Ellipse und Sehne ..

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layla Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse und Sehne ..
Hy
ich verzweifel grad an einer aufgabe:

Die ellipse 3x²+4y²=108 schneidet von der geraden 3x+2y=18 eine sehne ab. gesucht ist die länge dieser sehne und ihr abstand vom mittelpunkt der ellipse.

hab null ahnung wie ich das anpacken könnte

Hilfe


ps lösungen : S1 (6/0) S2 (3/4.5), länge der sehne ca. 5.4 ; abstand vom mittelpunkt ca 5;
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Geradengleichung nach x (oder y) auflösen und den Term in die Ellipsengleichung einsetzen. Oder noch einfacher:

I 3x²+4y² =108 <=> 3x²+(2y)² = 108
II 3x+2y = 18 <=> 2y = 18 - 3x

Jetzt 2y oben einsetzen. Dann erhältst du eine Gleichung in x. Die mußt du lösen. Die x-Werte dann bei II einsetzen. Du erhältst die y-Werte.

Die Länge der Sehne bekommst du mit Pythagoras.

Den Abstand des Mittelpunktes von der Sehne kannst du, falls du das kennst, mit der Hesseschen Normalform der Geradengleichung ermitteln. Falls du diese nicht kennst, mußt du die Normale (=Senkrechte) zur Sehne durch den Ursprung mit der Geraden schneiden und den Abstand des Schnittpunktes vom Ursprung wieder mit Pythagoras berechnen.

Zur Normalen: Koeffizienten verdrehen und bei einem Koeffizienten das Vorzeichen ändern.

g: 3x+2y = 18
h: 2x-3y = c (h ist eine Normale von g; wenn sie durch den Ursprung gehen soll, muß c=0 sein)
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold:
Was ist das denn für eine Art von Funktion? Ich kenne ja eigenltihc normale Funktionen f(x), polare oder parametrische, aber dies trifft irgendwie auf nichts zu. Was ist das?

Gruß
Hanno
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische Kurven
Zitat:
Was ist das denn für eine Art von Funktion? Ich kenne ja eigenltihc normale Funktionen f(x), polare oder parametrische, aber dies trifft irgendwie auf nichts zu. Was ist das?


Gleichungen wie z.B. x²+y³-2xy²-4x-20=0 bestimmen eine algebraische Kurve, d.h. es gibt Koordinaten x,y von Punkten P(x|y), die die Gleichung erfüllen, andere, die es nicht tun. Die gültigen Punkte P im Koordinatensystem liegen auf der Kurve, die anderen nicht.

Im einfachsten (linearen) Fall erhält man eine Gerade, z.B. 2x+3y-4=0. Die Kurven, die man für quadratische Terme wie z.B. 2x²-3y²+8xy-2x+3y-10=0 erhält (sogenannte Quadriken), sind Ellipsen (darunter Kreise), Hyperbeln und Parabeln. Für höhere Grade kann das ganz schön kompliziert werden. Da gibt es Zusammenhänge mit dem Satz von Fermat. Die Tatsache, daß die Gleichung u³+v³=w³ keine ganzzahligen Lösungen u,v,w ungleich 0 besitzt, bedeutet, daß auf der Kurve x³+y³=1 keine Punkte mit rationalen Koordinaten liegen (setze x=u/w, y=v/w). Siehe auch den Thread "Analysis/gedrehte Parabeln" vom 3.5.2004.

Und hier das Exemplar x³+y³=1 in seiner ganzen Schönheit:
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