Beweise das M Teilmenge von N ist

14.09.2008, 08:44

cod3r

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Beweise das M Teilmenge von N ist

Hallo,

ich nehme zur Zeit an einem Vorkurs Mathematik an der Uni teil und stelle fest, dass ich noch große Schwierigkeiten haben offensichtliche Dinge zu beweisen.

Wir haben folgende Aufgabe bekommen:

$\begin{eqnarray*} (M \subseteq N) => (M \cup N = N) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mich dran gemacht das zu beweisen und das sieht so aus:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} (M \subseteq N) \end{eqnarray*}$ zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (M \subseteq N) \end{eqnarray*}$

1. => $\begin{eqnarray*} x \in M \subseteq x\in N \end{eqnarray*}$

2. => hier weiß ich nicht wie ich das umformen soll

3. => $\begin{eqnarray*} (x \in M) \vee (x \in N) = (x \in N) \end{eqnarray*}$

4. => $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$

kann mir jemand den Schritt 2 dazufügen und erklären?

Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2008, 08:52

DGU

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Zuallererst: Du willst eine Mengengleichheit zeigen, also musst du zeigen:
$\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} N \subseteq M \cup N \end{eqnarray*}$ (Das ist relativ einfach.)

Deine Notation ist an einigen Stellen nicht so ganz richtig, ich mach mal für dich den Anfang von der ersten Inklusion, du kannst dann weitermachen:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ ...

14.09.2008, 09:08

cod3r

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Kurze Zwischenfrage:

Muss ich bei $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ beginnen und mich dann nach $\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) \end{eqnarray*}$ rechnen? Oder genau anders rum?

*schäm*

Ich hab das erste mal in meinem Leben mit derartigen Beweisen zu tun. Aber ich WILL es lernen.

Ist $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$ ?

14.09.2008, 09:20

DGU

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Zitat:

Original von cod3r
Kurze Zwischenfrage:

Muss ich bei $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ beginnen und mich dann nach $\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) \end{eqnarray*}$ rechnen? Oder genau anders rum?

Genau das.

Aber: Das was du zeigen möchtest ist wie oben schon erwähnt eine Mengengleichheit, das heißt du musst beide Inklusionsrichtungen zeigen. Die zweite Richtung verwendet aber gar nicht die Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ ).

Dann noch kurz zu den Symbolen:
1. $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ bedeutet: Die Vereinigung der Mengen M und N ist eine Teilmenge von N.
2. $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$ bedeutet: Die Vereinigung der Mengen M und N ist gleich der Menge N.
3. $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \cup N \end{eqnarray*}$ bedeutet: Die Menge N ist eine Teilmenge der Vereinigung der Mengen M und N .
Wenn du 1. und 3. gezeigt hast, folgt 2.

Sagen dir denn die Definitionen von Teilmenge und Vereinigungsmenge etwas? Wenn ja, da folgere strikt nach den Definitionen...und dann stehts schon da... smile

smile

(sonst einfach nachfragen...)

14.09.2008, 09:50

cod3r

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Hm, hm, hm....

Da ich mein Studium (Wirtschaftsinformatik) im 2. Bildungsweg absolviere ist Schule schon ziemlich lange her. Ich buddel mich in den letzten Tagen durch Mathebücher um mir das alles noch mal präsent zu machen, und ich bin wirklich dankbar, dass es diese Community hier gibt. So viele Helfer, die echt Durchblick haben.

STEP 1:
Wenn ich jetzt mal ganz rudimentär male, dann habe ich zwei Kreise; Einen großen und einen kleinen. Der große ist N und der kleine in der Mitte von N ist M. Somit habe ich zwei Teilmengen, nämlich N und M. Wenn ich jetzt beide vereinige dann habe ich logischer Weise N. Also $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ . Bis hier richtig oder?

STEP 2:
Da es nun schnuppe ist ob ich $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$ schreibe, weil mit beidem das gleiche gemeint ist, versuche ich das nun mathematisch zu beweisen, indem ich die Ausdrücke in seine Bestandteile aufbrösel; richtig?

STEP 3:
Also, $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ ist mein vorgegebener Ausdruck. Für M kann ich aber auch $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ schreiben, so dass ich nachher den Ausdruck $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ stehen habe; richtig?

STEP 4:
Jetzt geht der Beweis los...... grübel, grübel und studier, ich bringe meine Ideen zu Papier.... Melde mich gleich wieder!

14.09.2008, 10:00

DGU

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Zitat:

Original von cod3r
STEP 1:

Wenn ich jetzt mal ganz rudimentär male, dann habe ich zwei Kreise; Einen großen und einen kleinen. Der große ist N und der kleine in der Mitte von N ist M. Somit habe ich zwei Teilmengen, nämlich N und M. Wenn ich jetzt beide vereinige dann habe ich logischer Weise N. Also $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ . Bis hier richtig oder?

Vielleicht ist das etwas zu penibel, aber um der Exaktheit willen: Somit hast du zwei Mengen, N ist Teilmenge von M. Nebenbei eignen sich Mengendiagramme gut zur Illustration eines Sachverhaltes, aber nicht zum Beweis.

Zitat:

Original von cod3r
STEP 2:
Da es nun schnuppe ist ob ich $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$ schreibe, weil mit beidem das gleiche gemeint ist, versuche ich das nun mathematisch zu beweisen, indem ich die Ausdrücke in seine Bestandteile aufbrösel; richtig?

Schnuppe ist das nicht (in diesem Spezialfall gilt sogar Äquivalenz), aber zeigen sollst du:
$\begin{eqnarray*} M \subseteq N \Rightarrow M \cup N = N \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von cod3r
STEP 3:
Also, $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ ist mein vorgegebener Ausdruck. Für M kann ich aber auch $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ schreiben, so dass ich nachher den Ausdruck $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ stehen habe; richtig?

Für $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kannst du nicht $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ schreiben, warum sollen die Mengen gleich sein?
Mach doch mal bei dem ersten Post von mir unten weiter...

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14.09.2008, 11:06

cod3r

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Also.... ich sitze seit dem letzten Eintrag über diesem Beweis und ich komme nicht auf die Lösung!

Ich habe in meinen Unterlagen zwar die Musterlösung, aber, ich kann sie mir nicht erklären! Ich steig einfach nicht dahinter....

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ beliebig dann:

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in N \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in N \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in M \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \cup M \end{eqnarray*}$

Das ist die Musterlösung so wie wir sie aufgeschrieben haben

damit hätte ich dann die Aussage bewiesen, aber ich verstehe es nicht.... Ich würd soviel darum geben nur diesen einen Beweis zu verstehen, dann kann ich das selbstständig auf andere Beweise übertragen. Die Gesetze (Distributiv etc.) sind mir geläufig. Kann mir bitte, bitte jemand diesen Beweis Schritt für Schritt erklären, damit ich es verstehe? Ich bin nicht dumm, aber die 1. Schritte sind die schwersten.....

Vielen, vielen Dank (darauf, dass ich nicht nochmal stundenlang drüber brüten muss)

14.09.2008, 11:25

DGU

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Ok, ich kommentiere mal den Beweis:

Wir wissen: $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$
Wir wollen zeigen, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$
Dazu zeigen wir $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \cup N \end{eqnarray*}$ .
Um eine Mengeninklusion von der obigen Art zu zeigen, nehmen wir ein beliebiges Element, das in der linken Menge ist und zeigen, dass es dann auch in der rechten Menge ist. Das passiert hier für die erste Inklusion:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ beliebig.

Dann verwenden wir die Definition der Vereinigung zweier Mengen: Wenn ein Element in der Vereinigung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist, dann ist es Element der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ oder Element der Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ (kein "entweder oder", unser Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann also auch in beiden Mengen enthalten sein. Genau das sagt folgende Aussage, wobei das $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ dieses einschließende "oder" bezeichnet:

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in N \end{eqnarray*}$

Wir wissen nach Voraussetzung (!!), dass $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ , also gilt für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ (nach Definition der Teilmengeneigenschaft: $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass alle Elemente, die in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind, auch in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind:

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in N \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ (was ja das gleiche ist), dann gilt:

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle haben wir gezeigt, dass jedes Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das in $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ ist, auch in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist, also dass $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt die andere Richtung:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ .

Klar ist: Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Element von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Element von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ :

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in M \end{eqnarray*}$

Das ist aber genau die Definition der Vereinigung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ :

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \cup M \end{eqnarray*}$

Also gilt auch die andere Inklusion $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \cup N \end{eqnarray*}$ (hier geht die Voraussetzung nicht ein!!), also folgt, dass beide Mengen gleich sind.

14.09.2008, 13:49

cod3r

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BOA!!!!!

Ich danke Dir von ganzem Herzen für die viele Arbeit die Du dir gemacht hast um es mir zu erklären. Vielen Vielen DANK!!!! Freude

Freude

Ich hätte das niemals verstanden, wenn Du das nicht so ausführlich hingeschrieben hättest.

Jetzt habe ich es endlich verstanden.

Wenn ich kann würde ich mich gerne mit irgendwas revanchieren.... Zum Beispiel bei Informatikthemen (wenn es nicht gerade um Mathe geht [lerne ich ja gerade erst]) oder bei BWL-Themen (kfm. Mathe ist ok, dass kann ich).....

Also nochmal vielen, vielen Dank!

14.09.2008, 14:05

DGU

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Gern geschehen smile

smile

Danke für dein Angebot zur Revanche, aber vielleicht kannst du einfach bei Fragen hier im Board von anderen helfen, wenn du Zeit hast. Informatik hab ich zwar im Nebenfach, aber hab da zum Glück schon alles gehört, was ich bis zum Ende meines Studiums brauche... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2008, 18:37

Musti

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Hi DGU,

ich habe eigentlich die gleichen Probleme wie cod3r, deswegen hätte ich eine Bitte.

Du hast ja gezeigt wie man sowas beweist und zwar sehr ausführlich.
Wie sähe denn die Kurzfassung aus, oder ist das die kürzeste Fassung?

Vielen dank

14.09.2008, 19:02

DGU

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Die kürzeste, aber noch einschrittige Lösung wäre meiner Meinung nach die folgende. Allerdings kann man mit zunehmendem Kenntnisstand des Lesers z.B. die einleitenden Sätze weglassen, oder den Beweis direkt als "Klar." deklarieren.

Zitat:

Original von DGU

Wir wissen: $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$
Wir wollen zeigen, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$
Dazu zeigen wir $\begin{eqnarray*} M \cup N \subseteq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \cup N \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ beliebig.

=> $\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in N \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in N \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung.

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$

Andererseits: (Das folgende kann man auch gut weglassen, wenn es einem wirklich "klar" ist.)

Sei $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ .

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \vee x \in M \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x \in N \cup M \end{eqnarray*}$

14.09.2008, 19:13

Musti

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Hey ich danke dir ersteinmal.
Ich hab hier eine Aufgabe die ich gerne Mal vorrechnen würde, wäre sehr nett wenn du da gleich Mal drüberschauen könntest.

14.09.2008, 19:37

Musti

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Also ich muss folgende Mengengleichheit zeigen:

$\begin{eqnarray*} L\cup (M\cup N) = (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

Wir müssen denke ich beide Richtungen zeigen, indem wir zeigen dass ein Element aus der linken Seite auch ein Element der rechten Seite ist und umgekehrt. Richtig?
Dazu zeigen wir:
$\begin{eqnarray*} L\cup (M\cup N)\subseteq (L\cup M) \cup N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (L\cup M)\cup N \subseteq L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$
Ich würde so anfangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$ beliebig

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee x\in (M\cup U) \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich hierdrauf das Assoziativgesetz an:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x\in L \vee x\in M) \vee x\in U \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x\in L \vee x\in M \end{eqnarray*}$ die Voraussetzung für die Vereinigung zweier Mengen sind gilt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch die andere Inklusion zeigen:

$\begin{eqnarray*} x\in (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in (L \cup M) \vee x\in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee (x\in M \vee x\in N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee (x\in M \cup N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$

So das wäre der Beweis.

Ist das so richtig?
Stimmt etwas an der Vorgehensweise nicht?
Habe ich was vergessen?
Wäre sehr nett wenn du mir jeden Fehler auch wenn es ein kleiner ist zu nennen.

Danke

14.09.2008, 21:50

DGU

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Prinzipiell sieht das sehr gut aus, allerdings gibts noch zwei kleine "Sprungstellen" zuviel.
Btw: Ein kurzer Beweis wäre etwa: "Folgt sofort aus der Assoziativität des logischen "Oders". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Musti
Also ich muss folgende Mengengleichheit zeigen:

$\begin{eqnarray*} L\cup (M\cup N) = (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

Wir müssen denke ich beide Richtungen zeigen, indem wir zeigen dass ein Element aus der linken Seite auch ein Element der rechten Seite ist und umgekehrt. Richtig?
Dazu zeigen wir:
$\begin{eqnarray*} L\cup (M\cup N)\subseteq (L\cup M) \cup N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (L\cup M)\cup N \subseteq L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$
Ich würde so anfangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$ beliebig

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee x\in (M\cup U) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt im Prinzip noch ein Schritt, sonst kannst du das Ass.gesetz nicht anwenden:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee (x\in M \vee x \in U)) \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich hierdrauf das Assoziativgesetz an:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x\in L \vee x\in M) \vee x\in U \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x\in L \vee x\in M \end{eqnarray*}$ die Definition von " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten in der Vereinigung der Mengen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ " ist gilt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch die andere Inklusion zeigen:
Sei $\begin{eqnarray*} x\in (L\cup M)\cup N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in (L \cup M) \vee x\in N \end{eqnarray*}$

Hier fehlt analog zu oben der Zwischenschritt (nicht ergänzt von mir).

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee (x\in M \vee x\in N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L \vee (x\in M \cup N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in L\cup (M\cup N) \end{eqnarray*}$

So das wäre der Beweis.

Ist das so richtig?
Stimmt etwas an der Vorgehensweise nicht?
Habe ich was vergessen?
Wäre sehr nett wenn du mir jeden Fehler auch wenn es ein kleiner ist zu nennen.

Danke

14.09.2008, 22:24

Musti

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Vielen dank, das heißt ich habs halbwegs verstanden smile

smile

15.09.2008, 19:49

cod3r

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Es geht weiter
Hi,

im 1. Schritt sollte ich ja beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (M \subseteq N) => (M \cup N = N). \end{eqnarray*}$

Jetzt, im 2. Schritt, soll ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) => (M \cap N = M) \end{eqnarray*}$ .

Nach dieser hervorragenden Erklärung von DGU habe ich mir dazu folgendes zusammengebastelt.

Ich kommentiere es direkt, damit man auf Anhieb versteht was ich mir dabei gedacht habe.

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) => (M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

das heißt:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[das ist die Definition]

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in (M \cup N) \end{eqnarray*}$
[in der Voraussetzung haben wir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$ ist ... also gilt: $\begin{eqnarray*} x \in N = x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ ]

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge (x \in M \vee x \in N) \end{eqnarray*}$
[Hier habe ich das $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ einfach aufgebröselt]

$\begin{eqnarray*} (x \in M \wedge x \in M) \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[Anwendung des Distributivgesetzes]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[ $\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N = x \in M \end{eqnarray*}$ ( weil beide Mengen in der Schnittmenge vorhanden sein müssen)]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in M \end{eqnarray*}$
[da beides gleich ist folgt:]

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$
[damit ist bewiesen: ( $\begin{eqnarray*} M \cap N \subseteq M \end{eqnarray*}$ )

Jetzt das ganze Spiel rückwärts um zu beweisen, dass auch $\begin{eqnarray*} ( M \subset M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gilt

also:

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[haben wir ja eben bewiesen]

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$

Somit ist bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N \subseteq M) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ( M \subseteq M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gleich sind

daher gilt:
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

War das jetzt so richtig was ich mir da gedacht habe?

P.S.: Das war jetzt viel Arbeit zwischen dem Text die ganzen Latex Befehle einzufügen. Kann ich nicht auch den ganzen Text (natürlich im Latex-Code) markieren und dann das Formelsymbol drücken?

15.09.2008, 22:46

DGU

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RE: Es geht weiter

Zitat:

Original von cod3r

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) => (M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

das heißt:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[das ist die Definition]

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in (M \cup N) \end{eqnarray*}$
[in der Voraussetzung haben wir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$ ist ... also gilt: $\begin{eqnarray*} x \in N = x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ ] ---> Das Gleichheitszeichen ist hier fehlplatziert, meinst du einen Implikationspfeil? " => "

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge (x \in M \vee x \in N) \end{eqnarray*}$
[Hier habe ich das $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ einfach aufgebröselt]

$\begin{eqnarray*} (x \in M \wedge x \in M) \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[Anwendung des Distributivgesetzes]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[ $\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N = x \in M \end{eqnarray*}$ ( weil beide Mengen in der Schnittmenge vorhanden sein müssen --> was meinst du damit? (gleiches wie oben gilt für das Gleichheitszeichen))]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in M \end{eqnarray*}$
[da beides gleich ist folgt:]

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$
[damit ist bewiesen: ( $\begin{eqnarray*} M \cap N \subseteq M \end{eqnarray*}$ )

Obiger erster Schritt wäre viel schneller und ohne Verwendung der Voraussetzung folgedernaßen gegangen (denn diese Richtung gilt immer):

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[das ist die Definition]

=> $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ (immer dran denken, dass dieses "Dach" ein logisches "Und" bedeutet und klar ist: $\begin{eqnarray*} x \in M \text{ und } x \in N \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

Jetzt das ganze Spiel rückwärts um zu beweisen, dass auch $\begin{eqnarray*} ( M \subset M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gilt

also:

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[haben wir ja eben bewiesen] ---> Nein, genau das ist zu zeigen (und da muss die Voraussetzung eingehen, denn i.A. ist diese Aussage nicht richtig).

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$

Somit ist bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N \subseteq M) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ( M \subseteq M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gleich sind ---> Dies sind zwei Aussagen, die wahr sind, aber nicht gleich.

daher gilt:
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

War das jetzt so richtig was ich mir da gedacht habe?

P.S.: Das war jetzt viel Arbeit zwischen dem Text die ganzen Latex Befehle einzufügen. Kann ich nicht auch den ganzen Text (natürlich im Latex-Code) markieren und dann das Formelsymbol drücken? ---> Nein, das sieht ach komisch aus...einfach mal ausprobieren und auf "Vorschau" klicken...

16.09.2008, 21:04

cod3r

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RE: Es geht weiter

Zitat:

Original von DGU

Zitat:

Original von cod3r

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (M \cup N = N) => (M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

das heißt:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[das ist die Definition]

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in (M \cup N) \end{eqnarray*}$
[in der Voraussetzung haben wir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} ( M \cup N = N) \end{eqnarray*}$ ist ... also gilt: $\begin{eqnarray*} x \in N = x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ ] ---> Das Gleichheitszeichen ist hier fehlplatziert, meinst du einen Implikationspfeil? " => " [Nein, ich meinte hier wirklich = DENN, im 1. Beweis haben wir ja gesagt, dass $\begin{eqnarray*} x \in N = M \cup N \end{eqnarray*}$ ist, deswegen bin ich davon ausgegangen, dass ich hier für $\begin{eqnarray*} x \in N = x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ einsetzten kann]

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge (x \in M \vee x \in N) \end{eqnarray*}$
[Hier habe ich das $\begin{eqnarray*} x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ einfach aufgebröselt]

$\begin{eqnarray*} (x \in M \wedge x \in M) \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[Anwendung des Distributivgesetzes]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray*}$
[ $\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N = x \in M \end{eqnarray*}$ ( weil beide Mengen in der Schnittmenge vorhanden sein müssen --> was meinst du damit? (gleiches wie oben gilt für das Gleichheitszeichen))] [Hier habe ich mir gedacht, dass $\begin{eqnarray*} (x \in M \wedge x \in N)= x \in M \end{eqnarray*}$ sein muss, weil, Alle Elemente, die in M und in N sind gehören zur Schnittmenge, daher kann ich doch auch für diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ schreiben, oder?]

$\begin{eqnarray*} x \in M \vee x \in M \end{eqnarray*}$
[da beides gleich ist folgt:]

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$
[damit ist bewiesen: ( $\begin{eqnarray*} M \cap N \subseteq M \end{eqnarray*}$ )

Obiger erster Schritt wäre viel schneller und ohne Verwendung der Voraussetzung folgedernaßen gegangen (denn diese Richtung gilt immer):

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[das ist die Definition]

=> $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ (immer dran denken, dass dieses "Dach" ein logisches "Und" bedeutet und klar ist: $\begin{eqnarray*} x \in M \text{ und } x \in N \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

Jetzt das ganze Spiel rückwärts um zu beweisen, dass auch $\begin{eqnarray*} ( M \subset M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gilt

also:

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray*}$
[haben wir ja eben bewiesen] ---> Nein, genau das ist zu zeigen (und da muss die Voraussetzung eingehen, denn i.A. ist diese Aussage nicht richtig).

$\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$

Somit ist bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N \subseteq M) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ( M \subseteq M \cap N ) \end{eqnarray*}$ gleich sind ---> Dies sind zwei Aussagen, die wahr sind, aber nicht gleich.

daher gilt:
$\begin{eqnarray*} ( M \cap N = M) \end{eqnarray*}$

War das jetzt so richtig was ich mir da gedacht habe?

P.S.: Das war jetzt viel Arbeit zwischen dem Text die ganzen Latex Befehle einzufügen. Kann ich nicht auch den ganzen Text (natürlich im Latex-Code) markieren und dann das Formelsymbol drücken? ---> Nein, das sieht ach komisch aus...einfach mal ausprobieren und auf "Vorschau" klicken...

Ich werde die Aufgabe glaube ich nochmal überarbeiten, und hoffe, dass ich irgendwann verstehe wie das funktioniert. smile

smile

17.09.2008, 14:09

DGU

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Die Notation $\begin{eqnarray*} x \in N = M \cup N \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Element der Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist und dass die Mengen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ gleich sind. Eine Notation der Art $\begin{eqnarray*} x \in N = x \in M \cup N \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn bzw. ihr Sinn müsste erst definiert werden.

17.09.2008, 19:16

cod3r

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Bis heute, bzw. bis jetzt habe ich dran gesessen, und habe es endlich verstanden Big Laugh

Big Laugh

Danke DGU für Deine Geduld smile

smile

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