Potenzreihe, Konvergenz

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25.05.2004, 14:59	Maesta	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe, Konvergenz Wie zeigt man, dass die Potenzreihe $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~ x^k(1-x) \end{align}$ punktweise aber nicht gleichmäßig auf D=[ 0,1] konvergiert ??? Die Summe läuft bis unendlich. Wäre für Hilfe sehr dankbar
25.05.2004, 18:13	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x=1 hast Du Konvergenz gegen Null, ansonsten 1-x vor die Summe ziehen und geometrische Reihe ausrechnen, d.h. für 0\leq x<1 hast Du pktw. GW 1. Um die gleichm. Konv. zu widerlegen lasse n fest und betrachte den Grenzwert für x gegen 1: $\begin{align} (1-x)\Bigsum_{k=1}^n~ x^k -1 = (1-x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1=-x^{n+1} \rightarrow \pm1 (x\rightarrow 1) \end{align}$ Liebe Grüße Mario
25.05.2004, 18:45	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise Konvergenz hat Mario richtig erklärt, bei der nichtgleichmäßigen hat sich vermutlich ein Fehler eingeschlichen. EDIT: Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil! g Kein Fehler bei Mario, siehe sein Beitrag unten. Die n-te Partialsumme kann man vereinfachen zu $\begin{align} f_n(x) = (1-x)\Bigsum_{k=0}^n x^k = (1-x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1-x^{n+1} \end{align}$ Die punktweise Grenzfunktion ist damit f(x)=1 für 0<=x<1, f(1)=0. Jede einzelne Partialsummen geht für x->1 gegen 0. Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass die maximale Abweichung zur Grenzfunktion gegen 0 geht, oder? Also $\begin{align} \lim_{n\to\infty}\ \sup_{0\leq x\leq 1}\ \|f_n(x) - f(x)\| = 0 \end{align}$ . Da $\begin{align} \lim_{x\to1} f_n(x) = 0 \end{align}$ , wie ich eben gezeigt habe, aber $\begin{align} \lim_{x\to1} f(x) = 1 \end{align}$ ist, kann man zu jeder Zahl 0<e<1 ein x finden, so dass \|f_n(x) - f(x)\| > e ist. Damit ist das Supremum stets >= 1 (sogar = 1, aber das ist gar nicht mehr wichtig). Das sollte ausreichen, um die nicht gleichmäßige Konvergenz zu zeigen.
25.05.2004, 18:53	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebendies habe ich mit obiger Ausführung beabsichtigt zu zeigen: Ich habe die PR minus Grenzfkt. (=1 (x\neq 1)) genommen und dann den GÜ gemacht. Angenommen, es gebe 0<e<1, so dass n_0 geeignet gewählt werden kann, gilt für dieses nun fixe n_0 meine Grenzbetrachtung, d.h. die Differenz übersteigt in der Nähe von 1 das e, Widerspruch... Denke schon, dass das passt, lasse mich aber gern eines besseren belehren... ;-) Liebe Grüße Mario
25.05.2004, 18:55	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
P.S. Ok., ich hab die Beträge vergessen... Denke man sich hinzu... :-) (Dafür aber schön ordentlich \pm 1 geschrieben...) Liebe Grüße Mario
25.05.2004, 18:59	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh! Ja, das ergibt Sinn! Damit kommen wir auf dasselbe raus: $\begin{align} \lim_{x\to1} \|f_n(x) - f(x)\| = 1 \end{align}$ für jedes n. Die restliche Argumentation unterscheidet sich nur noch in technischen Details (welche natürlich für den Anfänger ziemlich wichtig sind), aber da soll Maesta uns sagen, wie er's kennt und ob ihm unsere bisherige Hilfe schon ausreicht. Gruss, SirJective
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25.05.2004, 19:06	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematik ist glaube ich schon männlich genug dominiert; lassen wir ruhig weiblich sein, was weiblich ist ;-) Ansonsten allen einen schönen Tag noch... Liebe Grüße Mario
25.05.2004, 19:17	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider wird beim Antworten das Geschlecht der Schreiber nicht angezeigt, und den Namen Maesta kannte ich noch nicht. Bitte verzeih mir, liebe Maesta! Aber eigentlich ist mir das Geschlecht des Fragestellers auch egal, es fehlt mir nur ein geschlechtsneutrales Pronomen anstelle von "er/sie" (und "es" ist nicht geschlechtsneutral, sondern geschlechtslos).
25.05.2004, 21:31	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
hab da mal auch ne frage zu!!! was ist, wenn ich folgende reihe habe?? $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~ (-1)^k \cdot x^k \cdot (1 - x) \end{align}$ die müsste ja gleichmäßig auf D=[0,1] konvergieren!!! aber wie zeig ich das???? mfg summer
21.10.2004, 14:50	Ga(r)st(ig)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe, Konvergenz Hier wird mit Kanonen auf Spatzen geschossen! Sei $\begin{eqnarray} f_n:=(1-x)\sum_{k=1}^nx^k=x-x^{n+1} \end{eqnarray}$ . Die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=\left\{ \begin{array}{r@{\quad:\quad}l}x&x<1\\ 0&x=1\end{array}\right. \end{eqnarray}$ ist offensichtlich unstetig auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Da alle $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ dort aber stetig sind, kann keine glm. Kgz vorliegen.

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