Kubische Gleichung Nullstellen bestimmen

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laien Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Gleichung Nullstellen bestimmen
Hallo, kann uns bitte jemand helfen?
Wir haben eine kubische Gleichung x^3-4x^2-7x+10=0, wir wissen dass ihre Nullstellen ganzzahlig sind. Wir sollen diese Nullstellen mit dem Satz von Vieta bestimmen.
Bisher sind wir so weit gekommen:

a=-4
b=-7
c=10

p=(3b-a^2)/3 = 12,333

q=(2a^3-9ab+27c)/27 = -4,07

Wir wissen dass die Diskriminante D<0 ist, mit D = -65,29

Laut geogebra sind die Nullstellen bei x=5, x=-2, x=1

Nur wie kommen wir auf diese Nullstellen? Kann uns jemand helfen?DAnke
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt bei kubischen Funktionen kein p und q. Die sind nur bei Normalparabeln existent. Außerdem gilt der Satz des Vieta nur für quadratische Gleichungen in der Normalform.

Ihr sollt wahrscheinlich die Verallgemeinerung des Satzes anwenden.



Wobei Nullstellen von sind.

Zur Bestimmung:

Gegeben ist
Jetzt errät man eine Nullstelle, bzw. probiert die Teiler des Absolutgliedes durch. Angenommen ihr habt erraten, dann führt ihr die Polynomdivision mit durch. Danach erhaltet ihr ein Ergebnis, welches weiter aufgelöst werden muss. Die Funktion hat dann die Gestalt


stellt das Restpolynom (2. Grades) dar, welches man nach der Polynomdivision herausbekommen.

Was das a, b, c, q und p bedeuten soll, wisst allerdings nur ihr.
Und warum ihr das in Hochschulmathematik postet ist mir auch ein Rätsel.

Grüße Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Polynomdivision ist doch vollkommen überflüssig. Es reicht, die negativen und positiven Teiler des Absolutgliedes durchzuprobieren, sofern die Voraussetzung, daß alle Nullstellen ganzzahlig sind, stimmt. Im Prinzip sucht man eine Zerlegung



Nur solche Tripel kommen als Nullstellen in Frage.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Q-fLaDeN


Wobei Nullstellen von sind.


Wobei diese Zerlegung nur funktioniert, wenn f auch n Nullstellen hat, oder, wenn man komplexe Lösungen zulässt.

air
laien Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Gleichung Nullstellen bestimmen
Danke für deine Antwort, nur unsere Frage ist jetzt, wie weiß ich dass 5 positiv ist, 2 negativ und 1 wieder positiv ist. Es könnte ja auch sein dass 5 negativ ist?lg
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Es müssen entweder eine oder alle drei Nullstellen negativ sein, um auch ein negatives Ergebnis (-10) als Produkt zu erhalten.

Wenn du nun das Tripel (5, -2, 1) als mögliche Lösung untersuchen möchtest, dann musst du eben mal f(5) ausrechnen.
Ist f(5) = 0, so probierst du auch f(-2). Ist dies auch Null, so muss f(1) auch Null sein und du hast die Lösung.

Es kommen ja sowieso nur die Tripel

(5, 2, -1)
(5, -2, 1)
(-5, 2, 1)
(-5, -2, -1)

in Frage.
Teste also erst eine negative Nullstelle. Ist diese wirklich Nullstelle, so probiere die nächste des Tripels. Stimmt die auch, dann passt das Tripel.
Ansonsten mit dem nächsten Tripel weitermachen.

air
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Es kommen ja sowieso nur die Tripel

(5, 2, -1)
(5, -2, 1)
(-5, 2, 1)
(-5, -2, -1)

in Frage.


, aber auch
Sollte also keines der obigen Tripel passen, kämen noch drei weitere Tripel in Frage.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, das habe ich übersehen Augenzwinkern

air
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mal am Rande:

Hat denn das etwas mit Vieta zu tun? Und ist es nicht viel geschickter, wenn man schnell eine Polynomdivision durchführt anstatt Zahlentripel zu suchen/durch zu probieren?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

So viele Tripel hat es nicht, und komplett durchprobieren muss man auch nicht.
Außerdem ist es eben Vorgabe.

Und mit Satz des Vieta hat es was zu tun. Denn der SdV sagt etwas über das Produkt der Nullstellen aus.

air
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, naja gut. Ich wäre aber mit PD viel schneller, als wenn ich das ausprobieren würde.
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