Beweisbarkeit

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisbarkeit
Hallo,
ich habe wieder ein bisschen über Unentscheidbarkeit und dergleichen nachgedacht. Es wurde ja gezeigt, dass es keinen formalen Beweis oder Gegenbeweis in ZFC für die Kontinuumshypothese gibt. Spricht das aber nicht für die Wahrheit der Aussage? Wenn ich keinen Gegenbeweis habe, gibt es auch keine Gegenbeispiele, denn die wären ja ein Gegenbeweis. Somit stimmt die Aussage.

Aus dem gleichen Prinzip sind doch Allaussagen über der leeren Menge wahr: "Alle negativen natürlichen Zahlen sind orange" ist wahr, weil es keine solche Zahl gibt und somit kein Gegenbeispiel existiert. Warum wird bei der Unentscheidbarkeit nicht genauso argumentiert?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Nenene das ist falsch. Die Aussage "es GIBT keinen Beweis, es GIBT kein Gegenbeispiel" sind falsch.
Es WURDE noch kein Beweis GEFUNDEN trifft es da schon eher, aber genauso wurde auch noch kein Gegenbeispiel gefunden.

Das ist der Allgemeine Stand der Dinge, bevor irgendwas bewiesen/widerlegt worden ist.
Nur weil noch keiner ein Gegenbeispiel finden konnte, sagt das ja nicht aus, dass es das nicht gibt.

Ein Beweis ist quasi ein Beweis, dass es kein Gegenbeispiel geben kann, aber dieser Beweis wurde ja noch nicht erbracht.

Wenn ich mich recht entsinne war die Sache hier im speziellen Fall aber noch etwas anders, aber damit kenne ich mich nicht sonderlich aus.





edit:
deine Aussage "wenn ich kein Gegenbeispiel habe, dann ist es wahr" würden alle Vermutungen sofort beweisen Big Laugh
mercany Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisbarkeit
Zitat:
Original von papahuhn
Aus dem gleichen Prinzip sind doch Allaussagen über der leeren Menge wahr: "Alle negativen natürlichen Zahlen sind orange" ist wahr, weil es keine solche Zahl gibt und somit kein Gegenbeispiel existiert.


Da steckt doch schon der Widerspruch drin verwirrt
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, warum sollte das ein Widerspruch sein? Ein Widerspruch wäre, wenn man tatsächlich eine negative natürliche Zahl findet, die nicht orange ist.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
weil es keine solche Zahl gibt

das ist natürlich kein Widerspruch, es ist ein Beweis der Aussage
Hiermit beweist du nämlich, dass es kein Gegenbeispiel geben kann

Wie gesagt ist das ja gleich:
A ist wahr <=> es gibt nix, für dass A nicht wahr ist

Die kleine Aussage "es gibt keine negativen natürlichen Zahlen" beweist die rechte Seite, mit der Links automatisch mitzieht.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Es WURDE noch kein Beweis GEFUNDEN trifft es da schon eher, aber genauso wurde auch noch kein Gegenbeispiel gefunden.


Laut Wikipedia ist es nicht möglich die Kontinuumshypothese mit Hilfe der ZFC-Axiome zu widerlegen. D.h. nicht nur, dass der Gegenbeweis bisher nicht gefunden wurde sondern dass er nicht gefunden werden kann.
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich mich recht entsinne war die Sache hier im speziellen Fall aber noch etwas anders, aber damit kenne ich mich nicht sonderlich aus.

ich hatte sowas ja auch im Kopf.


Das war so eine Sondergeschichte, dass WEDER ein Gegenbeispiel NOCH ein Beweis dazu erbracht werden kann.
Diese Aussage ist mir ehrlich gesagt schon einiges zu hoch und wir kennen ja (zum Glück!?) den Beweis DAZU auch nicht (und ich kann mir überhaupt nicht vorstellen, wie man sowas zeigen sollte!?). Oder kennst du ihn?

Auf jeden Fall hoffe ich, dir ist inzwischen klar, was der Unterschied zu deinem Beispiel ist.

Mehr kann ich dir in der speziellen Sache leider auch nicht helfen.
PrototypeX29A Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisbarkeit
Zitat:
Aus dem gleichen Prinzip sind doch Allaussagen über der leeren Menge wahr: "Alle negativen natürlichen Zahlen sind orange" ist wahr, weil es keine solche Zahl gibt und somit kein Gegenbeispiel existiert. Warum wird bei der Unentscheidbarkeit nicht genauso argumentiert?


Die Unentschedibarkeit heisst ja, dass die ZFC nicht alles beweisen kann.

Genasowenig wie man aus den Axiomen "Boris Becker ist ein Deutscher und "Kein Schotte kann Tennis spielen" nicht beweisen kann dass Boris Becker nicht wird Fussball-Weltmeister wird.
Die Tatsache dass man es nicht beweisen kann (und man kann sicherlich beweisen dass man es nicht beweisen kann), heisst nicht dass das Gegenteil stimmt.

Der Grund dafuer ist, dass unser Axiomssystem einfach nicht stark genug ist, um alle Wahrheiten damit zu erfassen (und Goedel zeigt uns dass es auch kein anderes System gibt dass das kann).
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, für die Kontinuumshypothese gibt's doch einen Beweis, aber grade mal für Aleph0 und Aleph1, oder geht das etwa doch nicht?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

So um nochmal zusammenzufassen: Bevor man beginnt über die Lösung eines unentscheidbaren Problems nachzudenken, sollte man sich zu aller erst (wie so oft in der Mathematik) Gedanken über die Definition von Unentscheidbarkeit machen.

Zitat:
Eine Aussage ist unentscheidbar, wenn weder ihre Wahrheit, noch ihre Unwahrheit bewiesen werden kann.

(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Unentscheidbares_Problem)

Dabei ist natürlich nicht gemeint, dass ein Problem schon unentscheidbar ist, wenn es dem Betrachter nicht sofort gelingt einen Gegen-/Beweis zu konstruieren. Vielmehr ist damit gemeint, dass es unmöglich ist diesen zu konstruieren (siehe Protos Post).
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