Determinante der Householder Spiegelung

12.06.2006, 20:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante der Householder Spiegelung Servus, beim Durchgehen meiner Unterlagen habe ich mir folgende Frage gestellt: Wie zeige ich, dass die für die HouseholderMatrix H det(H) = -1 gilt. Definition: $\begin{eqnarray} H = I - 2uu^{T} \end{eqnarray}$ H ist orthogonal, also $\begin{eqnarray} H^{-1} = H^{T} \end{eqnarray}$ und H ist symmetrisch,d.h. $\begin{eqnarray} H = H^{T} \end{eqnarray}$ Wegen orthogonal weiß man ja nun schon \|det(A)\| = 1. Aber wie zeigt man das Vorzeichen? Gruß
12.06.2006, 22:15	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante der Householder Spiegelung Ist das überhaupt wahr? Falls $\begin{eqnarray} H \in {\mathbb{R}}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ auch eine Givens-Matrix, und für die gilt $\begin{eqnarray} det(H) = 1 \end{eqnarray}$ .
12.06.2006, 22:49	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
wähle eine Orthonormalbasis in der u der erste Basisvektor ist, dann kannst du zeigen das H in dieser Basis so aussieht wie die Einheitsmatrix mit einem Minuszeichen vor der ersten Eins. Dementsprechend hat sie Determinante -1.
13.06.2006, 15:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, die idee mit dem Basiswechsel kam mir auch heute morgen. Aber schön schon die Konstruktion zu haben. Danke. Wahr ist die Aussage denke ich schon. un bei einer Givens-Matrix handelt es sich um eine Drehung im Gegensatz zur Spiegelung. Givens kann auch für 2x2 nicht gleich Householder sein, denn die sind symmetrisch, und das sind Givens-Rotations offensichtlich nicht. Gruß
13.06.2006, 16:37	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.psi.toronto.edu/matrix/special.html#Householder Da unten stehts aber so.
13.06.2006, 17:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Stehts eben nicht. da steht das die Givens-Reflexionen im 2x2 gleich den Householder Spiegelungen sind. Darunter stehen die Givensrotationen, und die sind def verschieden, da nicht symmetrisch. Ansonten haben sowohl Givens-Rotations als auch Householder-Spiegelung eine det mit Betrag 1. Das Vorzeichen der Determiante sagt aus, ob eine lin. Abbildund orientierungstreu ist oder nicht. Drehungen sind es, also hier det(GR) = +1, und Spiegelungen sind es nicht, also det (HS) = -1.
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13.06.2006, 20:56	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. Ich wusste nicht, dass es zwei Typen von Givens-Matrizen gibt und dachte dass es die Rotationen sind.

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