affine Abbildung und Projektivität

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09.06.2006, 14:54	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
affine Abbildung und Projektivität Hi... ich hab folgende Aufgabe: sei $\begin{eqnarray} g: K^n \to K^n, x \mapsto Ax + b \end{eqnarray}$ eine bijektive affine Abbildung. zu zeigen: die Multiplikation mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & A \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ induziert eine Projektivität $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb P_K^n \end{eqnarray}$ fortsetzt. Frage: heißt das g' ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray} K^n \text{ nach } \mathbb P_K^n \end{eqnarray}$ ? Ich hab das mal an nem Beispiel probiert, aber es klappt nicht... wir nehmen K2 und A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} g: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x + 2y + 3\\ 2x + y + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber die Matrix würde ja jetzt so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da wäre doch überhaupt keine Multiplikation definiert? aber A ist doch sicher die darstellende Matrix einer linearen Abbildung vom R2 in den R2 - und b müsste demzufolge ein Vektor aus R2 sein? - was ist daran falsch?
09.06.2006, 17:56	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe dein BSP nicht durchgerechnet, aber hast du mal probiert ob $\begin{eqnarray} g' : \mathbb{P}^n_K \rightarrow \mathbb{P}^n_K \end{eqnarray}$ Sinn macht? man kann den n-dimensionalen projektiven Raum ja als Erweiterung des K^n mit geeigeneten Unendlichpunkten ansehen, in Matrixform sieht das genau so aus, wie du das in der "zu zeigen" Zeile angegeben hast.
09.06.2006, 22:06	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
das könnte hinhauen... mein Problem ist nur das Wort fortsetzt... - setzt eine Abbildung g nicht eine Abbildung f fort, wenn der Bildbereich von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von g ist? - also g quasi aus dem Bild von f nochmal weiter in eine neue Menge abbildet? - das funktioniert hier nämlich glaub ich nicht...
09.06.2006, 23:28	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Fortsetzung setzt den Definitionsbereich fort, also wenn g eine Fortsetzung von f ist, und f den Defbereich D hat, dann ist g eingeschränkt auf D gleich f. Und genau das funktioniert hier sehr gut mit D=K^n
11.06.2006, 22:40	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also quasi wird die Struktur einer Abbildung beibehalten, aber in einem größeren Definitionsbereich betrachtet... versteh ich das richtig?
12.06.2006, 17:25	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mir das jetzt ungefähr so gedacht: $\begin{eqnarray} g' : \mathbb P_K^n \to \mathbb P_K^n, [x_0 : ... : x_n] \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & A \end{pmatrix} \cdot [x_0 : ... : x_n] + \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann das ungefähr hinhauen? - weil ich hab einfach das Gefühl, ich blick da immer noch nicht so durch... würde jetzt sagen wenn ich g' auf $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ einschränke, dann ist einfach $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ und dann stimmt das mit dem ursprünglichen g überein...
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12.06.2006, 22:32	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz, du brauchst den Vektor (0 b) nicht mehr zusätzlich zu addieren, der steht ja schon in der Matrix. Wenn du auf K^n einschränkst, wählst du x_0=1, nur so kriegst du den ganzen K^n in PK^n eingebettet. Die Teilmenge von PK^n mit x_0=0 ist geometrisch der PK^{n-1}, nicht der K^n.
12.06.2006, 22:44	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, da gab es so eine Einbettung, bei der eine zusätzliche Koordinate eingeführt wurde, die 1 gesetzt wurde - und die muss ich einfach wieder weg nehmen...
13.06.2006, 10:43	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also jetzt der Versuch: sei $\begin{eqnarray} \phi_0: K^n \to \mathbb P_K^n, (x_1,...,x_n) \mapsto [1:x_1: ... :x_n] \end{eqnarray}$ die Einbettung des Kn in den PKn $\begin{eqnarray} g': \mathbb P_K^n \to \mathbb P_K^n, [x_0: ... :x_n] \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & A \end{pmatrix}[x_0 : ... : x_n] \end{eqnarray}$ wenn wir g' auf Kn einschränken wollen muss $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ sein. fasse zusätzlich die homogenen Koord. als Vektor des $\begin{eqnarray} K^{n+1} \end{eqnarray}$ auf. => $\begin{eqnarray} g'\|_{K^n} \left ( \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn ich darauf jetzt $\begin{eqnarray} \phi_0^{-1} \end{eqnarray}$ anwende kriege ich mein ursprüngliches g raus, denn dann ist: $\begin{eqnarray} g(x) = Ax + b \end{eqnarray}$ und damit gezeigt... geht das so?

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