Kleine Beweise zum Erwartungswert

14.09.2008, 11:26

Jelure

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Kleine Beweise zum Erwartungswert

Für die Schule muss ich ein paar Beweise zum Thema Erwartungswert machen. Die meisten von denen hab ich schon gemacht, aber bei zwei Aufgaben komm ich nicht weiter.
1. Zwei verschiedenfarbige Münzen (rot und blau) werden geworfen. Beie Münzen mit 0 und 1 beschriftet. X bezeichnet die Summe beider Ergenisse, Y bezeichnet das Produkt beider Ergebnisse.
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} E(X*Y)\neq E(X)*E(Y) \end{eqnarray*}$ .

2. Formuliere eine Vermutung, unter welchen Umständen $\begin{eqnarray*} E(X*Y)= E(X)*E(Y) \end{eqnarray*}$ gilt und unter welchen Umständen dies nicht gilt.

Da die beiden Aufgaben sehr zusammenhängen, ist wohl die 1. erstmal wichtiger.
(Formel für den Erwartungswert: $\begin{eqnarray*} E(X)=x1*p1+x2*p2+...+xn*pn \end{eqnarray*}$ )
Da hab ich nun zunächst notiert, dass X*Y entweder 0 oder 2 sein kann.
Wenn ich nun also für X*Y Null einsetze, dann stimmt bei mir die Formel ( $\begin{eqnarray*} E(0)= E(0)*E(Y) \end{eqnarray*}$ ).

Daraus schließe ich, dass sie bei X*Y=2 nicht stimmen sollte. Das tut sie bei mir aber irgendwie auch. $\begin{eqnarray*} E(2)= E(1)*E(2) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} E(2)= 2p1 + 2p2 \end{eqnarray*}$ und das ist das gleiche wie: $\begin{eqnarray*} E(2)= (2p1 + 2p2) * (p1+p2) \end{eqnarray*}$ (zumindest solange p1 und p2 jeweils 0,5 sind). Und daraus schließe ich dann, dass das ganze $\begin{eqnarray*} E(2)= (2p1 + 2p2) * (p1+p2)= E(2)*E(1) \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Denkfehler?

14.09.2008, 13:41

tmo

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Was soll denn E(0) oder E(2) bedeuten? verwirrt

verwirrt

Du musst bei der 1. einfach nur die Erwartungswerte ausrechnen. Ist dir klar wie man das macht?

14.09.2008, 14:01

Jelure

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E(0) oder E(2) ist der Erwartungswert, dass 0 oder eben2 herauskommt.

eigentlich dachte ich, dass es mir klar ist, wie man den erwartungswert berechnet, aber gerade zweifel ich ein bisschen daran.

eigentlich berechnet man die doch mit der formel, die ich auch genannt habe. aber da ich ja nich E(X) sondern eben E(X*Y) hab, hab ich mir dann erstmal alle zahlen gesucht, die bei X*Y rauskommen können. und das sind eben 0 und 2.
und die beiden zahlen hab ich dann jeweils eingesetzt für x.

14.09.2008, 14:58

AD

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Du überspringst mir in deinen Betrachtungen einen ganz wesentlichen Punkt - oder zumindest beachtest du ihn nicht genügend: Das Bildungsprinzip von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

Original von Jelure
Zwei verschiedenfarbige Münzen (rot und blau) werden geworfen. Beie Münzen mit 0 und 1 beschriftet. X bezeichnet die Summe beider Ergenisse, Y bezeichnet das Produkt beider Ergebnisse.

Darauf aufbauend, sollte man strukturiert eher so rangehen: Man betrachtet die beiden Zufallsgrößen

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ... geworfener Wert der roten Münze
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... geworfener Wert der blauen Münze

Beides sind voneinander unabhängige 0-1-Zufallsgrößen. Sie lassen sich vollständig beschreiben durch die Angabe von $\begin{eqnarray*} r:=P(R=1)=E(R) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b:=P(B=1)=E(B) \end{eqnarray*}$ mit möglichen Werten $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq b\leq 1 \end{eqnarray*}$ . So würde etwa $\begin{eqnarray*} r=b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für zwei ungezinkte Münzen stehen.

Mit diesen Basiszufallsgrößen des Experiments kann man nun einfach $\begin{eqnarray*} X=R+B,Y=RB \end{eqnarray*}$ schreiben und die drei zu betrachtenden Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} E(X),E(Y),E(XY) \end{eqnarray*}$ als Funktionen von $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Anschließend kann man untersuchen, für welche Werte von $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ eintritt - und für welche nicht.

14.09.2008, 15:30

Jelure

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mh... also irgendwie versteh ich das alles noch nich so richtig.

ich hab nun den erwartungswert für X ausgerechnet. da hab ich nun 1,5 raus. und beim erwartungswert von Y hab ich 1 raus. das ganze multiplizier ich und komme auf 1,5.
is dieser weg schon falsch? wenn nicht, woher weiß ich die wahrscheinlichkeit? also, mir is klar, dass die Wahrscheinlichkeit einer normalen Münze 0,5 ist, aber kann ich das einfach einsetzen?

14.09.2008, 15:34

AD

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Zitat:

Original von Jelure
ich hab nun den erwartungswert für X ausgerechnet. da hab ich nun 1,5 raus. und beim erwartungswert von Y hab ich 1 raus.

Die Rechnung möchte ich mal sehen - für ungezinkte Münzen ist jedenfalls beides falsch. unglücklich

unglücklich

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14.09.2008, 16:03

Jelure

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ok, also ich glaub ich hab da so einiges falsch gemacht...
meine rechnung von eben schreib ich gleich auf, hier erstmal was allgemeines zum erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} E(X)= x1*P(X= x1)+ x2*P(X= x2)+... \end{eqnarray*}$
das is erstmal die formel für den ganz normalen erwartungswert.
bei einer ungezinkten münze, hab ich zwei mögliche ergebnisse: 0 oder 1.
daraus folgt: x1=0 und x2=1
die wahrscheinlichkeit eine 0 oder eine 1 zu werfen ist 0,5. deshalb setzte ich für p1 und p2 = 0,5 ein.
und somit komme ich auf E(X)=0,5.
ist das zumindest richtig?

14.09.2008, 16:06

AD

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Nein, denn X ist bereits die Summe zweier Münzwerte. Hast du dir meinen obigen Beitrag mit dem Vorschlag, erstmal die Münzwerte $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zu betrachten, durchgelesen? Sicher nicht.

14.09.2008, 16:11

Jelure

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klar hab ich mir den durchgelesen, aber irgendwie versteh ich den nich so richtig.
was genau is der unterschied zwischen r und R?

14.09.2008, 16:15

AD

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Lesen! Lesen! Lesen! Steht alles da:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ... geworfener Wert der roten Münze

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} r:=P(R=1)=E(R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist also eine Zufallsgröße, während $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ ist (d.h., dass mit der roten Münze eine 1 geworfen wird). Bei 0-1-Zufallsgrößen wie $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist das auch gleichzeitig der Erwartungswert, wie folgende kurze Rechnung zeigt:

$\begin{eqnarray*} E(R) = 0\cdot P(R=0) + 1\cdot P(R=1) = P(R=1) \end{eqnarray*}$ .

14.09.2008, 16:20

Jelure

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aber was genau, bedeutet das zweite?
Kleines r ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Münze eine 1 wirft?
Und das ganze ist dann der Erwartungswert von R.

14.09.2008, 16:21

AD

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Das habe ich noch ergänzt, hast du wohl noch nicht mitgekriegt.

14.09.2008, 16:26

Jelure

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d.h. der Erwartungswert einer ungezinkten Münze ist 1?

14.09.2008, 16:27

AD

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Wie kommst du denn jetzt darauf? unglücklich

unglücklich

Das würde bedeuten r=1, d.h, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 eine 1 geworfen wird. Das ist keine ungezinkte Münze, sondern eine maximal gezinkte Münze, da immer der Wert 1, aber nie der Wert 0 geworfen wird!!!

P.S.: Ach ja, schon wieder nicht gelesen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
So würde etwa $\begin{eqnarray*} r=b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für zwei ungezinkte Münzen stehen.

Das nehme ich langsam, aber sicher übel.

14.09.2008, 16:36

Jelure

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sorry, ich bin nur irgendwie total verwirrt im moment.

Wenn ich nun also mit deinem ersten Beitrag weitermache, dann würde das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} E(X)=E(R+B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(Y)=E(R*B) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} E(X*Y)=E((R+B)*(R*B)) \end{eqnarray*}$

14.09.2008, 16:37

AD

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Völiig richtig. Freude

Freude

14.09.2008, 16:45

Jelure

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sehr schön, ich mach also auch mal was richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Trotzdem komm ich jetzt mal wieder nicht weiter :-(.

Wie berechne ich E(R+B) ?

Das beschreibt doch eigentlich den Erwartungswert beider Münzen zusammen, oder? Müsste der nicht 0,5 sein?

Kann ich den irgendwie mit der Formel für den Erwartungswert berechnen? Wenn ja, was setzt ich dann da ein? Die Wahrscheinlichkeit ist 0,5. Weiter komme ich irgendwie nicht.

14.09.2008, 16:48

AD

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Der Erwartungswert der Summe zweier (bzw. endlich vieler) Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Einzelerwartungswerte.

Gleiches gilt für das Produkt, falls zusätzlich bekannt ist, dass die Faktoren unabhängige Zufallsgrößen sind.

Zumindest das erste ist Grundlagenwissen über Erwartungswerte.

14.09.2008, 16:53

Jelure

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aha, ok.
Das heißt, wenn ich das richtig verstanden habe, dass:

E(R+B)=1
E(R*B)=1
??

14.09.2008, 16:57

AD

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Zitat:

Original von Jelure
E(R+B)=1

Ja, denn $\begin{eqnarray*} E(R+B) = E(R)+E(B) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Jelure
E(R*B)=1

Nein, denn

$\begin{eqnarray*} E(RB) = E(R)E(B) = ? \end{eqnarray*}$

Generell eine Anmerkung;

In der Problemstellung ist keine Rede davon, dass man die beiden Münzen (rot und blau) als ungezinkt annehmen darf, was du anscheinend tust. Ich habe das eher so verstanden, dass man am Ende angeben soll, für welchen "Zinkungsgrad" (d.h. welche Werte $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ ) man nun zu $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ gelangt. Habe ich übrigens auch alles schon oben geschrieben...

14.09.2008, 16:57

Leopold

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@ Arthur

Ich glaube nicht, daß Jelure schon allzu viele abstrakte Eigenschaften des Erwartungswertes kennt. Die Aufgabe scheint mir eher darauf hinauszulaufen, selber herauszubekommen, unter welchen Voraussetzungen was gilt.

@ Jelure

Vielleicht hilft es dir, wenn die Situation an einem Baum veranschaulicht wird. Die Werte von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ stehen in der ersten Stufe, die von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in der zweiten. Dann habe ich zu jedem Ausgang, also jedem Pfad den Wert der Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y,XY \end{eqnarray*}$ danebengeschrieben.

[attach]8622[/attach]

So siehst du zum Beispiel, daß $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Werte 0,1,2 annehmen kann. Diese Werte mußt du nun multiplizieren mit den Wahrscheinlichkeiten, mit denen sie angenommen werden. Das gibt dir den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X) = 0 \cdot (1-r)(1-b) + 1 \cdot \left( (1-r)b + r(1-b) \right) + 2rb = r + b \end{eqnarray*}$

Wenn du die Additivität des Erwartungswertes schon kennst, sollte dich dieses Ergebnis nicht überraschen. Und jetzt kannst du analog die Erwartungswerte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen, wann Gleichheit herrscht und wann nicht.

14.09.2008, 17:15

Jelure

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@ Arthur: E(R*B)= 0,5 * 0,5 = 0,25

wenn ich nun also weiterrechne:
$\begin{eqnarray*} E((R+B)*(R*B))=0,5*0,25=0,125 \end{eqnarray*}$

oder nicht?

@Leopold:

E(Y)=rb
E(XY)=2rb
??

14.09.2008, 17:18

Leopold

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Zitat:

Original von Jelure
@Leopold:

E(Y)=rb
E(XY)=2rb
??

Stimmt. Und kann man nun $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(XY) = \mathcal{E}(X) \cdot \mathcal{E}(Y) \end{eqnarray*}$ ?

14.09.2008, 17:26

Jelure

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verwirrt

E(XY)=E(X)*E(Y)
2rb=rb*rb

verwirrt

verwirrt

14.09.2008, 17:28

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X) \end{eqnarray*}$ in der Formel stimmt nicht. Der richtige Wert steht schon oben in meinem Beitrag.

14.09.2008, 17:31

Jelure

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oh, stimmt!

also:

2rb=(r+b)*rb

14.09.2008, 17:35

Leopold

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Und für den Spezialfall fairer Münzen ist ja $\begin{eqnarray*} r=b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Ist diese Gleichung dann erfüllt oder nicht?
Kann man sich andere $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ denken, so daß die Gleichung stimmt?

14.09.2008, 17:39

Jelure

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für ungezinkte münzen stimmt die gleichung nicht.

wenn r=1 und b=0 dann stimmt sie...

das is aber kein gutes beispiel für gezinkte münzen oder?

14.09.2008, 17:42

Leopold

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Wenn etwa $\begin{eqnarray*} r=0{,}12345678987654321 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ist, stimmt die Gleichung auch. In der Tat sind das keine guten Beispiele für gezinkte Münzen, wenn eine Münzseite überhaupt keine Chance mehr hat. Dennoch die Frage: Gibt es jetzt eine Kombination $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<r,b<1 \end{eqnarray*}$ , so daß die Gleichung erfüllt wird?

14.09.2008, 17:52

Jelure

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irgendwie hab ich gerade ein paar Probleme bei der Termumformung: traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} 2rb=(r+b)*rb \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2rb=r^{2}*b+ b^{2}*r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=r+b \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

14.09.2008, 17:59

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} r,b>0 \end{eqnarray*}$ korrekt umgeformt (Division durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist dadurch ja ausgeschlossen). Gibt es jetzt solche $\begin{eqnarray*} r,b \end{eqnarray*}$ ?

14.09.2008, 18:05

Jelure

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ne, zumindest nich, wenn r und b jeweils kleiner als 1 sind.

14.09.2008, 18:10

Leopold

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Und damit ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(XY) = \mathcal{E}(X) \cdot \mathcal{E}(Y) \end{eqnarray*}$ nur in den trivialen Fällen $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r=b=1 \end{eqnarray*}$ erfüllbar. Und ansonsten gilt die Gleichung eben nicht.

14.09.2008, 18:14

Jelure

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ah ok. super!
vielen danke für deine/eure hilfe!!! Mit Zunge

Mit Zunge

Tanzen

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