Regel von De Morgan

09.09.2008, 22:04

Musti

Regel von De Morgan

Ist $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Universalmenge und $\begin{eqnarray*} A\in \Omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B\in \Omega \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

1) $\begin{eqnarray*} \complement (A\cap B) = \complement (A) \cup \complement (B) \end{eqnarray*}$ und 2) $\begin{eqnarray*} \complement (A\cup B) = \complement (A) \cap \complement (B) \end{eqnarray*}$

Nun muss ich das beweisen:

$\begin{eqnarray*} x\in \complement (A \cap B) \Rightarrow x \notin A \vee x \notin B \Rightarrow x\in \complement (A) \cup \complement (B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in \complement (A\cup B) \Rightarrow x \notin A \wedge x \notin B \Rightarrow x\in \complement (A) \cap \complement (B) \end{eqnarray*}$

Reicht das als beweis und ist das überhaupt richtig?

Danke

09.09.2008, 23:10

Duedi

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irre ich mich oder ist das, was bei dir jeweils als letztes hinter dem folgepfeil steht, gar keine aussage und somit gar nicht verifizierbar?

09.09.2008, 23:11

Romaxx

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Hallo,

Die Schritte sind etwas groß.
Nach der letzten Folgerung hast du $\begin{eqnarray*} x\in \end{eqnarray*}$ vergessen.
Du musst zeigen, dass die linke Seite in der rechten Seite enthalten ist und umgekehrt.
Das machst du, indem du am Besten gleich Äquivalenzpfeile setzt, oder anschließend in die andere Richtung folgerst.

Vielleicht beginnst du nocheinmal so:

$\begin{eqnarray*} x\in \complement (A \cap B) \Leftrightarrow x\in \Omega \setminus (A \cap B)\Leftrightarrow x\in\Omega \wedge x \notin (A \cap B) \Leftrightarrow x\in\Omega \wedge ( x \notin A \vee x \notin B) \Leftrightarrow \cdots \end{eqnarray*}$

09.09.2008, 23:57

Musti

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Danke ersteinmal...

Hast du mich nicht schon zum Ende gebracht?
Ich muss dahinter doch nur noch das schreiben oder irre ich mich da?

$\begin{eqnarray*} x\in \complement (A \cap B) \Leftrightarrow x\in \Omega \setminus (A \cap B)\Leftrightarrow x\in\Omega \wedge x \notin (A \cap B) \Leftrightarrow x\in\Omega \wedge ( x \notin A \vee x \notin B) \Leftrightarrow x\in \complement (A) \cup \complement (B) \end{eqnarray*}$

Ich hab den anderen Beitrag mal editiert

10.09.2008, 00:03

Romaxx

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Zitat:

Original von Musti
Danke ersteinmal...

Hast du mich nicht schon zum Ende gebracht?
Ich muss dahinter doch nur noch das schreiben oder irre ich mich da?

$\begin{eqnarray*} x\in \complement (A \cap B) \Leftrightarrow x\in \Omega \setminus (A \cap B)\Leftrightarrow x\in\Omega \wedge x \notin (A \cap B) \Leftrightarrow x\in\Omega \wedge ( x \notin A \vee x \notin B) \Leftrightarrow x\in \complement (A) \cup \complement (B) \end{eqnarray*}$

Ich hab den anderen Beitrag mal editiert

Der Vollständigkeithalber verwende noch die Distributivität $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ von, bevor du es zu Ende bringst.

10.09.2008, 00:31

Musti

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Das verstehe ich nicht, wie meinst du das verwirrt

10.09.2008, 00:38

Romaxx

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So ist das gemeint:

$\begin{eqnarray*} x\in\Omega \wedge ( x \notin A \vee x \notin B) \Leftrightarrow (x\in\Omega \wedge x \notin A) \vee (x\in\Omega \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$

10.09.2008, 12:02

Musti

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Aso

Sorry, du hast das Distributivgesetz nocheinmal angewendet und ich habs net verstanden obwohl du es aufgeschrieben hast.

Vielen dank

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