Adjunktion wie mach ich das?

13.09.2008, 14:03

Pinky2008

Adjunktion wie mach ich das?

Halli Hallo!!

Ist mein erster Versuch hier eine Frage zu stellen und ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt...
Und zwar hab ich eine Frage zur Adjunktion: Überall steht immer sowas wie: Sei L:K Körpererweiterung (was das ist ist mir weitestgehen klar) Ist a Element aus L Dann erhält man K(a) durch Adjunktion von a zu K.
Meine Frage ist jetzt: Was mach ich genau, wenn ich K durch Adjunktion von a "erstelle"?
Also zb. ist ja Q(wurzel2) = (a+bwurzel2 mit a,b Element aus Q) (das hab ich irgendwo gefunden...)
Dann ist ja Q(wurzel2) eine Erweiterung von Q (mit Element aus R=reelle Zahlen). Richtig???
Aber wie sieht denn z.B. Q(wurzel2, wurzel3) aus?? a+bwurzel2+cwurzel3 oder so??
Oder ganz allgemein: wie sieht L=K(a1, a2, ...an) aus? Denn das muss nach Definition gelten, wenn L ein Zerfällungskörper sein soll...(Bei dieser Definition bin ich über das Wort "Adjunktion" gestolpert)
Ich hoffe, ihr versteht meine Frage und könnt mir weiterhelfen...

Vielen Dank im Vorraus!

13.09.2008, 20:31

system-agent

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Na dann

im Board !
Versuch bitte in deinen weiteren Beiträgen den Formeleditor zu nutzen ! Augenzwinkern

Nun zu deiner Frage:
"Sei $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung", das bedeutet, dass du zwei Körper gegeben hast, nämlich $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} K\subset L \end{eqnarray*}$ gilt.
Ein naheliegendes Beispiel ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L=\mathbb R \end{eqnarray*}$ [natürlich wäre auch $\begin{eqnarray*} K=L=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder ähnliches nicht ausgeschlossen, aber bischen langweilig].

Hat man einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gegeben, dann bezeichnet $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ den kleinsten Körper, der $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthält und eben auch das Element $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ein Körper sein soll, müssen also auch jedes Produkt, Division, Addition, Subtraktion mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ drin sein.
Technisch gesagt ist $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ definiert als das Bild des Einsetzungshomomorphismus $\begin{eqnarray*} K[X]\to K[\alpha] \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(X)\mapsto f(\alpha) \end{eqnarray*}$ [das heisst der Homomorphismus setzt in jedes mögliche Polynom das Element $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein. Mach dir klar, dass damit jede Operation mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ berücksichtigt ist, die man in einem Körper machen können muss.]

Nun weiter:
Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ hat (als Ring), dann muss man erstmal klären dass dies auch ein Körper ist [weil $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ], man schreibt dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Nun ist dann sicher $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung. Aber man kann dann genausogut $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ansehen, und dieser hat Dimension 2. Deshalb kann man
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\quad:\quad a,b\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$
schreiben, nachdem man $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Basis gefunden hat.

14.09.2008, 11:59

Pinky2008

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Adjunktion wie mach ich das?
Hallo!!

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Also das
$\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ wegen des Homomorphismus ein Körper ist habe ich verstanden!! Was mir nicht klar ist:
Wie komme ich auf die Basis
$\begin{eqnarray*} \{ 1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ , wenn ich nicht weiß, wie Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ aussieht? Also wie würde ich die Basis bestimmen? (vorher weiß ich doch auch nicht welche Dimension Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ hat oder habe ich da vielleicht was grundlegendes aus der Linearen Algebra falsch verstanden??)
Und dazu dann noch eine andere Frage:
Warum sieht Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ so aus? Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} )= \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in Q \} \end{eqnarray*}$
Habe ich das richtig verstanden, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$
noch dabei sein muss, damit
Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist?

Ich hoffe, du/ ihr könnt mir helfen meine groooßen Knoten im Kopf etwas zu lockern...

14.09.2008, 13:36

system-agent

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RE: Adjunktion wie mach ich das?

Zitat:

Original von Pinky2008
Was mir nicht klar ist:
Wie komme ich auf die Basis
$\begin{eqnarray*} \{ 1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ , wenn ich nicht weiß, wie Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ aussieht? Also wie würde ich die Basis bestimmen? (vorher weiß ich doch auch nicht welche Dimension Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ hat oder habe ich da vielleicht was grundlegendes aus der Linearen Algebra falsch verstanden??)

Da gibt es einen Satz in der Algebra, der dir die Dimension verrät:
Ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_{\alpha}\in K[X] \end{eqnarray*}$ sein Minimalpolynom, dann ist
$\begin{eqnarray*} \dim_KK(\alpha)=\text{grad}(m_{\alpha}) \end{eqnarray*}$ .

In diesem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} m_{\sqrt{2}}(X)=X^2-2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \text{grad}(m_{\sqrt{2}})=2 \end{eqnarray*}$ .
Da sicher $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ sein muss, ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sicher ein Basiselement. Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , muss es sicher in einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ auftauchen, also hast du alles was du brauchst.

Zitat:

Original von Pinky2008
Und dazu dann noch eine andere Frage:
Warum sieht Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ so aus? Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} )= \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in Q \} \end{eqnarray*}$
Habe ich das richtig verstanden, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$
noch dabei sein muss, damit
Q $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}, \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist?

Deine Begründung wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{6}\in\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ gilt ist perfekt Freude

.
Dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3} )= \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$
gilt, beinhaltet bereits, dass $\begin{eqnarray*} B=\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden. Konkret: Man müsste zuerst die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bestimmen [Gradsatz] und danach noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auch wirklich eine Basis ist [lineare Unabhängigkeit!].

Siehe dazu auch den Schluss von diesem Thread.

14.09.2008, 16:38

Pinky2008

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Juhu! Ich habs verstanden!! Hammer

Vielen Dank für die Hilfe!! Blumen

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