Berechnung einer 400m-Bahn

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15.09.2008, 17:12	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung einer 400m-Bahn Hey Wir haben heute die Aufgabe bekommen, eine 400m lange Bahn so anzulegen, dass das recheckige Spielfeld in der Mitte den maximalen Flächeninhalt besitzt. Dazu habe ich erstmal eine Gleichung aufgestellt, da das Feld aus 2 Halbkreisen besteht...also u=2pir So habe ich dann herausbekommen: 400= 2* pi* r+ 2s (s steht für die eine Seite vom Feld) Danach wollte ich den Flächeninhalt berechnen.. Also: A= 2 r* s Da ich zwei Variablen habe, wollte ich die Gleichung umformen und sie dann ableiten zu können. also: 400= 2* pi* r+ 2s Ich löse anschließend nach r auf... 400-2s / 2* pi=r <=> r= 200-s/ pi Anschließend setze ich in die Gleichung A(r,s)= 2rs A(s)= 2* (200-s/pi)s = 400s-2s^2/ pi = 400/pi s- 2/pi s^2 Jetzt komme ich aber leider nicht weiter, um das restliche Feld zu berechnen. Würde mich um Lösungsvorschläge und -anregungen sehr freuen! Danke
15.09.2008, 17:16	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch einen Teil vergessen. Danach habe ich die Ableitung von s gemacht also: A'(s)= 400/pi- 4/pis 400/pi-4/pis= 0 400/pi= 4/pis 400=4s s= 100 A''(s)= -4/pi A##(100)= -4/pi<0 --> HP
15.09.2008, 17:33	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Könntest Du die Formeln eventuell nochmal mit dem Formeleditor hier aufschreiben? Und der Lesbarkeit halber auch ein paar Absätze machen. Denn sonst hat man wirklich die doppelte Mühe beim Durcharbeiten.
15.09.2008, 18:28	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, tut mir Leid. Hier schreibe ich es noch einmal deutlicher auf. Wir haben heute die Aufgabe bekommen, eine 400m lange Bahn so anzulegen, dass das recheckige Spielfeld in der Mitte den maximalen Flächeninhalt besitzt. Dazu habe ich erstmal eine Gleichung aufgestellt, da das Feld aus 2 Halbkreisen besteht: u= $\begin{eqnarray} 2\pir \end{eqnarray}$ So habe ich dann herausbekommen: 400= $\begin{eqnarray} 2\pi r+2s \end{eqnarray}$ (s steht für die eine Seite vom Feld) Danach wollte ich den Flächeninhalt berechnen. Also: A= 2 r* s Da ich zwei Variablen habe, wollte ich die Gleichung umformen und sie dann ableiten zu können. 400= $\begin{eqnarray} 2\pi r+2s \end{eqnarray}$ Ich löse anschließend nach r auf. $\begin{eqnarray} \frac{400-2s}{23,149}=r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow r=\frac{200-s}{3,149} \end{eqnarray}$ [/latex] Anschließend setze ich in die Gleichung A(r,s)= 2rs A= $\begin{eqnarray} 2\frac{200-s}{30149}s \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{400s-2s^2}{3,149} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{400}{3,149} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{s-2}{3,149}s^2 \end{eqnarray}$ Danach habe ich die Ableitung von s bestimmt. A'(s)= $\begin{eqnarray} \frac{400}{3,149} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{4}{3,149}s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{400}{3,149} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{4}{3,149}s \end{eqnarray}$ =0 $\begin{eqnarray} \frac{400}{3,149} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4}{3,149}s \end{eqnarray}$ 400=4s s= 100 A''(s)= $\begin{eqnarray} \frac{-4}{3,149} \end{eqnarray}$ A''(100)= $\begin{eqnarray} \frac{-4}{3,149} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray*}$ 0 --> HP So, hoffe,dass man es jetzt besser lesen kann Weiter weiß ich leider nicht
15.09.2008, 18:37	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Also ich habe keinen einzigen Fehler entdeckt. Die Feststellung ist, dass die Seite s des rechteckigen Feldes 100m lang sein muss, damit der Flächeninhalt maximal wird. Jetzt musst Du nur noch die andere Seite (2r) berechnen, indem Du 100m für s in die Nebenbedingung einsetzt (die Gleichung, in welcher der Gesamtumfang berechnet wird). [attach]8633[/attach] // Eine Nebenbemerkung noch: Die hinreichende Bedingung für lokale Maxima lautet $\begin{eqnarray} f^{\prime}(x_0) = 0 \ \wedge \ f^{\prime\prime}(x_0) \underbrace{<}_{!} 0 \end{eqnarray}$ (Du hattest f''(x0) kleiner/gleich 0 hingeschrieben. Das ist aber nicht hinreichend dafür, dass bei x0 ein Hochpunkt liegt) // Und noch ein Hinweis: Schreibe möglichst immer die exakten Zahlen hin, keine gerundeten Werte (also nicht 3,14 für pi). In diesem Fall hat sich sowieso alles weggekürzt, sodass Du gar nicht mit den gerundeten Zahlen gerechnet hast. Aber im Zweifelsfall wärst Du wahrscheinlich auf eine krumme Lösung anstelle der 100 gekommen!
15.09.2008, 19:51	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenigstens hab ich schon mal den Anfang richtig Aber ehrlich gesagt, sagt mir das jetzt nicht viel wie ich weiter arbeiten soll... Ich steh gerade auf'm Schlauch.
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15.09.2008, 19:53	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast s berechnet (100m), zu bestimmen ist r. Nutze dafür die bereits aufgestellte Gleichung $\begin{eqnarray} 400\,\mathrm{m} = 2 \cdot \pi \cdot r + 2 \cdot s \end{eqnarray}$ Einfach nur s einsetzen, dann erhältst Du r. Und dann noch r verdoppeln (denn die Seite des rechteckigen Feldes ist 2r lang)
15.09.2008, 20:02	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso Na jetzt habe ich das verstanden Dankeschön! Wünsche noch einen schönen Abend!
15.09.2008, 20:06	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist übrigens die allgemeine Vorgehensweise: Sobald man die Lösung für eine Variable berechnet hat, setzt man sie in die Nebenbedingung ein, um die Lösung für die zweite Variable zu berechnen. Auch Dir einen schönen Abend.

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