Tangenten von Punkten aus an Graph

25.05.2004, 14:22

Klausurschreiber

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Tangenten von Punkten aus an Graph

Hi,
schreibe am Donnerstag ne Klausur über Analysis und sollte dazu 2 Aufgaben können die mit Tangenten zu tun haben, ich konnte sie allerdings nicht lösen. Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen *hoff*.

a)
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x^2)/(2x-4)
Vom Punkt P(0/1) wird die Tangente t an den Graphen gelegt. Bestimme die Gleichung der Tangenten t.

b)
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+2)*e^(-x)
Von den Punkten Pa(a/0) der x-Achse aus sollen Tangenten an den Graphen Gf gezeichnet werden. Bestimme die Punkte der x-Achse, von denen aus es genau eine Tangente gibt.

Wäre nett wenn mir jemand die Aufgaben lösen könnte (bitte mit kurzen Erklärungen).

Danke im Vorraus, ich geb ma einen aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2004, 14:36

spoonful

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$\begin{align*} y = 1 \end{align*}$ ich hoffe bei a kann ich dir helfen:

wenn ich dich richtig verstanden habe ist deine aufgabe die tangentengleichung im punkt P(0/1) rauszufinden.
$\begin{align*} y = mx + b \end{align*}$

das ist die allgemeine formel der tangente. x und y hast du. m(die steigung) erhälst du, wenn du die funktion ableitest und den funktionswert für x = 0 ausrechnest, denn das ist die steigung in dem punkt.

$\begin{align*} f(x) = (x^2)/(2x-4) \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x) = 2x / 2 = x \end{align*}$

also ist m = 0.

das setzt du jetzt ein:

$\begin{align*} 1 = 0*0 +b \end{align*}$

woraus du erhälst b = 1.

und deine tangentengleichung lautet

$\begin{align*} y = 1 \end{align*}$

bei b kann ich dir nicht helfen. hab kein plan von exponentialfunktionalfunktionen, hoffe aber das die lösung für a hinhaut.

Grüße

25.05.2004, 14:44

m00xi

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Zitat:

Original von spoonful

$\begin{align*} f(x) = (x^2)/(2x-4) \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x) = 2x / 2 = x \end{align*}$

Grüße

Halt! Die Ableitung von
$\begin{align*} f(x) = \frac{x^2}{2x-4} \end{align*}$ ist NICHT $\begin{align*} f'(x)=\frac{2x}{2} \end{align*}$ .
Du musst die Quotientenregel anwenden, und dann kommt raus:
$\begin{align*} f'(x)=\frac{2x\(2x-4\)-2x^2}{\(2x-4\)^2} \end{align*}$

Ich überlege grad noch, kann dir also nicht wirklcih viel zur Aufgabe selber sagen.

Gruß
Hanno

25.05.2004, 14:45

Ben Sisko

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Mal eben schnell, damit bei Klausurschreiber keine Verwrrung entsteht: spoonfuls Lösung ist falsch, denn er geht davonaus, dass der Berührpunkt der Tangente an den Graphen (0/1) ist, das ist aber hier nicht der Fall, da (0/1) nicht auf dem Graphen der Funktion liegt. Es soll eine Tangente an den Graphen gelegt werden, die auch durch (0/1) geht.

Für Näheres habe ich im Moment leider keine Zeit. Vielleicht später, oder jemand anderes??

Gruß vom Ben

25.05.2004, 14:52

m00xi

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hiho.
Also ich würde da so ansetzen:
Du suchst einen Punkt x für den gilt:
$\begin{align*} f(x)-(x*f'(x))=1 \end{align*}$ .

Ich schreibe das grad auf, es ist nicht wenig.
Ich hoffe dass ich in 15 minuten so weit bin.

Gruß
Hanno

25.05.2004, 15:07

spoonful

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25.05.2004, 15:08

spoonful

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ohja sorry, da war ich wohl etwas zu schnell bei der hand und dabei sahs so schön einfach aus..

25.05.2004, 15:14

m00xi

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So, hier meine Rechnung, ich hoffe ich mache keine Flüchtigkeitsfehler:
$\begin{align*} \frac{x^2}{2x-4}-\frac{\(2x(2x-4)-2x^2\)x}{(2x-4)^2}=1 \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{x^2}{2x-4}-\frac{2x^2(2x-4)-2x^3}{(2x-4)^2}=1 \end{align*}$
$\begin{align*} x^2(2x-4)-2x^2(2x-4)+2x^3=(2x-4)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} 2x^3-4x^2-4x^3+8x^2+2x^3=4x^2-16x+16 \end{align*}$
Nun fällt ziemlich viel weg und übrig bleibt:
$\begin{align*} 16x=16 \Rightarrow x=1 \end{align*}$

Die Tagente muss also an Punkt $\begin{align*} (1|f(x)) \end{align*}$ den Graph berühren.
Mein Taschenrechner stimmt dem übrigens auch zu, wenn ich seine Daten richtig deute smile

smile

Gruß
Hanno

25.05.2004, 15:22

spoonful

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Zitat:

Original von m00xi
Du suchst einen Punkt x für den gilt:
$\begin{align*} f(x)-(x*f'(x))=1 \end{align*}$ .

frage: wie bist du auf diese gleichung gekommen?

grüße

25.05.2004, 15:34

m00xi

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Ich habe mir das so gedacht:
Es gibt einen punkt x für den die Tangente t den graph berührt. Das habe ich mir gedacht. Wenn es diesen Punkt gibt, dann muss die Tangente von ihrem "Startpunkt" bis zu diesem Punkt (x|f(x)) mit ihrer Steigung dorthin gekommen sein. Mit jedem Schritt um 1 nach rechts steigt der X-Wert der Tangente um f'(x). Nach x Schritten also ( von der Y-Achse mit y=0 bis zu diesem ominösen Punkt x ) hat die Tangente also einen höhenunterschied von x*f'(x) hinter sich. Und genau dies drücke ich in der Formel aus:
Ich ziehe vom punkt (x|f(x)) genau x*f'(x) y-einheiten ab und setze voraus, dass der Y-Wert dann 1 ist und somit die Tangente durch (0|1) verlaufen würde.

Man kann es schwer erklären, hast du verstanden, wie ich es mir gedach habe?

Gruß
HAnno

25.05.2004, 15:37

m00xi

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So, bei der zweiten Aufgabe kann man sich die gleiche Formel ein wenig abgeändert zu Nutze machen.
Ich sage nun:
$\begin{align*} f(x)-xf'(x)=a-af'(x) \end{align*}$
Die einzige Änderung ist, dass nicht 1 sondern ein anderer Term rechts steht. Dieser Term tut aberauch nichts anderes, als den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu errechnen, wenn es eine Tangente durch a gäbe.

Eingesetzt ergäbe das:
$\begin{align*} \frac{x+2}{e^x}-\(\frac{-1-x}{e^x}\)x=a-\(a\ \frac{-1-x}{e^x}\) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{x^2+2x+2}{e^x}=a-\(a\ \frac{-1-x}{e^x}\) \end{align*}$

Wie man jetzt feststellt, für welche Werte er gilt, das weiß ich leider auch nicht unglücklich

unglücklich

Es fehlt noch die zweite Gleichung, dann wär'S gut, aber da lieg ich auf eis.

Gruß
Hanno

25.05.2004, 15:45

Leopold

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@ m00xi
Prima Idee, es so zu machen.

Man könnte es aber etwas anders erklären:
T(x|f(x)) sei der Graphenpunkt, in dem die Tangente den Graphen berührt. Die Tangente hat die Steigung f'(x). Die Steigung einer Geraden kann man aber mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Punkte: Steigungsdreieck zwischen P(0|1) und T(x|f(x))
Ordinatendifferenz (OD) = f(x)-1
Abszissendifferenz (AD) = x-0

Steigung = OD/AD = (f(x)-1)/x
andererseits: Steigung = f'(x)

gleichsetzen: f'(x) = (f(x)-1)/x

liefert m00xi's Gleichung

25.05.2004, 15:54

m00xi

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Ah, das merke ich mir, danke Leopold!
Weißt du denn auch, wie man bei der zweiten Frage weiterkommen könnte?
Ich knobel grad. Entweder man findet eine zweite Gleichung, oder, was ich grade versuche zu klären, man stellt bedingungen auf, unter welchen sich das Polynom in der Gleichung auf Grad 1 reduziert und somit nur eine Lösung in Frage kommt.
Was sagst du dazu?

Gruß
Hanno

25.05.2004, 15:55

spoonful

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danke für die erklärungen ich denke jetzt hab ichs verstanden! elegante lösungen

grüße
Spoonful

25.05.2004, 15:58

Leopold

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Ich bekomme

$\begin{align*} \frac{e^{-x}(x+2)}{x-a} \ = \ -e^{-x}(x+1) \end{align*}$

Und hier darf man (ausnahmsweise) bedenkenlos durch den e-Teil dividieren, weil die e-Funktion niemals 0 wird.

... quadratische Gleichung ... Diskriminante ...

25.05.2004, 16:19

m00xi

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Hm, Leopold, 2 Fragen:
1) wie bist du darauf gekommen
2) was nützt es dir?

Gruß
Hanno

25.05.2004, 19:01

checkor

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hab die 2te Aufgabe gelöst:

als erstes:
Tangentensteigung: (von P nach Q)

m = (f(x)-0)/(x-a)

Das dann gleichsetzen mit der ersten Ableitung des Graphen.
dann kann man das zu na quadratischen gleichung umstellen und quasi in die pq formel einsetzen.
um nur eine lösung zu erhalten muss man nun die diskriminante =0 setzen und erhält für a +/- 2 ;D

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