ist 1/x unstetig? |
| 25.05.2004, 20:52 | Wissenwollender | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ist 1/x unstetig? Eine der vielen Definitionen von Stetigkeit sagt, dass eine Funktion f in einem Punkt x0 stetig ist, wenn sie in einem Intervall [a,b] um diesen Punkt definiert ist und der Grenzwert gleich dem Funktionswert f(x0) ist. Nun ist f(x) = 1/x in der 0 nicht definiert, also ist f in der 0 nicht stetig. Also unstetig. Eine andere Definition von Stetigkeit sagt, dass eine Funktion f, die im Punkt x0 definiert ist, im Punkt x0 stetig ist, wenn der Grenzwert (wobei die x im Definitionsbereich von f liegen müssen) gleich dem Funktionswert f(x0) ist. Nun ist f(x) = 1/x in der 0 nicht definiert, also ist diese Definition nicht anwendbar. Damit ist f weder stetig noch unstetig in der 0. 
In der Schule wird anscheinend die erste Definition verwendet, oder sie wird so verstanden, dass in x0 = 0 unstetig ist, aber stetig fortgesetzt werden kann. In der Uni wird wohl die zweite verwendet, und ist in x0 = 0 weder stetig noch unstetig, kann aber stetig fortgesetzt werden, wobei man aber eine andere Funktion bekommt. Warum wird das so unterschiedlich behandelt? |
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| 25.05.2004, 20:55 | spoonful | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bin mir nicht sicher aber ist das erste nicht stetigkeit in einem bereich/umgebung und das zweite nicht stetigkeit in einem punkt? edit: ich glaube bei dem ersten satz fehlt "für jedes x0 € ]a;b[" dann heisst sie zumindest, nach unserer definition, in diesem intervall stetig. |
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| 25.05.2004, 21:29 | Rich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi funktionen sind unstetig wenn die grenzwerte (links- und rechtsseitig) und der funktonswert nicht übereinstimmen! funktionen bei denen die beidseitigen grenzwerte zwar übereinstimmen, es aber keinen funktionswert gibt, also z.B.:f(x)=x^2/x nennt man stetig behebbar, weil man das "loch" quasi beheben kann in dem man kürzt und dadurch g(x)=x erhält!g(x) ist dann eine stetige forsetzung von f(x)! die funktion f(x)=1/x ist unstetig da der rechsseitige grenzwert +unendlich und der linksseitige grenzwert -unendlich ist! dere |
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| 25.05.2004, 22:08 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist eigentlich falsch, denn die beiden Grenzwerte existieren garnicht. |
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| 25.05.2004, 22:31 | Rich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum nicht? sind ja nur grenzwerte und keine funtionswerte! die funktion ist zwar im punkt 0 gar nicht definiert, der grenzwert ist aber trotzdem unendlich, denn man kann ja immer kleinere zahlen für x einsetzen als die vorherigen und dabei wird f(x) immer größer! |
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| 25.05.2004, 22:49 | Wissenwollender | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Spoonful, ich meine es schon so wie es da steht. Stetigkeit in einem Punkt x0. Der Unterschied ist, wo das "die im Punkt x0 definiert ist" steht - einmal nach dem "heißt stetig wenn" und einmal davor. Rich, du meinst also, dass eine Funktion, die in einem Punkt gar nicht definiert ist, dort unstetig ist? Das passt zwar zur ersten, aber nicht zur zweiten Definition. Nach der zweiten muss die Funktion definiert sein, um überhaupt von (Nicht-)Stetigkeit sprechen zu können. Anderes Beispiel: Ist die Funktion ln(x) stetig oder unstetig bei x0 = -2? |
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| 25.05.2004, 23:19 | Rich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich denke dass es bei einer funktion, die in einem punkt nicht definiert ist(in der umgebung des punkts aber schon) nur auf die grenzwerte bei annäherung an den punkt ankommt und der tatsächliche funktionswert egal ist! wenn die grenzwerte gleich sind dann ist die funktion stetig behebbar(hat eine behebbare unstetigkeit) und kann durch behebung der definitionslücke fortgesetzt werden! f(x)=x^2/x ist eine "gerade", bei der nur ein winziger punkt fehlt! den leeren punkt kannst du beheben! bei ln(x) ist es anders, da die funktion nur in R+ definiert ist!und das ist ja keine umgebung von -2! die grenzwerte sind ja auch nicht gleich bei annäherung an x=-2 da es sie nicht gibt!bei x^2/x gibt es diese schon aber keinen funktionswert! |
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| 25.05.2004, 23:38 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es macht schlicht und ergreifend keinen Sinn, über Eigenschaften einer Funktion an Stellen, an denen sie nicht definiert ist, zu sprechen. Die Funktion 1/x ist an der Stelle 0 weder stetig noch unstetig, sie ist einfach nicht definiert. Stetigkeit ist ganz klar nur für Stellen des Definitionsbereichs definiert. |
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| 25.05.2004, 23:46 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... weil Plus oder Minus Unendlich keine Grenzwerte sind !! Das wird etwas schluderhaft benutzt. Unendlich ist keine Zahl und kann damit AUCH KEIN Grenzwert sein. 
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| 25.05.2004, 23:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Philipp-ER So isses! |
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| 26.05.2004, 01:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ein Grenzwert kann nicht unendlich sein. Edit: Oh, das hatte Poff schon klargestellt. |
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| 26.05.2004, 06:48 | spoonful | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ist f nun stetig oder nicht? eigentlich doch schon oder, weil sie auf dem gesamten definitionsbereich stetig ist, wenn wir x = 0 ausnehmen?! |
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| 26.05.2004, 08:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie wir uns jetzt, denke ich, einig sind, ist die (Un-)Stetigkeit von Funktionen nur für Stellen des Definitionsbereichs erklärt. Und in der Tat gilt der folgende allgemeine Satz: Stetigkeit pflanzt sich fort beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Verketten von Funktionen. Und da die Funktionen u(x)=1 und v(x)=x auf R\{0} offensichtlich stetig sind, ist es auch f(x)=1/x. Darüberhinaus gilt sogar: Alle rationalen Funktionen sind (in ihrem gesamten Definitionsgebiet) stetig. Dies folgt aus dem obigen Fortpflanzungssatz und der Stetigkeit der konstanten Funktionen u(x)=c und der Identität v(x)=x, denn aus diesen beiden kann jede rationale Funktion durch endlichmalige Anwendung der rationalen Operationen +,-,·,: erzeugt werden (deshalb heißen die rationalen Funktionen nämlich auch so). Und zu den Grenzwerten das Folgende: Ein Grenzwert kann natürlich ±Unendlich sein. (Für die Fachleute: Ein-Punkt- oder Zwei-Punkt-Kompaktifizierung). Daß ±Unendlich keine reellen Zahlen sind, steht dem überhaupt nicht entgegen. |
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| 26.05.2004, 10:41 | Wissenwollender | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, 1/x ist überall stetig, wo die Funktion definiert ist. Ebenso x^2/x. Letztere stimmt in ihrem Definitionsbereich mit x überein. Da aber x auch bei 0 definiert ist, sind die Funktionen x^2/x und x nicht dieselbe. @Philipp: Ich denke auch, dass es sinnlos ist, über die Stetigkeit von 1/x bei 0 nachzudenken. Ebenso für x^2/x bei 0. Warum ist dann aber die 0 eine "Unstetigkeitsstelle" von 1/x? Sprungstellen, Pole, Lücken, das sind alles Unstetigkeitsstellen. Warum, wenn die Funktion an diesen Stellen nicht unstetig ist? (Bei den Sprungstellen natürlich nur, wenn sie dort nicht definiert ist.) Warum nennt man das nicht einfach nur Definitionslücken? |
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| 26.05.2004, 11:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0 ist keine Unstetigkeitsstelle von f(x)=1/x. Das war doch schon geklärt (siehe letzter Beitrag von Philipp-ER). |
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| 26.05.2004, 11:24 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Es steht in den meisten Lehrbüchern in Bayern aber so drin, dass sie "Unstetigkeitsstellen" genannt werden. Aber die Definitionen von Stetigkeit in diesen Lehrbüchern sagen, dass sie keine Unstetigkeitsstellen sind (weil sie eben dort nicht unstetig sind). Und das ist mir unklar, warum das in sovielen Lehrbüchern so gemacht wird. Kürzlich habe ich ein Buch "Ingenieurmathematik I" geschenkt bekommen, wo genau dasselbe Problem auftaucht: Zitat: "Als Beispiele für unstetige Funktionen kennen wir rationale Funktionen, bei denen Unstetigkeitsstellen bei Nullstellen des Nenners liegen können. Es handelt sich dann um Polstellen, in deren Nähe die Funktion absolut genommen beliebig grosse Werte annimmt und an der Polstelle selbst gar nicht in vernünftiger Weise definiert ist. In diesem Fall ist unsere Definition schon deswegen nicht anwendbar, weil f(x) nicht definiert ist." (Hervorhebung von mir) In diesem Buch wird also trotz der Nicht-Anwendbarkeit der Definition die Funktion für unstetig erklärt wird. |
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| 26.05.2004, 11:55 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Definition kann zwar eigentlich in diesem Sinne nicht falsch sein, aber die 1. Definition im Ausgangspost von Wissenwollender widerspricht allem, was andere Bücher über Stetigkeit sagen. Stetigkeit ist durchaus auch für isolierte Punkte definiert (eine Funktion ist nämlich in jedem isolierten Punkt ihres Definitionsbereichs stetig, so sind zum Beispiel auch alle Folgen stetig) und für eine isolierte Stelle x0 kann man eben gerade kein Intervall angeben, in dem f definiert ist. |
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| 26.05.2004, 12:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Irrlicht Ich muß jetzt aufpassen, daß ich gegenüber den Ingenieur-Mathematikern nicht überheblich wirke. Aber das ist schlichtweg Blödsinn, was da steht. Solche Bücher sollte man fortschmeißen. |
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| 26.05.2004, 13:18 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Findest du also auch, das beruhigt mich jetzt. 
Dasselbe Problem hab ich in einem Mathematik-Schulbuch fuer die 12. Klasse entdeckt und ich frage mich, warum das Buch als Schulbuch verwendet wird. Suchen nicht die Schulen ihre Schulbuecher selbst aus? Dann haben diejenigen, die das Buch ausgewaehlt haben, es wohl wegen den schoenen Bildchen ausgewaehlt. *grmpf*Und warum gibt es in verschiedenen Buechern so uneinheitliche Definitionen? Ist das historisch oder vielleicht didaktisch begruendet oder ist sowas schlichtweg Dummheit von einigen Autoren? Was wuerden Schueler und Studenten denn zu dieser Funktion sagen: Ist die Fakultaet (als Funktion, die von den natuerlichen Zahlen in die natuerlichen Zahlen abbildet) stetig? Es wuerde mich jetzt interessieren, ob unterschiedliche Antworten kommen und warum. |
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| 26.05.2004, 13:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Topologie auf N legst du zugrunde? Spaß beiseite! Natürlich ist es aus Gründen der didaktischen Reduktion manchmal angebracht, ein bißchen "großzügig" zu sein. So sage ich den Achtkläßlern auch, wenn wir z.B. eine Bruchgleichung behandeln, in der der Hauptnenner für 2 verschwindet, "die Definitionsmenge besteht aus allen (!) Zahlen außer 2, also D=Q\{2}", wohl wissend, daß das im Blick auf später nicht ganz richtig ist. Aber was soll ich die Schüler mit Zeug belasten, das hier nicht zur Sache gehört. Und wenn dann später die irrationalen Zahlen kommen, dann reden wir auch darüber (und stellen alte Aussagen gegebenenfalls richtig). Etwas anderes ist es, so etwas "richtig Falsches" zu sagen - und leider muß ich sagen, daß viele Schulbücher voll davon sind. Manchmal habe ich meine Schüler schon gefragt, ob sie schon einmal den "Club der Toten Dichter" gesehen haben, wie der Lehrer Seiten aus dem Buch herausreißen läßt, die er für Krampf hält. Nur bin ich leider zu feige, meine Schüler zu selbigem aufzufordern! (Man ist ja staatstragend!) Ich glaube, daß viele Fehler (und damit meine ich nicht die läßlichen, aber unvermeidlichen Druckfehler) sich einschleichen, weil die Bücher von den Verlagen schnell auf den Markt geworfen und nicht genügend lektoriert werden. Jeder, der schon einmal einen komplizierteren Text, z.B. eine wissenschaftliche Arbeit, verfaßt hat, weiß, daß zum Beispiel eine Textumstellung an der einen Stelle einen ganzen Rattenschwanz von Änderungen anderswo nach sich ziehen kann. Und wenn man da nicht sorgfältig aufpaßt, ist's schon geschehen. |
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| 26.05.2004, 13:59 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Philipp-ER: Ich kenne Stetigkeit so, wie es die zweite Definition des Anfangsposts angibt. Danach ist eine Funktion an einem isolierten Punkt stetig. @alle: Aber auch der "Schuelerduden Mathematik II" definiert aehnlich wie die erste Definition im Starter: "Es sei f eine Funktion, deren Definitionsbereich D und Bildbereich B Teilmengen von R sind. Es sei ferner I ein offenes Intervall in D und x0 aus I. Die Funktion f heisst an der Stelle x0 stetig, wenn ." Das Buch stellt aber immerhin fest, dass "sich [...] die Frage, ob die Funktion x -> 1/x an der Stelle x0=0 stetig ist [gar nicht stellt], da sie dort nicht definiert ist". Nach dieser Definition ist aber auch die Wurzelfunktion an der Stelle x0=0 nicht stetig, da die Funktion nicht in einem offenen Intervall um die 0 definiert ist. EDIT: nur'n Typo... |
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| 26.05.2004, 14:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[0,epsilon[ ist bezüglich der Relativtopologie in [0,oo[ offen! |
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| 26.05.2004, 14:08 | Wissenwollender | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich ging es mir eher um folgenden Unterschied der Definitionen (das mit den Intervallen war so gar nicht beabsichtigt): Gibt es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionstypen: 1. "Ein A heisst B, wenn es die Eigenschaften C und D hat." 2. "Ein A mit der Eigenschaft C heisst B, wenn es die Eigenschaft D hat". Was waere dann ein "Nicht-B"? Ich verstehe das noch so, dass es dann so waere: 1. "Ein A heisst Nicht-B, wenn es mindestens eine der Eigenschaften C und D nicht hat." 2. "Ein A mit der Eigenschaft C heisst Nicht-B, wenn es nicht die Eigenschaft D hat." Diese Negationen sind verschieden. Wendet das auf die Stetigkeit an: 1. Die Funktion ("A") 1/x ist an der Stelle 0 unstetig ("Nicht-B"), weil sie dort nicht definiert ist (Nicht-C). 2. Die Funktion ("A") 1/x ist an der Stelle 0 nicht definiert ("Nicht-C"), also ist weder die Definition der Stetigkeit ("B") noch die der Unstetigkeit ("Nicht-B") an dieser Stelle anwendbar. |
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| 26.05.2004, 14:24 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold: Wozu jetzt die topologische Definition der Stetigkeit? Von mir aus die von der euklidischen Metrik auf N induzierte Topologie, wenn diese Aussage Sinn macht. In diesem Fall dürfte die topologische Definition der Stetigkeit ja dann äquivalent zu der Epsilon-Delta- oder auch zu der Grenzwertdefinition sein und nach denen sind Folgen ja stetig. @SirJective: Ich dachte, ich hätte genau das gesagt. |
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| 26.05.2004, 15:12 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Definitionsspielereien, oder was sonst ... ??? ... |
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| 27.05.2004, 13:25 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Definition der Definition besagt, dass sie bei einem Oberbegriff anfaengt, dann eine Zusatzeigenschaft nennt, und dann dieser Einschraenkung einen Namen gibt. In diesem Sinne sind also deine Definitionsschemata beide korrekt, Wissenwollender. Bei der ersten ist "A" der Oberbegriff, bei der zweiten ist "A mit der Eigenschaft C" der Oberbegriff. Die Frage, die du stellst, ist also, wie der Gegenbegriff definiert ist, in unserem Fall der Begriff "unstetig". Ich habe noch kein Buch gefunden, indem dieser Begriff definiert ist. Kennt hier jemand ein Werk, das dies tut? Bei vielen Begriffen, deren Gegenbegriff man benoetigt, wird der gleich mit definiert, in der Art: "Sei x ein A. Hat x die Eigenschaft C, dann heisst es B, andernfalls heisst es B'." Dies ist bei der Stetigkeit nicht der Fall. Wir stehen also nicht vor der Frage, wann eine Funktion in einem Punkt stetig heisst, sondern wann sie dort unstetig heisst. So liebe Leute, dann denkt mal mit... Gruss, SirJective PS: @Philipp: Ja, das wollte ich eigentlich damit ausdruecken. Irgendwie ist der Halbsatz verschwunden... tut mir leid. @Leopold: Ja, in [0, oo[ ist [0, epsilon[ offen, aber in der Definition ist nicht davon die Rede, dass das offene Intervall "offen in D" sein soll, sondern schlicht "offen". Und das interpretiere ich als "offen in R", da ja explizit D und B als Teilmengen von R verlangt sind. |
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| 27.05.2004, 18:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, denn wir reden hier über R und nicht über deine komische Kompaktifizierung. |
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| 27.05.2004, 18:47 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Objekte Unendlich und minus Unendlich werden manchmal "uneigentliche Grenzwerte" genannt und treten auf, wenn eine Folge "bestimmt divergiert". Das ist keine Konvergenz in R, sondern Konvergenz in der Zwei-Punkt-Kompaktifizierung. Diese beiden Werte werden jedoch trotzdem gemeinhin als Grenzwerte bezeichnet (auch ich sage "der Grenzwert von n^2 für n gegen unendlich ist unendlich", wohl wissend dass diese Sprechweise nicht exakt ist). Können wir diese Diskussion an geeigneterer Stelle führen und hier wieder zum Thema zurückkehren? Das würd mich nämlich mehr interessieren. |
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| 27.05.2004, 18:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, so können wir verbleiben. 
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| 27.05.2004, 18:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, auch wenn es nirgendwo steht, müßte man "Unstetigkeit" konsequenterweise folgendermaßen definieren. a sei Element des Definitionsbereichs von f. f heißt bei a unstetig, wenn f bei a nicht stetig ist. Die Funktion f heißt als ganze unstetig, wenn es eine Stelle a im Definitionsbereich von f gibt, an der a unstetig ist. So wird das wohl auch im allgemeinen verstanden. |
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| 27.05.2004, 18:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Yes. |
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| 27.05.2004, 19:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"unstetig" ist einfach die logische Negation von "stetig". Und da Stetigkeit nur für Elemente des Definitionsbereichs erklärt ist, ist das natürlich bei Unstetigkeit auch der Fall. Ein anderes Beispiel: Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist. Da kommt ja auch niemand auf die Idee, die Zahl "Wurzel 2" als ungerade zu bezeichnen. "ungerade" ist zwar die Negation von "gerade", aber eben nur auf die Grundmenge Z bezogen. |
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| 27.05.2004, 19:44 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich zitiere Wissenwollender "Ein A heisst B, wenn es die Eigenschaften C und D hat." Angewandt auf die Stetigkeit kann man diese doch so definieren - und so wird es tatsächlich an manchen Stellen gemacht: "Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 stetig, wenn f(x0) definiert ist und ist." Die logische Negation von "stetig" ist also: "Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 unstetig, wenn f(x0) nicht definiert ist oder ist." Korrigiert mich, wenn diese Negation falsch ist. Wurzel(2) ist weder gerade noch ungerade, weil sie keine ganze Zahl ist - sie erfüllt nicht die Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Definition. Wenn man aber Stetigkeit so definiert wie ich es gerade getan habe, dann ist f(x) = 1/x an der Stelle x0 = 0 unstetig, DENN f(x) = 1/x ist eine Funktion, x0 ist eine Stelle, und f(x0) ist nicht definiert. So, und nun kommst du...
Ich persönlich verwende stattdessen die folgende Definition der Stetigkeit: "Eine Funktion f die an der Stelle x0 definiert ist, heißt an der Stelle x0 stetig, wenn ist." Deren Negation ist der Begriff von Unstetigkeit, den du genannt hast, Leopold. Nach dieser unserer Auffassung ist also f(x) = 1/x an der Stelle x0 = 0 nicht - also auch nicht unstetig. |
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| 27.05.2004, 20:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| korrekte Definitionen Bei einer korrekten Definition muß man zunächst festlegen, über welche Objekte man spricht - mit meinen eigenen Worten: die Grundmenge festlegen. Dann wird durch die Definition eine Teilmenge dieser Grundmenge ausgesondert (Extensionalitätsprinzip). Man darf bei der Definition also nicht von einer Universal-All-Menge ausgehen und die Grundmenge in die eigentliche Definition mit aufnehmen. Deine zweite Definition der Stetigkeit ist daher korrekt, die erste dagegen nicht. Allerdings muß ich zugeben, daß man im Mathematik-Jargon durchaus oft wie in der ersten Definition formuliert, aber aufzufassen ist es dann immer wie in der zweiten Definition. Was immerhin zeigt, daß die Mathematiker im Gegensatz zur allgemeinen Ansicht, sie seien besonders penibel, eben auch manchmal ein bißchen gschlampert sind. Ich komme auf mein Beispiel „gerade/ungerade“ zurück. Version 1 (schlecht) Eine Zahl heißt gerade <=> n aus Z und 2|n Version 2 (korrekt) Sei n aus Z: n heißt gerade <=> 2|n Bei der Version 1 ist die Grundmenge nicht spezifiziert. Worüber wird gesprochen? Eine Zahl? Was ist das? Und man könnte bei der Negation auch auf den Gedanken kommen, die Wurzel von 2 als ungerade zu bezeichnen (weil sie ja nicht aus Z ist). Und wenn man dann doch irgendwo einmal liest „Eine Zahl heißt gerade, wenn sie ganz und durch 2 teilbar ist“, dann muß man es halt unausgesprochen wie in Version 2 auffassen, obwohl es nach Version 1 formuliert ist. Das Ganze in Mengenschreibweise: Version 1’ (schlecht) G = { n | n aus Z und 2|n } Version 2’ (korrekt) G = { n aus Z | 2|n } |
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| 27.05.2004, 20:53 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist wirklich schoen formuliert und erklaert. Ich stimme dir vollkommen zu. So ists wohl.
Ich habe vorhin 7 Mathebücher durchstöbert und nur eines davon verwendet die schlechte Stetigkeitsdefinition. 4 andere verlangen aber, dass die Funktion in einem offenen Intervall um die Stelle definiert sein muss. Man könnte "populäre Statistik" betreiben und z.B. die These belegen "Blaue Bücher geben die gute Definition. Die Hälfte der schwarzen Bücher gibt die schlechte Definition." 
Jetzt wisst ihr, wieviel schwarze Mathematikbücher ich hab... ooops. |
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| 27.05.2004, 21:20 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann ich gar nicht glauben (es sei denn, du sprichst von Schulbüchern, wo man es vielleicht nicht zu kompliziert machen will)! Ist da wirklich "offenes Intervall" vorausgesetzt? Oder heißt es "offene Umgebung", was ja im Sinne der Relativ-Topologie dann richtig wäre (siehe meine alte Bemerkung über [0,eps[ ) ? |
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| 27.05.2004, 21:29 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schülerduden, Mathematik II, 2. Auflage, 1982 (blaues Buch *g*): SirJective hat das Zitat aus dem Schülerduden nicht ganz wörtlich übernommen. Er schämt sich auch schon.
Der wichtige Satz lautet"Es sei ferner I ein offenes Intervall, und ." Das urige (von 1964) Ingenieurs-Mathematik-Buch definiert es auch so. Der Mathematik-Ratgeber spricht von einer Umgebung um den Punkt, an der die Funktion definiert sein soll. Bartsch, Taschenbuch mathematischer Formeln, verlangt, dass der "Definitionsbereich [a,b] die Umgebung der Stelle c enthält". Das mistige schwarze Buch von Teller verlangt gar nichts über die Definiertheit der Funktion an der Stelle x_0 oder einer Umgebung derselben. Zuguterletzt den Forster (mein Analysisprofessor), Analysis I. Der macht es richtig. Er verlangt nur, dass die betrachtete Stelle im Definitionsbereich liegt. Ebenso wie Prof. Alt aus B. am R. *g* in seinem "Lineare Funktionalanalysis. |
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| 27.05.2004, 23:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
WOW... Du hattest den als Professor? Ehrlich? Oder ist der nur an deiner Uni? |
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| 28.05.2004, 09:57 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe bei ihm 6 Vorlesungen gehört und er wird mein Prüfer im Bereich Zahlentheorie sein. Er ist wirklich gut und sehr nett, aber auch extrem schüchtern... |
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| 28.05.2004, 12:36 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was? Mein Prof in Ana I hat erzählt, dass er beim Forster gehört hat und der ist gerade emeritiert worden...
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