Interessante Aufgabe zu impliziter Funktion

12.06.2006, 22:19

akechi90

Interessante Aufgabe zu impliziter Funktion

Ich habe eine kleine Aufgabe erfunden, um die Hobbymathematiker ein wenig zu unterhalten. Sie scheint zwar einfach, ist es aber ganz und gar nicht. Da es nicht direkt Analysis ist, habe ich sie hier reingestellt:

Es sei eine implizite Funktion gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} x^{y}-y^{x}=0 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion setzt sich im ersten Quadranten aus zwei Teilschaubildern f1 und f2 zusammen.

f1 und f2 schneiden sich in einem Punkt P.

Berechne dessen Koordinaten.

(Ich hab die Aufgabe mit der Gleichung mal für mich selbst aufgestellt, und war im Übrigen selbst verblüfft über das Ergebnis, das dabei rauskam; deswegen will ich allen anderen Mathematikern auch die Gelegenheit geben, das auszuprobieren).

Wer eine Lösung gefunden hat, soll sie hier mit Beweis reinposten.
Wenn das Rätsel nach exakt vier Woche nicht gelöst worden ist, löse ich auf.
Computerlösungen sind nicht erlaubt, und dürfen nicht gepostet werden.

12.06.2006, 22:34

swerbe

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*zensiert, da ich schwachsinn geschrieben habe...sorry*

12.06.2006, 23:24

sqrt(2)

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Punkte der impliziten Funktion sind zunächst die mit $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ . Es ist

$\begin{eqnarray*} x^y &=& y^x \\ y \ln x &=& x \ln y \\ \frac{y}{\ln y} &=& \frac{x}{\ln x} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x}{\ln x} \end{eqnarray*}$ hat man also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} g(y) = g(x) \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nimmt jeden Wert aus $\begin{eqnarray*} (0,e) \end{eqnarray*}$ an zwei unterschiedlichen Stellen an und beschreibt daher die nichttrivialen Lösungen der Gleichung, jeweils ein Wert links un ein Wert rechts vom Maximum der Funktion bei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Im Maximum $\begin{eqnarray*} (e|e) \end{eqnarray*}$ fallen schließlich triviale und nichttriviale Lösung zusammen.

13.06.2006, 01:03

akechi90

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Das ist richtig und ausführlich. Klasse Freude

Hätte nicht gedacht, dass es so schnell gelöst wird xD

13.06.2006, 23:26

akechi90

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OK, nun wird die Aufgabe verschärft:

Es sei zu beweisen, dass sich in einem n-dimensionalen Raum die Lösungsmengen der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a^{bcd...} = b^{acd...} = c^{abd...} = ... = n^{abc...} \end{eqnarray*}$

stets im Punkt P(e/e/e/.../e) schneiden, wobei jeder Exponent das Produkt der Zahlen a - n ausgenommen der jeweiligen Basis der Potenz sei.
Also kommt z.B. in einer Potenz der Form $\begin{eqnarray*} a^{...} \end{eqnarray*}$ lediglich das a nicht mehr im Exponenten vor.

Der Satz ist zu beweisen. Darüber hinaus sei zu beweisen, dass die Lösungsmenge im n-dimensionalen Raum aus genau $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ Kurven besteht.

Das ist natürlich nur der Anfang von dem, was ich noch in dieser Aufgabe vorhabe Augenzwinkern

EDIT: In der Angabe der Kurvenanazhl habe ich einen Fehler gemacht, den ich jetzt korrigiert habe.

13.06.2006, 23:53

Calvin

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Ich bin echt erstaunt, was man mit 15 Jahren schon alles können kann geschockt

Wirst du von der Schule irgendwie gefördert? Oder beschäftigst du dich privat viel damit?

14.06.2006, 00:03

akechi90

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Ich bin hochbegabt, und Mathematik sehe ich einfach als Hobby, weil es mir Spaß macht.
Aber ich verabscheue die triviale Schulmathematik, in der man alles von Anfang an vorgekaut bekommt. Deswegen versuche ich mit Dingen zu arbeiten, die nicht einfach nach Anleitung zu lösen sind, sondern ein wenig eigenes Verständnis erfordern.
Deswegen beschäftige ich mich einfach gerne mit etwas höherer Mathematik, als sie einem in der Schule beigebracht wird.
Gefördert? Schön wärs gewesen, aber ich bin an nem normalen Gymi, auf dem die Lehrer nicht über den Aufgabenrahmen hinaus sehen können.
Wenn ich eine abstrakte Lösungsmethode bringen will, kommen die Lehrer meistens mit Sätzen wie "Das begreift doch keiner."

Na ja, aber kommen wir auf die Aufgabe zurück.
Es gibt einen eindeutigen Beweis, zumindest für den ersten Teilraum, in den das n-dimensionale Koordinatensystem unter anderem zerlegt wird, also wo
$\begin{eqnarray*} a,b,c,...,n > 0 \end{eqnarray*}$

14.06.2006, 00:07

Calvin

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Zitat:

Original von akechi90
Ich bin hochbegabt...

OK, dann brauche ich kein schlechtes Gewissen zu haben, wenn ich die Aufgaben nicht kann Augenzwinkern

Ansonsten: weiter so. Du wirst schon noch auf Leute treffen, die dich entsprechend fördern Freude

Gruß
Calvin, der in diesem Thread nicht weiter stört Augenzwinkern

14.06.2006, 01:13

JochenX

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Du hast da ein Gleichungssystem, ich wüsste nicht, wieso das mehrere Lösungsmengen haben sollte.
Das hat eine Lösungsmenge (sie ist nichtleer), aber wieso sich eine Lösungsmenge schneiden (mit was?) sollte, musst du schon noch näher erklären.

Außerdem ist das so keine Gleichung, sondern eine Gleichungskette und ich nehme an, man soll nachher aus jeder paarweisen Gleichheit irgendwas entnehmen.....

14.06.2006, 09:20

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Da muss ich Jochen zustimmen, hier gibt es ein Formulierungsproblem: Es gibt nicht die Lösungsmengen, sondern nur die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Und die enthält neben (e/e/e/.../e) u.a. alle Punkte (x/x/x/.../x) mit positivem reellen x.

Vielleicht willst du ja eine oder mehrere der Variablen a,b,...,n als Parameter auffassen und das System bzgl. der anderen Variablen lösen - aber dann musst du das auch klar so sagen.

EDIT: Zum Gleichungssystem selbst: Ich verwende mal $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a,b,\ldots,n \end{eqnarray*}$ , schreibt sich einfach besser. Du hast es zwar nicht erwähnt, aber ich denke mal, man soll sich auf positive $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ beschränken, oder?

Wenn man dann $\begin{eqnarray*} p:=\prod\limits_{k=1}^n ~ x_k \end{eqnarray*}$ setzt, muss $\begin{eqnarray*} x_k^{p/x_k}=x_j^{p/x_j} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k<j\leq n \end{eqnarray*}$ gelten, das ergibt nach Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x_k)}{x_k} = \frac{\ln(x_j)}{x_j} \end{eqnarray*}$ , was wir oben ja schon hatten.

Ist also $\begin{eqnarray*} x_k=e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_k\leq 1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , dann müssen alle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ des Lösungstupels einander gleich sein. Für alle anderen Werte kommen Lösungsscharen $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ der Struktur $\begin{eqnarray*} x_k\in\{u,v\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<u<e<v \end{eqnarray*}$ zustande, wobei $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(u)}{u} = \frac{\ln(v)}{v} \end{eqnarray*}$ erfüllen mögen.

14.06.2006, 19:20

akechi90

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Tut mir leid, ich habe einen dummen Fehler in der Aufgabenstellung begangen:

Es sei natürlich zu beweisen, dass die Lösungsmenge der Gleichung in Schaubild aus $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ einzelnen Kurven zusammensetzt, und sich diese alle NUR in P(e/e/e/.../e) schneiden.

Übrigens ist jeder Punkt P(x/x/.../x) für beliebiges x>0 der Punkt von nur einer einzigen der Kurven.

Entschuldigung, das tut mir leid, wenn ich euch damit verwirrt habe

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