Grenzwerte: Funktion mit zwei unabhängigen Variablen

12.09.2008, 17:16

abus

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Grenzwerte: Funktion mit zwei unabhängigen Variablen

Hi,

vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
Bin in der 13.Klasse Gymnasium und schreibe eine Facharbeit über die Kurvendisskusion von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen. Bis jetzt war alles verständlich und nachvollziehbar, aber beim Thema Grenzwerte bin ich hängen geblieben. Ich versteh nicht wie für Funktionen mit zwei Variablen definiert sind und wie ich vorgehen muss um Grenzwerte zu berechnen/überprüfen. Brauch ich da eventuell sogar noch "Vorwissen" um überhaupt was zu verstehen?
Könnt ihr es mir erklären oder habt ihr vielleicht hilfreiche Links?

12.09.2008, 17:33

tigerbine

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Nachfrage
Wohin bilden diese Funktionen denn ab? Kannst du uns einmal eine Beispielfunktion geben? Sind sie vielleicht vom Typ:

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

12.09.2008, 17:45

abus

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Ich meine solche Funktionen

$\begin{eqnarray*} z=f(x,y) \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} z= 3x^3-6y+12 \end{eqnarray*}$

Ich denke das ist genau das was du gesagt hast. Ich kenns als Abbildung von
$\begin{eqnarray*} X\times Y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$

12.09.2008, 17:59

tigerbine

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Ok, meins ist schon was spezieller, weil ich ja als Mengen jeweils die reellen Zahlen gewählt habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wir wissen somit schon einmal, dass die Bildmenge eindimensional sein soll. Wir könnten den "Graphen" also in einem xyz-Koordiantensystem darstellen.

Welche Grenzwerte möchtest/sollst du denn nun berechnen?

12.09.2008, 18:01

Duedi

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tigerbine du glaubst doch nicht im Ernst, dass er eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ meint Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.09.2008, 18:03

tigerbine

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Ich meine damit, so lange er sein X,Y,Z nicht konkretisiert, ist meine Formulierung eben spezieller, auch wenn meine Chancen gut stehen, zu treffen, was er meinte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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12.09.2008, 18:17

abus

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@tigerbine: Ist das was du meinst nicht auch im x,y,z-Koordinatensystem darstellbar?

X ist die Definitionsmenge von x (können also, meiner Meinung nach, auch reelle Zahlen sein)
Y das selbe wie bei X nur eben für y
Z Bildmenge

Meine Funktionen sollen schon im x,y,z. Koordinatensystem darstellbar sein.

Ich brauch erst mal allgemeine Infos zu Grenzwerten für solche Funktionen. Nichts für spezielle Aufgaben, sondern Allgemeines, wie Definition, Rechenweg, Methoden,...
Ich kenn ja nur
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (z.B.: a=0)
und die h-Methode, L'Hopital und was man in der Schule lernt.
Eben nur für Funktionen mit einer Variablen.

12.09.2008, 18:19

tigerbine

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Doch, meins ist auch in so einem Koordinatensystem darstellbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun, aber welche Grenzwerte sollst du untersuchen, für deine Mehrdimensionale Funktion? Soll dann

$\begin{eqnarray*} (x,y) \to (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

betrachtet werden. Die Methode ist erstmal egal. zunächst müssen wir klären was berechnet werden soll. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.09.2008, 18:28

abus

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Was gibts den noch außer

$\begin{eqnarray*} (x,y)-->(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

ich muss nämlich alle Möglichkeiten drauf haben.

12.09.2008, 18:34

tigerbine

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Ich würde diese Frage, als was dein Lehrer erwartet, konkret mit ihm besprechen. Das was ich nun angeben habe, wäre der imho nächstliegende Fall. Man könnte sich aber auch fragen, was passiert, wenn wir nur $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ gehen lassen (analog für y). Schwierig wird es, wenn man wie im Eindimensionalen die Grenzwerte für "Unendlich" bestimmen will.

Du hast in deinem ersten Post geschrieben

Zitat:

aber beim Thema Grenzwerte bin ich hängen geblieben. Ich versteh nicht wie für Funktionen mit zwei Variablen definiert sind und wie ich vorgehen muss um Grenzwerte zu berechnen/überprüfen. Brauch ich da eventuell sogar noch "Vorwissen" um überhaupt was zu verstehen?

Wie lautet denn da deine Definition?

12.09.2008, 18:53

abus

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Definition:Eine Funktion hat an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0(x_1;x_2;x_3;...;x_n) \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , wenn alle unabhängigen Variablen beliebige Nullfolgen $\begin{eqnarray*} \mid x-x_0 \mid \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq x_0 \end{eqnarray*}$ durchlaufen und dabei stets $\begin{eqnarray*} f(x)-g \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.
Man schreibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_i \to x_0i} f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=\lim_{x \to x_0} f(x)=g \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$
Wenn nur eine Variable $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine Folge mit einem Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_0i \end{eqnarray*}$ durchläuft und alle anderen Variablen $\begin{eqnarray*} x_k,k\neq i \end{eqnarray*}$ , konstant bleiben, spricht man von einem partiellen Grenzwert.

Ich weiss zum Beispiel nicht was Nullfolgen sind und Google spuckt mir dazu auch nichts aus.

Wie macht mans den für $\begin{eqnarray*} (x,y)-->(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ?

12.09.2008, 18:59

tigerbine

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Nullfolge
Mmh, also kommt doch sofort etwas: http://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolge

http://www.mathematik.net/nullfolgen/nu001.htm

Ich melde mich aus dem Thread nun erstmal ab. Wir haben ja nun für weitere User das Problem "deutlicher" formuliert und ich muss mich nun erstmal um "eigene Probleme" kümmern. Wink

Wink

12.09.2008, 19:57

WebFritzi

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Deine Definition da ist sehr schlecht. Schulmathematik halt. unglücklich

unglücklich

Hier mal eine "ordentliche" Definition:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} g\in\mathbb R, \end{eqnarray*}$ falls es für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle Paare $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} |f(x,y) - g| \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, wenn nur $\begin{eqnarray*} |(x,y) - (x_0,y_0)| \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} |(x,y) - (x_0,y_0)| < \delta \;\Longrightarrow\; |f(x,y) - g| < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

13.09.2008, 03:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi
Deine Definition da ist sehr schlecht. Schulmathematik halt. unglücklich

unglücklich

Was ist denn gegen diese Definition einzuwenden? Das wird auch so an der Uni gelehrt. Vielleicht ist die Formulierung etwas ungewöhnlich, aber letztendlich ist es nichts anderes als die Folgenstetigkeit bzw. die Definition des Grenzwertes über Folgen. Und diese ist ja in metrischen Räumen, also hier im speziellen Fall erst recht, sowieso äquivalent zur Umgebungsdefinition.

Im Übrigen sprichst du erst vom Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und lässt ihn danach unter den Tisch fallen, um lieber zur Stetigkeit überzugehen. Da ist wohl etwas faul. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2008, 12:13

abus

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Und wie geh ich vor bei der Ermittlung eines Grenzwertes über Folgen?
Und wie mach ich es mit den Umgebungen?
Habt ihr vielleicht ein Beispiel?

Welche von den Definitionen ist denn nun passender formuliert?

14.09.2008, 01:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von WebFritzi
Deine Definition da ist sehr schlecht. Schulmathematik halt. unglücklich

unglücklich

Was ist denn gegen diese Definition einzuwenden? Das wird auch so an der Uni gelehrt. Vielleicht ist die Formulierung etwas ungewöhnlich

Ja. Und vor allem unverständlich. Ich hätte sie jedenfalls nicht verstanden, wenn ich keine Ahnung von Folgenstetigkeit hätte.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Im Übrigen sprichst du erst vom Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und lässt ihn danach unter den Tisch fallen, um lieber zur Stetigkeit überzugehen. Da ist wohl etwas faul. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, da hast du recht. Ich hab das geändert. Danke!

14.09.2008, 15:13

abus

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Mit einem Beispiel wäre die Definition leichter nach zu vollziehen. Die Definition von WebFritzi klingt zwar gut und ich versteh jetzt auch was gemeint ist, kann es mir aber noch nicht vorstellen und habe auch noch keine Idee, wei man jetzt nen Grenzwert ermitteln könnte.

Ich habs über die partiellen Grenzwerte versucht, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}(\lim_{y \to y_0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$
und dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to y_0}(\lim_{x \to x_0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$

Die Idee hat mich aber nicht weit gebracht.

Könnt ihr mir vielleicht an einem Beispiel zeigen wie ich das mache?
@WebFritzi: Danke für die Definition, die hat mich schon ein ganzes Stück weiter gebracht vom Verständnis her.

14.09.2008, 15:35

system-agent

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Zitat:

Original von abus
habe auch noch keine Idee, wei man jetzt nen Grenzwert ermitteln könnte.

Das ist auch nicht der Sinn der Definition. Diese sagt, unter welchen Bedingungen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist [nämlich wenn die Bedingung der Definition erfüllt ist], nicht aber wie man das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ findet.
Mit deiner Idee einzelne Grenzwerte zu finden kannst du einen Kandidaten $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ermitteln. Erst danach kann man mit dem gefundenen Kandidaten überprüfen (anhand der Definition) ob dies wirklich der Grenzwert ist.

Edit:
Interessant in dem Zusammenhang ist doch auch die Formulierung "der" Grenzwert. Wieso kann es nicht zwei geben?

14.09.2008, 15:55

abus

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Zitat:

Mit deiner Idee einzelne Grenzwerte zu finden kannst du einen Kandidaten $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Heisst das, dass ich über partielle Grenzwerte doch Grenzwerte ermitteln kann?
Bei mir hat das nämlich nicht geklappt. Ich habs an dieser Funktion versucht
$\begin{eqnarray*} z=\frac{2xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
Für die beiden partiellen Grenzwerte kam 0 raus, also
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}(\lim_{y \to 0} f(x,y))=0 \end{eqnarray*}$
und dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}(\lim_{x \to 0} f(x,y))=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe das so interpretiert, dass dieses Ergebnis der Grenzwert sei. Ich habe mir dannach den Graphen angeschaut, wobei sich herausstellte, dass es überhaupt keinen Grenzwert gibt bei der Funktion.

Zitat:

Erst danach kann man mit dem gefundenen Kandidaten überprüfen (anhand der Definition) ob dies wirklich der Grenzwert ist.

Das ist mir klar, desshalb hab ich mich bei WebFritzi bedankt, seine Definitiobn war für mich sofort verständlich.
Trotzdem wäre es nicht schlecht zu wissen, wie man Grenzwerte ermittelt. Es sollte doch einen Weg geben.

14.09.2008, 16:08

system-agent

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Lies dir meinen Beitrag nochmal ganz genau durch.
Ich sagte nicht dass man mit deiner vorgeschlagenen Methode der "partiellen Grenzwerte" [das habe ich vorher noch nie gehört] die Grenzwerte ermitteln kann. Ich sagte lediglich, dass man dadurch einen Kandidaten finden kann.

Auf diese Weise hast du bei deiner Funktion den Kandidaten $\begin{eqnarray*} g=0 \end{eqnarray*}$ erhalten. Aber du hast dann auch gesehen, dass dies nicht der Grenzwert sein kann [Überprüfung mit der Definition].

Zur Überprüfung:
Hier kannst du sehr einfach mit Folgen argumentieren. Betrachte die Folgen
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n},0\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
[Um es auf diese Weise zu beweisen, muss man natürlich zunächst zeigen, dass das Folgenkriterium äquivalent zur Definition von Webfritzi ist; direkt mit der Definition von Webfritzi hab ichs jetzt nicht ausprobiert, denn ein Nachweis dass ein Grenzwert nicht existiert ist imho mit Folgen einfacher].

14.09.2008, 19:31

abus

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@system-agent

Zitat:

Zur Überprüfung:
Hier kannst du sehr einfach mit Folgen argumentieren. Betrachte die Folgen
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n},0\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
[Um es auf diese Weise zu beweisen, muss man natürlich zunächst zeigen, dass das Folgenkriterium äquivalent zur Definition von Webfritzi ist; direkt mit der Definition von Webfritzi hab ichs jetzt nicht ausprobiert, denn ein Nachweis dass ein Grenzwert nicht existiert ist imho mit Folgen einfacher].

Sind das diese Nullfolgen?

Wie kommst du auf genau diese Folgen oder sind das immer diese Folgen?

14.09.2008, 20:18

system-agent

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Ja, das sind beides Nullfolgen, denn es ist jeweils
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0) \end{eqnarray*}$ .

Wie man auf diese kommt ist ein bischen mit ausprobieren verbunden - oder wenn man so eine ganz ähnliche Funktion schonmal in den Übungen gesehen hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es sind natürlich nicht immer diese Folgen.
Der Witz ist ja eben, dass man versucht die Definition der Existenz eines Grenzwerts zu widerlegen.
Ich meine in der Definition via Folgen war ja die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn für jede Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)\in U\setminus\{(x_0,y_0)\} \end{eqnarray*}$ , für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ) stets auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=g \end{eqnarray*}$ .

Hier haben wir aber zwei Folgen gefunden, für welche die Bedingung nicht gilt, konkret:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n},0)=\lim_{n\to\infty}\frac{2\frac{1}{n}\cdot0}{\frac{1}{n^2}+0^2}=0 \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}})=\lim_{n\to\infty}\frac{2\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}=1 \end{eqnarray*}$
Und damit, egal was $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist, man hat zwei verschiedene zulässige Folgen gefunden, aber deren Folge der Funktionswerte sind verschieden [einmal $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ].

14.09.2008, 21:22

abus

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@system-agent: Danke, jetzt hab ich das endlich kapiert!

Ich hab nur noch ein Paar Fragen: Läuft das genau so, wenn man die Variablen gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen lässt? Wenn nicht, was mach ich da?
Und: Welche Vorgehensweise ist empfehlenswert zur Ermittlung eines "Kandidaten" für einen Grenzwert und wie mach ich das?

P.S.:Wärst du so nett, mir die genaue Definition (wörtlich zitiert) zu geben, sowie Seite(auf der die Definition steht) , Titel, Autor, Erscheinungsjahr, Verlag und ISBN des Buches, aus dem du die Definition hast, zu posten?
Ich muss nämlich genau zitieren unter Quellenangabe und es wäre schlecht wenn ich diese Definition nirgendwo finde.
Ich wäre dir sehr dankbar.

14.09.2008, 21:58

system-agent

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Zitat:

Original von abus

Ich hab nur noch ein Paar Fragen: Läuft das genau so, wenn man die Variablen gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen lässt? Wenn nicht, was mach ich da?
Und: Welche Vorgehensweise ist empfehlenswert zur Ermittlung eines "Kandidaten" für einen Grenzwert und wie mach ich das?

Da musst du erstmal sagen was du dir unter " $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " in der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vorstellst...

Das mit dem Zitat kann ich mal schauen, aber ich fürchte das wird der schwierigere Teil Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2008, 11:57

abus

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Zitat:

Das mit dem Zitat kann ich mal schauen, aber ich fürchte das wird der schwierigere Teil Augenzwinkern

Danke!!!

Zitat:

Da musst du erstmal sagen was du dir unter " $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " in der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vorstellst...

Man kennt ja bei Funktionen mit einer Variablen z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=log_e (x)=ln (x) \end{eqnarray*}$ . Wenn man bei dieser Funktion gilt ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ln (x)=+\infty \end{eqnarray*}$ (Das war mal bei uns in einer Klausur gefragt, beim selben Lehrer, darum denke ich, dass er mir etwas änliches als Aufgabe geben könnte)
Das gibt es für Funktionen mit zwei Variablen doch auch.
Außerdem: Gibt es für Funktionen mit zwei Variablen Asymptoten? Ich kam gerade drauf, da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln (x)=-\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Welche Vorgehensweise ist empfehlenswert zur Ermittlung eines "Kandidaten" für einen Grenzwert und wie mach ich das?

Du hast diese Frage übersehen. smile

smile

15.09.2008, 14:57

system-agent

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Für das Zitat:
Kannst auch dieses nutzen:
http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

Zitat:

Original von abus
Man kennt ja bei Funktionen mit einer Variablen z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=log_e (x)=ln (x) \end{eqnarray*}$ . Wenn man bei dieser Funktion gilt ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ln (x)=+\infty \end{eqnarray*}$ (Das war mal bei uns in einer Klausur gefragt, beim selben Lehrer, darum denke ich, dass er mir etwas änliches als Aufgabe geben könnte)
Das gibt es für Funktionen mit zwei Variablen doch auch.

Eben das gibt es so nicht. Stell dir die reelle Achse vor. In die positive Richtung gesehen werden die x-Werte immer grösser und man kann fragen was denn die Funktion macht für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ . Ähnlich in die negative Richtung.
Aber Funktionen von zwei Variablen sind schliesslich in der Ebene definiert.
Hier gibt es kein solch "natürliches" $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ mehr.
Man könnte natürlich sich erste eine Richtung vorgeben und dann Fragen was "weit draussen" passiert.

Zitat:

Original von abus
Außerdem: Gibt es für Funktionen mit zwei Variablen Asymptoten? Ich kam gerade drauf, da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln (x)=-\infty \end{eqnarray*}$

Hier auch wieder: was stellst du dir darunter vor?
Man könnte "schräge" Asymptoten durch Ebenen verallgemeinern, aber das wird wohl ziemlich unübersichtlich.
Das was du bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\log(x) \end{eqnarray*}$ beobachtest gibt es tatsächlich:
Nimm zum Beispiel die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
Diese ist offensichtlich nicht definiert in $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und man erhält einen Pol, genau wie bei $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Im Anhang ist ein Plot [natürlich gehts bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich].

Zitat:

Original von abus

Zitat:

Welche Vorgehensweise ist empfehlenswert zur Ermittlung eines "Kandidaten" für einen Grenzwert und wie mach ich das?

Du hast diese Frage übersehen. smile

smile

Nein, nicht übersehen, sondern oben schon beantwortet:
Nutze einfach deine Methode über die "partiellen" Grenzwerte. Wenn du keine zu boshaften Funktionen nimmst dann geht das schon gut.

15.09.2008, 15:09

abus

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@system-agent:

Vielen Dank! Mir ist jetzt alles soweit klar.

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