inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

10.09.2008, 11:16

Thomas01

inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

Hallo,

zerbreche mir den Kopf mit einer Aufgabe, die ich überhaupt so nicht verstehe. Habe Bücher zum Thema gelesen und es kommt alles sehr langsam. Meist verstehe ich aber nicht viel.

Die Aufgabe ist:

Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} y'(x) + 2y(x) = 6 \end{eqnarray*}$

So die Gleichung ist: inhomogen, 1. Ordnung, implizit und linear

jetzt muss ich die allgemeine Lösung ermitteln.
(Hinweis: Bentzen Sie den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = 3 + ae^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ )

So gehe ich vor:

(1)
zugehärige homogene gleichung:
$\begin{eqnarray*} y'(x) + 2y(x) = 0 \end{eqnarray*}$

(2) nun nehme ich den Ansatz und leite das nach y auf:
$\begin{eqnarray*} y'(x) = \lambda ae^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

(3) setze das y(x) und y'(x) vom Ansatz in die homogene Gleichung aus (1)
$\begin{eqnarray*} \lambda ae^{\lambda x} + 2ae^{\lambda x} = 0 \end{eqnarray*}$

und löse das nach Lambda auf:

$\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

(4) Yp=Co und Yp'=0 setze dies in meine ausgangsgleichung
$\begin{eqnarray*} Yp' + 2Yp= 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Co= 3 \end{eqnarray*}$

(5) alles zusammenführen
$\begin{eqnarray*} y = ae^{-2x} + 3 \end{eqnarray*}$

Somit habe ich die allgemeine Lösung!!!!

Stimmt das soweit??????

Nun soll ich die Differentialgleichung für die Ausgangsbedingung lösen y(1) = 9

leider verstehe ich hier nix mehr!!!
Kann mir einer Helfen

10.09.2008, 11:31

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Thomas01
(2) nun nehme ich den Ansatz und leite das nach y auf:
$\begin{eqnarray*} y'(x) = \lambda ae^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Bitte nicht "aufleiten", vor allem nicht da, wo eigentlich nach x abgeleitet wird. smile

Zitat:

Original von Thomas01
Somit habe ich die allgemeine Lösung!!!!

Stimmt das soweit??????

Ja.

Zitat:

Original von Thomas01
Nun soll ich die Differentialgleichung für die Ausgangsbedingung lösen y(1) = 9

Anders formuliert: Wie muß das a in der allgemeinen Lösung gewählt werden, daß y(1)=9 ist? Das führt auf eine relativ simple Gleichung.

10.09.2008, 11:51

Thomas01

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ok wenn ich die Formel nehme

$\begin{eqnarray*} y = ae^{-2x} + 3 \end{eqnarray*}$

und die Werte einsetze und dann nach a umstelle bekomme ich a = 44.3343

Stimmt das? Weil die Lösung des Profs ist eine etwas andere

10.09.2008, 12:00

klarsoweit

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Also ich komme auf $\begin{eqnarray*} 6e^2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Und daß Profs was anderes raus haben, ist keine Seltenheit. smile

10.09.2008, 12:06

Thomas01

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ok der Prof kommt auf die selbe Lösung wie du

Bist du ein Prof? Big Laugh

hmmm

10.09.2008, 12:13

Thomas01

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wie kommst du auf das Ergebnis

also wo mache etwas anders damit ich auf dein Ergebnis komme:

(1)
$\begin{eqnarray*} 9 = 3 + ae^{-2} \end{eqnarray*}$

(2)
$\begin{eqnarray*} ae^{-2} = 6 \end{eqnarray*}$

(3)
$\begin{eqnarray*} a = \frac{6}{e^{-2}} \end{eqnarray*}$

10.09.2008, 12:18

Thomas01

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ahhh lol nun sehe ich das

10.09.2008, 12:49

Thomas01

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leider habe ich im punkt

(3) setze das y(x) und y'(x) vom Ansatz in die homogene Gleichung aus (1)
$\begin{eqnarray*} \lambda ae^{\lambda x} + 2ae^{\lambda x} = 0 \end{eqnarray*}$

noch ein Fehler, denn y(x) ist nicht = $\begin{eqnarray*} ae^{lambda x} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 3+ ae^{lambda x} \end{eqnarray*}$

aber wieso komme ich auf das richtige ergebnis???

10.09.2008, 12:59

klarsoweit

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Halt! Zur Lösung der homogenen DGL muß man den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x)=a \cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ nehmen und nicht den Ansatz für die partikuläre Lösung.

10.09.2008, 13:02

Thomas01

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ok vielen Dank!

08.01.2011, 16:12

Gipsyjoe

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hab mal ne Frage, müsste es hier nicht eine homogenen und eine partikuläre Lösung geben?
das ist doch eine INHOMOGENE Diffgleichung 1.Grades... da berechnet man doch die Lösung durch variation der konstanten??

dann ist die Gesamtlösung doch: $\begin{eqnarray*} y=3+6e^(2-2x) + Partikulaereloesung \end{eqnarray*}$

hab ich da was falsch verstanden??

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