dass man später das x im Nenner wegkürzen kann.

07.09.2008, 23:01

jsk85

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Ja...aber das weiß ich doch im Voraus noch nicht.
Aber wahrsch. sollte ich es wissen....vielleicht kommt mit dem Pauken jetzt ja auch bald für mich die Erleuchtung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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