Ellipsentangente

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Mathemäuschen Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipsentangente
Hallo, ich habe die folgende Aufgabe zu lösen und komme irgendwie nicht zu Potte, also wenn zwischen den WM-Spielen noch Zeit bleibt:
gegeben sind eine Ellipse
Und das Rechteck ABCD mit den Punkten A(3,0);B(3,-2);C(2,-2);D(2,0).
Jetzt drehe ich das Rechteck um B, der Punkt bleibt also immer fix.
Frage: wie weit muss ich ABCD drehen, damit die Seite CD tangential an die Ellipse anliegt und was sind die Koordinaten des Berührpunktes?
Ich habe schon alles versucht, finde aber irgendwie keinen gescheiten Ansatz und die Rechnungen werden total unübersichtlich.
Ich hätte gerne noch eine Zeichnung eingefügt, habe aber keine Ahnung wie man das macht. Man kann es sich aber glaube ich auch vorstellen.
Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar. Hammer
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipsentangente
Hallo,

Mathemäuschen ist gut Augenzwinkern

ich hab die Werte berechnet. Eine exakte Lösung
ist zwar erreichbar, aber kaum sinnvoll, sodass ich dir
nur mit dem Näherungwert dienen kann.

Weiter kann ich mir kaum vorstellen dass du das tatsächlich
berechnen sollst, eher schon dass du es willst, warum auch immer.

C1(3.901623730 ; -1.567478729)
und der Berührpunkt
B1(2.857430702 ; 0.6092216458)

C2(2.723702409 ; -2.961072131)
B2(-1.187950103 ; -1.836515366)


in beiden Fällen berührt nicht die Rechteckseite, sondern die
Verlängerung.


Der Weg,
aufstellen der allgemeinen Tangentengl an E in x1

1/9*x*x1+1/6*y*sqrt(-x1^2+9) = 1

und damit die Berührbedingung für den Kreis um B mit Radius 1
aufstellen.

((1/9*x1)^2+(1/6*sqrt(-x1^2+9))^2)*1 - ((1/9*x1)*3+(1/6*sqrt(-x1^2+9))*(-2)-1)^2 = 0

Deren Lösung führt dann zu den beiden E.Berührstellen
x1 =2.857430702
x2 =-1.187950103

nicht unbedingt lustig die Rechnung
.
 
 
Mathemäuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Herr Poff, vielen Dank für deine Antworten. Du hast völlig recht mit deiner Vermutung, dass ich mir die Aufgabe eher selbst gestellt habe, als sie gestellt bekommen zu haben. Trotzdem ist die Lösung wichtig. Es handelt sich um einen Schritt in meiner Staatsexamensarbeit, die mit Ellipsen hantiert. Ich hatte lediglich beispielhafte Punkte genommen, daher die unschönen Zahlen. Ich habe allerdings dasalles noch nicht ganz verstanden.
Die allgemeine Tangentengleichung an E habe ich ja noch verstanden, dann aber das mit dem Kreis und dessen Tangentengleichung... . Geometrisch leuchtet mir das ja ein und die Idee ist überaus gut, aber ich kanns noch nicht selber lösen und wenn ich das Verfahren verallgemeinern möchte, werde ich natürlich so scheitern.
Vielleicht ist mir die allgemeine Tangentengleichung für den Kreis auch gerade nicht präsent; ich rate aber mal in diesem Falle: .
Das finde ich aber in deiner Rechnung irgendwie nicht. Und mir ist schleierhaft, warum du plötzlich nur noch eine Variable hast?!? Wäre nett, wenn mir das nochmal jemand versuchen würde zu erklären, auch wenn Ellipsen offensichtlich enorm kompliziert sind.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Poff verwendet nicht die allg. tangentengleichung an den kreis, sondern die berührbedingung (deine "tangentenvermutung" ist richtig, wenn der punkt P auf dem kreis liegt, was hier für den ellipsenberührungspunkt nicht zutrifft).
und poff hat dann nur mehr eine unbekannte, weil er für die x2 (oder y)-koordinate aus der ellipse eingesetzt hat, da ja der berührungspunkt auf dieser liegt.
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Staatsexamen, soso. Augenzwinkern

Das Problem ist in dieser Form noch allgemein auflösbar weil es nur
auf eine Gl. 4.Grades führt für die bekannterweise eine Auflösung
existiert, wenn auch nicht sonderlich handlich.

Die Berührbedingung für den Kreis

Die Gerade a*x+b*y+c=0 ist genau dann Tangente an den
Kreis (M(xm|ym) ; r) wenn folgendes erfüllt ist:

(a^2+b^2)*r^2 - (a*xm+b*ym+c)^2 = 0


Die Gerade die das nun erfüllen soll ist deine allgemeine Tangente
an die Ellipse E. Aus deren Komponenten kannst diesen Zusammen-
hang allgemein aufstellen. Ergibt eine Bedingung in den beiden
unbekannten Koordinaten des Ellipsenberührpunktes B.
Eine davon musst über die Eigenschaft Punkt B liegt auf Ellipse E
eliminieren, vorher oder nacher (sieh Werner).
Ergebnis ist Gl. 4.Grades in einer Unbekannten.


Das ist schon ordentlich in die Kiste gegriffen und gerade noch lösbar.
Einen einfacheren Weg sehe ich aktuell nicht, kompliziertere schon
.
Mathemäuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Gott
Mit den letzten beiden Beiträgen habe ich jetzt den ersten verstanden. Bis auf die letzte Zeile. Poff schreibt: Deren Lösung führt dann zu den beiden E. Meine Frage: Wie?
Wenn ich in dem Beispiel richtig gerechnet habe, muss ich die Nullstellen des Polynoms
bestimmen. Ihr sagt ja schon, dass das keine lustige Rechnung ist, aber könntet ihr wenigstens andeuten wie man sowas macht oder aber wo ich das finden kann? In meiner Arbeit lauern nämlich noch ein paar solcher Monster, die ich bislang immer nur numerisch gelöst habe, geht das denn auch analytisch?Poff schreibt ja "gerade noch lösbar".
Von dieser enorm praktischen Berührbedingung habe ich noch nie etwas gehört. Über die muss ich erst noch nachdenken, um euch sagen zu können, ob ich die wirklich verstanden habe.
Ich hoffe die Kiste ich jetzt nicht zu groß geworden, ansonsten gefällt mir das Verfahren sehr gut, auch wenn es nicht gerade elegant erscheint.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wie Poff schon geschrieben hat: laß es sein! ich schicke dir am nachmittag die exakte lösung, die mathematica ausgespuckt hat Teufel
und ein sehr guter link zur lösung algebraischer gleichungen ist dieser. da wird auch der exakte lösungsweg beschrieben.
und ein meiner meinung nach etwas einfacherer (???) weg ist der über die HNF statt der berührbedingung, im endeffekt mußt du aber wieder dieselbe gleichung lösen - logo Big Laugh
werner
Mathemäuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, an die HNF hatte ich ach schon gedacht, zumal ich nachher ohnehin noch Abstände zu der Geraden berechnen muss. Mit dem Programm bzw. mit dem Link zu nummerischen Lösungen habe ich jetzt wenigstens das erste Ergebnis von Poff verifizieren können.
Vielen Dank für eure Hilfe, es kann mir dann ja keiner zum Vorwurf machen, ich hätte "nur" approximiert.
Wen es interessiert warum ich das brauchte, weildie Aufgabe ja doch komisch war: will man das Kniegelenk in der Sagitalebene modellieren, so beschreibt man den unteren Oberschenkelkopf als Ellipse, die Kniescheibe als Rechteck. Nimmt man nun an, das die Kniescheibe tangential an den Oberschenkel anliegt (was natürlich eine Vereinfachung ist), so kommt man zu dem oben beschriebenen Problem, wenn man den Punkt B (Patellasehnenansatz an der Patella) bereits ermittelt hat (das geschieht über ein anderes Polynom 4.Grades, welches man erhält,wenn man Ellipsen mit Kreisen schneiden möchte.) Forum Kloppe
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Von dieser enorm praktischen Berührbedingung habe ich noch nie etwas gehört. Über die muss ich erst noch nachdenken, um euch sagen zu können, ob ich die wirklich verstanden habe.


Mathemäuschen,

ohne jetzt genauer drüber nachgedacht zu haben, dürfte das
(genau) auf 'die HNF' zurückgehen (Abstand zum Mittelpunkt = r).



Werner,

HNF, das hätte ich evtl benutzt wenn ich diese Berührbedingung
nicht 'griffbereit' hier liegen gehabt hätte. So brauchte ich nichts
nachdenken nur noch einsetzen. Augenzwinkern
Steht in einer klitzekleinen Formelsammlung und deren Existenz war
mir zudem bewusst. (Etwas geläufiger ist die für den Kreis um (0;0))
Kann nichts dafür dass keine(r) in Formelsammlungen zu schauen
scheint und wenn du NUR im Notfall reinschaust nützt's auch nicht
viel, weil du dann den Stil und Aufbau nicht drin hast und auch
nicht die (Vor)Ahnung, dass du das dort finden könntest.




Mathemäuschen,

für dein Problem kommt dann nur eine der beiden Lösungen in
Frage (die die du noch nicht verifiziert hast Augenzwinkern )
weil die Berührpunkte auf 'verschiedenen Seiten' der Ellipse liegen
und das gibt das physische Problem so nicht her.
Weiters müsste deine Kniescheibe größer sein um zu tangieren,
oder der Punkt B müsste ein anderer sein.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo poff,
mich haben sie noch hinreichend gequält mit der berührbedingung für alles und jedes in der schule, sowas vergißt man (fast) nicht! Big Laugh
eine frage: warum erhält man die 2. lösung erst, wenn man "die wurzeln auflöst"? ich bekomme sonst nur x1 = 2.857..., ist mir nicht wirklich klar, bin wohl doch zu doof.
zur delektion die exakte lösung lt. mathematica
werner
Mathemäuschen Auf diesen Beitrag antworten »

War ja nur ein Beispiel mit doofen Zahlen, mach die Kniescheibe weniger dick, dann klappts auch im 4.Quadranten. B liegt in Wirklichkeit auch woanders. Aber das Prinziphabe ich verstanden und auch schon in meine Arbeit eingetecht. Vielen Dank nochmal, ich werde auch in der Danksagung erwähnen. Prost
Euch noch viel Spaß mit diesen Foltereien und einen großen Fußballnachmittag.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

Die exakten Zahlen kann ich (leider) nicht lesen und auch sonst
nur spekulieren. So wies da 'steht' kanns alleine ja nicht sein,
da würden auch die komplexen Lösungen fehlen.

Wenn ich mir die Syntax der beiden Aufrufe anschaue kann
ich nur vermuten dass der exakte Aufruf auf eine Lösungsangabe
beschränkt sein könnte (wegen Übersicht oder sonstwas)


Versuch mal

Solve[ ...... ..... ..... ,x,4]
irgendwas in dem Dreh sollte dahinterstecken,
oder du musst die Anzeige der weiteren Lösungen über einen
anderen Weg abrufen ...


oder probier umgekehrt mal

N[Solve[ ...... ..... ..... ,x],1]
ob da nur eine Lösung kommt




N[Solve .... dürfte auch nicht die Auflösung der oberen Wurzel
in einen numerischen Wert sein, sondern die Lösungsfindung
komplett über numerische Methoden, also zweierlei Ding.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo poff,
da habe ich mich wieder einmal unsauber dargestellt...
das war nur für das mäuschen, damit sie sieht - ist das mäuschen ein mädchen? -, wie die exakte lösung ausschaut, und genug horror davor kriegt Big Laugh .

das ganze war nur zu lange, darum habe ich nur eine lösung kopiert, ich habe schon alle 4.

aber damit ich diese 4 lösungen erhalte, muß ich die ursprünliche gleichung zuerst quadrieren
(linke seite)^2=wurzel^2...,
und das geht nicht so recht in meinen kopf?!
so bekomme ich nun auch beide lösungen:
1 reelle aus gl. 1 (x = 2,85....)
und aus gl.2: 1 reelle (x= -1,....) + 2 komplexe:
gleichung 1: linke seite = + wurzel....
gleichung 2: linke seite = - wurzel....
(schon irgendwie klar/einleuchtend, aber eben nicht so ganz traurig )

N[Solve.... sollte zuerst exakt lösen und dann den numerischen ausdruck dafür liefern, denke ich, aber was heißt das schon.
frage: kriegst du beide bzw. alle 4 lösungen ohne quadrieren, und wenn ja womit?
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das war nur für das mäuschen, damit sie sieht - ist das mäuschen ein mädchen? -, wie die exakte lösung ausschaut, und genug horror davor kriegt

"mädchen", scheint so, nur musst aufpassen, das darft nicht mehr
benutzen das Wort ..., Mädchen gibts keine nicht mehr.




aber damit ich diese 4 lösungen erhalte, muß ich die ursprünliche gleichung zuerst quadrieren
(linke seite)^2=wurzel^2...,
und das geht nicht so recht in meinen kopf?!



Werner,

könnte es nicht sein, dass die 2.Lösung keine Lösung der
unquadrierten Gl. ist, oder ... das solltest mal prüfen. Augenzwinkern

Mathematica könnte so klug sein dir vorabzunehmen,
was du früher bei Wurzelgleichungen ....

... musst langsam anfangen umdenken, beim Schach
sind die Würfel schon gefallen




N[Solve.... sollte zuerst exakt lösen und dann den numerischen ausdruck dafür liefern, denke ich, aber was heißt das schon

das wäre zumindest unlogisch denn, was wäre wenn das nicht
mehr exakt lösbar wäre ...
mal hü mal hot wär sehr inkonsistent

Moment ich schau mal nach,
steht vielleicht was im Bronstein drin ...

nein, leider nix



Edit

'eben' hats geklingelt (Bronstein), gestern war ich zu blöd dazu.

Werner, du hast Recht
N[Solve[ ...... ..... ..... ,x],10] ist die numerische Umwandlung
der exakten Resultate von Solve[ ...... ..... ..... ,x]

der komplett numerische Weg müsste dies sein
NSolve[ ...... ..... ..... ,x]

gestern hatte ich diesen feinen Unterschied übersehen bzw
auf neuere Syntax zurückgeführt (diese zusätzlichen Klammern?).
Das war aber eher unsinnig, die neue Deutung macht richtig Sinn. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff

Werner,

könnte es nicht sein, dass die 2.Lösung keine Lösung der
unquadrierten Gl. ist, oder ... das solltest mal prüfen. Augenzwinkern

Mathematica könnte so klug sein dir vorabzunehmen,
was du früher bei Wurzelgleichungen ....

... musst langsam anfangen umdenken, beim Schach
sind die Würfel schon gefallen


dake dir,
betonung liegt halt bei mir bei langsam Big Laugh
werner
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